Истина и ложь что такое великая теорема п ферма

Теорема Ферма для чайников? Не бойтесь, это не больно.

Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства.

1. Почему она так знаменита?

Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство — даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго.

2. В чем же она состоит? Начнем с пифагоровых штанов

Формулировка действительно проста — на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».

Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно:

Теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Замечательно. Ну и так далее.

Так вот, оказывается, что их НЕТ.

Вот тут начинается подвох. Простота — кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко: бац — а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен.

А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

3. История: более 350 лет поиска решений

Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, и так далее.
Доказательство самого Ферма для случая <\displaystyle n=4>n=4 в сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта
Фото: ru.wikipedia.org

Но все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел.

Считается, что Великая теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. Многие начинающие математики считали своим долгом подступиться к Великой теореме, но доказать ее все никак не удавалось.

Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: «Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу, что ли?», и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Некоторые пытались прославиться от обратного: доказать, что она не верна. А для этого, как мы говорили, достаточно просто-напросто привести пример: вот три числа, одно в кубе плюс второе в кубе — равно третьему в кубе. И они искали такие тройки чисел. Но безуспешно… И никакие компьютеры, ни с каким быстродействием, никогда не смогли бы ни проверить теорему, ни опровергнуть ее, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

4. Наконец-то!

Наконец 23 июня 1993 года в Кембридже состоялась самая важная лекция по математике в ХХ веке. Лектором был Эндрю Уайлс, англичанин, профессор Принстонского университета. Эндрю Уайлс продемонстрировал ученым полное доказательство Великой теоремы Ферма.

Он шел к этому 30 лет, буквально с десятилетнего возраста. Его доказательство потом еще было уточнено и усовершенствовано в 1995 году, но самое главное — Великая теорема была доказана!

На это человечеству понадобилось 358 лет. Для доказательства была применена «самая высшая» и самая современная математическая наука. Поэтому изложить это доказательство в рамках заметочки никак нельзя, и читателям придется поверить на слово мне, математикам Кембриджа и Принстона и так далее.

Это доказательство закрыло сразу две страницы истории: 350-летний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире.

5. Кто такие ферматисты?

Как сказано выше, формулировка Великой теоремы очень проста и понятна, поэтому есть стойкая иллюзия, что и доказательство ее также должно быть простым, понятным и вкладываться в знания алгебры в объеме 5−6 классов. Это породило неисчислимые толпы фанатиков, называемых ферматистами, которые пытались ее доказать, думали, что доказали, и атаковали кафедры и отдельных ученых с исписанными тетрадками в клеточку наперевес. Как все фанатики, они нетерпимы к критике, полны намерений снести все преграды и страшно самоуверенны. Обычно их толстые труды сразу выбрасывают или дают студентам кафедры теории чисел для поиска ошибки в качестве упражнения. Фото: francis.naukas.com

Как правило, все доказательства сводятся к нехитрым алгебраическим преобразованиям: там прибавил, тут вычел, возвел все в квадрат, извлек квадратный корень, свернул по формулам сокращенного умножения, применил бином Ньютона — и вот оно, доказал.

Интересно, что бОльшая часть доморощенных ферматистов даже не понимает сути теоремы — они доказывают не то, что уравнение с показателями степени больше 2 не имеет целых решений, а просто пытаются доказать, что х в степени N + y в степени N равно z в степени N, что, как вы уже, я надеюсь, понимаете, лишено всяческого смысла.

И ведь доказывают! Ошибка, как правило, возникает при очередном возведении уравнения в квадрат и последующем извлечении корня. Казалось бы: возвели в квадрат, потом извлекли корень — так на так и получится, но они всегда забывают о том, что х в квадрате и (минус х) в квадрате равны. Это элементарно, Ватсон!

Кафедры отбивались, как могли.

Учёный секретарь одного из московских академических институтов, не избежавшего нашествия ферматистов, однажды был в отпуске в Молдавии и на рынке купил какую-то снедь, которую ему завернули в местную газету.
Вернувшись с рынка, он стал просматривать этот листок и наткнулся на заметку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, и, как следствие, пелись всякие дифирамбы высокому уровню областной науки.
Учёный секретарь вырезал эту заметку, а по возвращении в Москву вставил её в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «нападал» очередной ферматист, он широким жестом приглашал того ознакомиться с «текущим положением дел». Жизнь явно стала легче. (Саймон СИНГХ, «ВТФ»).

Я думаю, после всего, что между нами было, читатели уже смогут оценить попавшуюся мне как-то на кафедре в куче таких рукописей, тетрадок и бандеролей телеграмму:

ДОКАЗАЛ ТЕОРЕМУ ФЕРМА ТЧК ИКС СТЕПЕНИ Н ПЛЮС ИГРЕК СТЕПЕНИ Н РАВНО ЗЕТ СТЕПЕНИ Н ТЧК. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДВТЧ ПЕРЕНОСИМ ИГРЕК СТЕПЕНИ Н ПРАВУЮ ЧАСТЬ ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПИСЬМОМ

Источник

Великая теорема Ферма

Для целых чисел n больше 2 уравнение x n + y n = z n не имеет ненулевых решений в натуральных числах.

Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3 : 4 : 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:

Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая теорема Ферма (ее также называют «Большой теоремой Ферма» и «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида x n + y n = z n не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием. Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. — Прим. переводчика) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки».

Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.

Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма — всё тщетно! Другой великий французский математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596–1650), называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 1616–1703) — и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4. С доказательством для n = 3 справился великий швейцарско-российский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–83), после чего, не сумев найти доказательств для n > 4, в шутку предложил устроить обыск в доме Ферма, чтобы найти ключ к утерянному доказательству. В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако, опять же, не для всех.

В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан германским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать. С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера). Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».

Французский математик и юрист. Родился в Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne). Изучал право, работал судьей. В свободное время увлекался математикой и внес значительный вклад в развитие различных отраслей этой науки, за что получил прозвище «король любителей». Помимо теории чисел (так называется область математики, к которой относится Великая теорема Ферма) еще до Ньютона разработал многие основы дифференциального исчисления, а совместно с Блезом Паскалем (Blaise Pascal, 1623–62) основал теорию вероятностей. В оптике сформулировал принцип Ферма, согласно которому преломление света на границе двух сред обусловлено различной скоростью распространения света в различных средах.

Источник

Теорема Ферма и 380 лет на ее доказательство

Не много идей и рассуждений занимали мысли и внимание ученых-математиков и самоучек так долго, как Великая теорема Ферма. Эта теорема – самое известное математическое утверждение, на доказательство которого понадобилось больше 380 лет. Более того, в 1908 году ажиотаж вокруг нее был накален после обещания присудить премию за ее решение.

Вся сложность доказательства этой теоремы состояла в том, что нужно было доказать отсутствие решения. Казалось, что ее суть так легко понять, но как тяжело было ее решить!

Доказательство этой единой математической теоремы тесно связано с развитием истории математики, формированием новых направлений и углублением человеческого знания об абстракциях. О том, кто доказал теорему Ферма и сколько времени на это ушло, мы поговорим в этой статье.

Юрист Пьер де Ферма – «король среди любителей математики»

Пьер де Ферма (1601-1665) – французский судья и самоучка, известен как автор самой сложной теоремы всех времен. Свою карьеру и жизненный путь Ферма связал с юриспруденцией, и работал в местном парламенте маленького городка Кастр (до 1789 года «парламентом» во Франции называли суды).

Помимо блестящей карьеры в суде, Пьер также увлекался математикой, был самоучкой, черпая свои знания из книг и переписки со своими сверстниками, учеными и философами того времени – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бесси и другими. Несмотря на его статус любителя, профессиональные математики ценили переписку с Пьером Ферма и называли его «королем среди любителей». Главный интерес он проявлял к теории чисел, которая в начале 17 столетия стала очень популярной во Франции благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Изучая их, Ферма смог обосновать основные проблемы решения многочисленных задач, которые стали основными для развития классической теории чисел.

Больше всего влияния на Пьера Ферма оказала книга «Арифметика», изучая которую он исписывал поля собственными рассуждениями, впоследствии изменившими развитие математического мышления. В этой книге греческий математик и отец алгебры Диофант Александрийский описывал натуральные числа Пифагора. На основании «Арифметики» Ферма, решая задачи сложных уравнений с несколькими неизвестными, сформулировал легендарное утверждение, позже названное в его честь Великой теоремой Ферма. Доказательство теоремы заняло около 380 лет.

Наибольший научный вклад Ферма в развитие математики в том, что он обратил внимание на роль, которую занимают простые числа.

Великая теорема Ферма

Особый интерес к натуральным числам возродился в начале 17 столетия, после издания «Арифметики» Диофанта. Эта книга стала особо популярной среди ученых и философов, которые пытались рационально объяснить мироустройство, исключая всякое божественное начало. Среди них был и Пьер Ферма.

Во время чтения «Арифметики» ему в голову пришла идея заменить показатель степени 2 в теореме Пифагора любым другим числом. Тогда он понял: решения такому суждению не существует, и это можно доказать. Но само доказательство не записал из-за отсутствия места в книжке. На страницах книги II, обдумывая задачу 8, Ферма записал только следующее:

«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Рассуждение Ферма о простых числах стало широко известным после того, как в 1670 году его сын Самюэль опубликовал книгу «Арифметика», но уже с комментариями отца. Путь доказательства занял более чем 350 лет. Сотни математиков пытались доказать утверждение Ферма, а получилось это лишь у Эндрю Уайлса в 1993 году.

Знаменательно, что очевидной практической ценности Великая теория Ферма не имеет. Но ее формулировка будоражила умы сотен математиков, что, в свою очередь, действительно приносило плоды в развитии теории математики. Помимо легендарной Великой (или «Последней», как ее еще называют) теоремы Ферма, не менее важную роль в развитии математики занимает другая теорема – малая.

Малая теорема Ферма – это еще одно знаменитое рассуждение, которое Ферма описал в письме к своему другу в 1640 году. Читается эта теорема так: если целое число п не делится на простое число р, то п р — 1 —1 делится на число р.

Доказательство этой теоремы не заняло столько времени и усилий, как в случае с ее предшественницей, но ее роль в развитии математического мышления несомненно бесценна. Сегодня она является одной из самых важных теорем элементарной теории чисел, криптографии и современной алгебры.

Великая теорема Ферма: доказательство

Великая теорема Ферма не была детально объяснена даже самым автором. Может быть, его бумаги затерялись, но, скорее всего, в этом он сам не видел необходимости.

Все дело в том, что скупое, на наш взгляд, объяснение утверждения на полях книжки «Арифметика» непонятно для нас, но так не будет казаться, если учесть контекст, в котором Ферма развивал свои идеи. На протяжении своей жизни он вел активную переписку с другими учеными и любителями математики, и это были долгие дискуссии в письменной форме, где очень важно было понимание логичности и чередования писем. Это было общество, члены которого понимали друг друга с полуслова. Поэтому в многословности в такой среде просто не было необходимости.

Другим предположением, почему Ферма не развил детальное объяснение своей теоремы, в том, что он не был профессиональным математиком, как, к примеру, Рене Декарт или Франсуа Виет, и тем более он не пытался достичь признания в этой сфере, помимо одобрения друзей и единомышленников, которое, очевидно, уже получил. Но, тем не менее, Ферма понимал оригинальность своих идеи и подходов, а также то, что его методы мышления помогают другим математикам.

Увлекаясь теорией простых чисел, Ферма понимал, что натуральные числа не являются бесконечными. Он полагал, что найденный им метод является общим, и его можно будет использовать, чтобы доказать любые теоремы натуральных чисел. Но реальность оказалась иной. Метод оказался не таким универсальным, как рассуждал Ферма. И на доказательство этого ученым понадобилось более трех столетий.

В начале 1990-х годов теорему Ферма уже доказали для показателей разных степеней вплоть до 4 000 000. Но все-таки ученые продолжали искать показатель, для которого теорема окажется ложной.

Математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс смог доказать теорему в 1993 году, исполнив свою мечту, которая появилась у него в 10-летнем возрасте. На протяжении долгих лет он следил за многочисленными методами, с помощью которых разные ученые пытались доказать теорему Ферма. И в 1986 году, оставив все свои проекты, он сам занялся доказательством этой теории, которое заняло 7 лет.

В своем доказательстве он использовал сложные методы вычисления. Его работа опиралась на труды гигантов из разных направлений математики. Теорема Ферма – это сложная головоломка, решить которую стало возможным, сочетая поэтапно разные подходы и методы доказательства. Исписывая тысячи страниц, Уайлс смог доказать Великую теорему Ферма.

Это был долгий путь, который заключался в подсчете бесконечностей, рассмотрении всех ранее использованных подходов с целью найти собственный метод доказательства. Сначала Уайлс подсчитал все эллиптические функции, а также модулярные эллиптические функции, где как одних, так и других бесконечно много, чтобы показать, что их вычисления эквивалентны. Хотя этот подход оказался неэффективным, он помог осознать, куда двигаться дальше. Эти вычисления помогли Уайлсу понять, что нужно вместо доказательства гипотезы Таниямы-Симуры для эллиптических кривых, доказать эту же гипотезу лишь для полустабильных кривых.

Далее он обратился к теории Галуа, и с ее помощью смог определить эллиптические уравнения и доказать, что можно провести ассоциацию с элементами модулярных форм. Так Уайлсу удалось переформулировать задачу в более податливые понятия. Но это был только первый шаг, который занял два года.

Позднее он пробовал решить теорему с помощью теории Ивасавы, но ее оказалось недостаточно, поэтому Уайлс использовал еще и инструменты системы Эйлера. Однако позже он понял, что самым подходящим подходом является подход Колывагина-Флаха. И здесь новая тактика начала приносить плоды.

В начале 1993 года Уайлс подключил к решению теоремы друга Ника Каца. Они решили, что в основании нового университетского курса «Вычисления на эллиптических кривых» они смогут поэтапно изложить теорему Ферма. Во время этого курса проверялись разные этапы доказательства.

Окончательные результаты и первое публичное доказательство Уайлс представил на конференции в Кембридже в июне 1993 года. Для этого эму понадобилось три часа. Рукопись занимала 200 страниц. Потом решение задачи подтвердил комитет экспертов, и, после уточнения нескольких неточностей, в 1995 году теорема Ферма официально была доказана.

Вклад Пьера Ферма в развитие науки

История математики просто немыслима без вклада ученого-самоучки Пьера Ферма. Но из-за уединенного образа жизни и узкого круга общения его идеи ученые смогли оценить лишь после его смерти и благодаря его сыну Сэмюелю, который в 1870 году начал публиковать наброски и размышления отца.

Ферма и его идеи во многом стали основополагающими для развития новых математических теорий. Его сильной стороной был творческий подход и неограниченность рамками одной дисциплины: Ферма применял алгебраические методы в геометрических задачах, что заложило основания аналитической геометрии. Поэтому справедливо считать, что Ферма, наравне с Декартом, повлиял на формирование аналитической геометрии, а также то, что в своей переписке с Паскалем он заложил основы теории вероятности.

Идеи и подходы Пьера Ферма были настолько неординарными, что его рассуждения и толкования решения задач повлияли на Ньютона и даже Галилея, а другой французский математик Марен Мерсенн в своей книге «Универсальная гармония» вообще назвал Ферма математическим гением.

Кстати, если вам интересно, как развить мышление, лучше понимать абстракции и удерживать в голове длинные формулы, замечать закономерности и создавать новые идеи, предлагаем вам попробовать наши программы «Мнемотехники» и «ТРИЗ на практике». И пусть напрямую с математикой они не связаны, зато представленная в них информация, упражнения и задания прекрасно подходят для повышения уровня интеллекта, а его, как вы знаете, можно использовать в любой области.

Желаем удачи и до встречи на уроках наших курсов!

Источник

Доказать Великую теорему Ферма

Мужской голос из телефонной трубки:

– Здравствуйте. Я – заместитель Главного редактора литературного журнала.

И называет известный журнал и свою фамилию.

– А почему я? – интересуюсь я.

– Вас мне рекомендовали как человека логичного, ответственного и объективного.

Ну вот очередной назойливый ферматист! И этот тоже уверен в том, что он – хотя и дилетант в математике – но, наконец-то, доказал ту великую теорему, которая занимает умы людей в течение вот уже трёхсот с лишним лет. Но ведь заранее известно, что и в его “доказательстве” – в кавычках – тоже есть ошибка, как и в тысячах предыдущих таких же “доказательствах”. И надо её только найти. Вот только зачем мне эта морока? Ни уму, ни сердцу.

– Но я Вам заплачу, – вдруг сам предлагает ферматист. – Двадцать пять рублей.

О, это резко меняет дело. При моей зарплате в сто пятьдесят рублей эти двадцать пять будут заметным дополнением. И я сразу же соглашаюсь.

Встречаемся мы у станции метро. От мужчины среднего возраста получаю несколько листков с машинописным текстом. На первом листе замечаю надпись: “Посвящается моей любимой жене”.

– Ну как же можно, – думаю я, – посвятить любимому человеку то, что наверняка неверно?

А, впрочем, все ферматисты – странные люди, “не от мира сего”. Договариваемся встретиться с ним ровно через неделю здесь же, “на том же месте, в тот же час”.

Что за теорема? Почему она – великая? Почему за триста лет её так никто и не доказал?

Юрист Пьер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601 – 1665) имел обыкновение, читая математические трактаты, делать на их полях свои пометки и даже формулировать новые, пришедшие ему на ум, задачи и теоремы. Вот и ту теорему, о которой идёт речь, он в 1637 году записал на полях “Арифметики” Диофанта. Современная формулировка этой теоремы такова: “Уравнение хn (то есть x в степени n) плюс yn равно zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y и z для любого натурального числа n, большего, чем 2”. При этом Ферма сделал приписку: “Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него”.

Но вероятнее всего, что доказательство Ферма не было верным, так как позднее он опубликовал статью с доказательством только для одного частного случая, когда уравнение имеет четвёртую степень. А если бы у Ферма действительно было доказательство для общего случая, то есть для любой степени, то он обязательно упомянул бы о нём в той статье.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, в том числе, Эйлер, Дирихле, Лежандр, Гаусс, Ламе, Куммер, Гильберт, но эта теорема продолжала оставаться не доказанной. В чём тут дело? Ведь на первый взгляд всё очень просто, а формулировка теоремы Ферма доступна для понимании даже школьником. Более того, ещё восьмиклассник знает теорему Пифагора: “в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах” (или то же самое в виде шутки: “пифагоровы штаны на все стороны равны”).

Проблема выглядит столь простой ещё и потому, что все знают, что легко подобрать множество чисел х, y, z, которые прекрасно удовлетворяют равенству х2 + y2 = z2. Например, этими числами могут быть 3, 4 и 5. И в самом деле, и школьнику младших классов понятно, что 9 + 16 = 25. А ещё этими числами могут быть 5, 12 и 13, потому что 25 + 144 = 169. И вообще, таких троек чисел можно подобрать очень много – все они называются пифагоровыми числами.

А тогда появляется естественное желание вместо равенства х2 + y2 = z2 взять очень похожее уравнение х3+ y3 = z3 и задать вопрос:

– А, может быть, и для этого уравнения тоже есть такие числа? А почему бы и нет?

И так далее можно увеличивать степень уравнения и искать такие числа. В этом и состоит проблема Ферма.

Но, как это ни странно, оказалось, что подобрать такие числа можно только при степени, равной единице или двум, а при большем значении степени сделать это невозможно. Это, собственно, и утверждает теорема Ферма.

Но я, кажется, отвлёкся от рассказа о заместителе Главного редактора литературного журнала, “доказавшем” – конечно, в кавычках – Великую теорему Ферма. Задача найти ошибку в его “доказательстве” оказалась нетрудной. Куда труднее было найти такое деликатное указание на неё, чтобы не обидеть ферматиста. Но и это удалось сделать. В своём отзыве я после уважительных реверансов в адрес автора по поводу его усилий, достойных похвалы, сослался на “Справочник по элементарной математике” М.Я. Выгодского. На страницах 143 и 144 этого справочника как раз и говорится о делимости разности и суммы одинаковых степеней двух чисел на разность и сумму этих же чисел. В неверном использовании этих свойств и была ошибка автора.

Мне говорили раньше, что истинного ферматиста переубедить невозможно, и поэтому я приготовился к бурным дебатам с автором несостоявшегося доказательства Великой теоремы Ферма. Но, к моему удивлению, он при встрече вовсе не стал спорить со мной и с Выгодским, а, получив моё заключение, развернулся и, даже не поблагодарив меня, направился в метро. А я и не стал его догонять, чтобы потребовать с него свои честно заработанные двадцать пять рублей.

Странные это люди – ферматисты… Но мне предстояла встреча и ещё с одним ферматистом – куда более интересным.

1975-ый год. Кабинет Кучерова, заведующего кафедрой “Высшая математика”. Замечаю на его столе толстую брошюру с интригующим названием “Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма” и знакомой фамилией её автора на цветной обложке – В.И. Будкин.

– Борис Кондратьевич, – обращаюсь я к завкафедрой, – мне кажется, я знаю автора этой работы. Его имя – Виктолий Иванович?

Заведующий раскрывает брошюру и говорит:

– Да, Виктолий Иванович. А Вы что? Вы его знаете?

– Да кто ж его не знает? Он, помнится мне, одно время в Университете, на мехмате, цеплял всех, кого только мог остановить, и приставал к ним. “Я, – говорил он, – доказал Великую теорему Ферма. В моём доказательстве – двадцать восемь лемм, то есть маленьких теоремок. Но Вам не обязательно читать их все. Выберите себе, пожалуйста, какую-нибудь одну – любую – и распишитесь вот здесь, вот на этом листе, в том, что она – правильная. И мне ничего больше от Вас не нужно”.

– И что? Эти люди подписывали?

– И Вы, наверное, тоже подписывали?

– Да, кажется, подписывал.

– Ну а тогда, – говорит Борис Кондратьевич, – Вам и карты в руки: Вам не трудно будет просмотреть эту работу и подготовить на неё отзыв нашей кафедры. Дело в том, что эту брошюру распечатали большим тиражом – пять тысяч экземпляров, разослали по всем научным и учебным заведениям страны, и мы просто обязаны дать на неё официальное заключение. Я думаю, что Вы справитесь с этим к следующему заседанию кафедры.

Опа! Как же я влип! И дёрнул же меня чёрт за язык! Похвастался – называется – своей осведомлённостью, полез наперёд батьки в пекло – и вот теперь за это придётся мне возиться с этой теоремой Ферма. А это мне надо? Нет. Ни уму, ни сердцу.

Заседание кафедры “Высшая математика”. Скукотища смертная! Кто-то что-то докладывает, но выступающих не слушают. Одни делают вид, что слушают внимательно, но отсутствующий взгляд выдаёт их с головой. Заниматься своими делами во время выступлений не принято, поэтому на столах перед участниками заседания ничего нет: ни книг, ни тетрадей, ни авторучек. Зато можно просто закрыть глаза и опять же делать вид, что слушаешь. Тягомотина… И вдруг:

– Следующий вопрос. Для сообщения о доказательстве теоремы Ферма слово предоставляется Кузнецову.

Вот тебе раз! Как же так? Я же не готов. И что теперь делать? Значит, как-то надо выкручиваться. Но разве приятно что-то рассказывать, когда тебя не слушают? А как мне разбудить это “сонное царство”? Как привлечь их внимание к себе? Наверное, надо начать как-то нестандартно, необычно, оригинально. И я начинаю, пытаясь повторить интонации Высоцкого:

– Товарищи учёные! Доценты с кандидатами!
Замучились вы с иксами, запутались в нулях!

Вижу, что многие подняли головы, заинтересовались. А я продолжаю себе в том же духе:

– Сидите, разлагаете молекулы на атомы,
И корни извлекаете по десять раз на дню.
Ох, вы тут добалуетесь!
Ох, вы доизвлекаетесь …

Вот и всё! Первая поставленная задача успешно решена: все “товарищи учёные, доценты с кандидатами” откинулись на спинки стульев, все улыбаются и ждут, что же будет в следующем действии этого спектакля. А мне нужно переходить к сути своего сообщения. И я перехожу:

– Вот вы здесь все шибко учёные и отлично знаете, что Великую теорему Ферма не могут никак доказать в течение вот уже трёхсот с лишним лет. И знаете, что величайшие математики всех времён и всех народов не смогли справиться с этой проблемой, а современная наука и вовсе приходит к убеждению, что доказать её не удастся в ближайшие десятилетия. Но вы не знаете того, что доказать её можно! И очень просто!

И после многозначительной паузы я продолжаю интриговать:

– Вы не верите? А это всё только потому, что вы ещё не овладели замечательным методом познания истины… Вот он!

И с этими словами я театральным жестом водружаю над головой брошюру.

– Товарищи учёные, Эйнштейны драгоценные,
Ньютоны ненаглядные, любимые до слёз!
Позвольте вы мне, милые, вас просветить всерьёз.

Чувствую, что я вошёл в роль и даже заговорил стихами:

– Вам зачитаю, граждане, я откровенья важные,
страницу сорок пятую, где сказано вот что:

“Итак, сменилось тринадцать поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде”.

– Неужли и впрямь доказал? Каким методом?

– Оригинальным методом, разработанным автором, замечательным “методом познания истины”. Вот он: вначале – гипотеза, затем – её анализ, а за ними – синтез. И если понадобится, то ещё один круг: гипотеза – анализ – синтез. Вот и всё. Всё так просто – а вы даже не догадывались? Вот именно поэтому “замучились вы с иксами, запутались в нулях”!

– Неужели прям так и написано? Чушь какая-то.

– А вот и не чушь какая-то, господа хорошие, а новое слово в стратегии познания любой истины. Понимая всю значимость своего открытия, автор даже название предлагаемой методики познания истины включает в название работы. Книга так и называется: “Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма”. Автор утверждает, что любой из нас, овладев его методикой познания истины, может не только доказать теорему Ферма, но и решить любую задачу.

– И даже доказать, что дважды два – это пять?

– Да, – отвечаю я, – именно так. Просто надо, овладев идеологией марксизма-ленинизма, твёрдо верить в свои силы и освоить предлагаемую Методику Познания Истины – с большой буквы, конечно.

– Браво! Это кто же такую муру написал?

– Вот вы всё смеётесь, а ведь над собою смеётесь. Потому что скромный труженик Виктолий Иванович Будкин из Ярославля применил стратегию “гипотеза – анализ – синтез” и доказал-таки Великую теорему Ферма, чем и посрамил вас – доцентов с кандидатами.

– Он – математик, этот Ваш Виктолий?

– Вовсе нет. Виктолий Иванович – не какой-нибудь там математик, а инженер Ярославского шинного завода.

– Но ведь известно, что методами школьной математики доказать теорему Ферма невозможно. А редакция журнала “Квант” года три тому назад и вообще сообщила, что письма с доказательствами теоремы Ферма она больше даже принимать не будет.

– А Виктолий Иванович не знал, что эту теорему доказать нельзя и поэтому её доказал.

Слушатели со смехом завалились на столы, и только видно, как от хохота содрогаются их плечи. А я продолжаю:

– Товарищи учёные! Не сумневайтесь, милые:
Коль что у вас не ладится – ну, там, не тот аффект, –
Мы мигом к вам заявимся с лопатами и с вилами,
Денёчек покумекаем – и выправим дефект.

Вот не ладится у вас с доказательством теоремы, а скромный труженик шинного завода покумекал да и выправил дефект и издал вот эту книгу в Верхне-Волжском книжном издательстве, причём большим тиражом – пять тысяч экземпляров. В ней сорок семь страниц. А положительные рецензии на неё написали два доктора наук и один кандидат технических наук. Так что не сумневайтесь, милые.

– Ну и тем хуже для этих двух докторов наук!

Бесплатное весёлое представление продолжается. Вот я зачитываю формулировку очередной леммы из книги ярославского ферматиста, а учёные мужи заливаются смехом, будто бы я читаю им из Зощенко или Козьмы Пруткова:

– Нет. Что? Прямо так и написано, или Вы это придумываете?

– Да зачем мне выдумывать, когда именно так и сказано? Или вот ещё такой перл…

Понимаю, что определённо вхожу в роль. Мне начинает нравиться чувствовать себя Жванецким: как и он, я читаю очередную фразу из брошюры Будкина, а слушатели ну просто покатываются со смеху…

Но вдруг – грубый окрик. Это заведующий кафедрой:

– Валентин Васильевич, перестаньте паясничать! У нас всё-таки – заседание кафедры, а не балаган. Вы лучше скажите: Вы нашли ошибку в доказательстве?

– Ну вот и подготовьте отзыв от имени нашей кафедры. Отметьте в нём важность проблемы для современной математической науки и сложность её решения. Корректно укажите в отзыве одну – и только одну – ошибку, по Вашему выбору. А я его подпишу… Всё. Следующий вопрос повестки дня…

Финита ля комедиа – а жаль: ведь я не успел зачитать все перлы ферматиста Виктолия Ивановича Будкина. Зато в коридоре я получил от одного из преподавателей комплимент:

– Спасибо. Я никогда ещё так не смеялся при обсуждении математической проблемы.

А теорема Ферма? А она так и остаётся недоказанной. Почему? Вроде бы всё очень просто – взять и доказать, что решения у уравнения Ферма нет. Но вся загвоздка и подвох заключены как раз в этом простом слове “НЕТ”. Потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, его отсутствие.

Вот если бы надо было доказать, что решение есть, то можно и нужно было бы просто показать это решение – и всё. А вот доказать отсутствие чего-то – куда сложнее! Ну, например, кто-то Вам говорит:

– Это уравнение не имеет решения.

Тогда посадить его в лужу Вам не так уж и трудно: надо просто привести решение и сказать:

– А вот оно, это решение!

А как – скажите – доказать отсутствие решений? Конечно, Вы можете сказать:

– Я не нашёл таких решений.

А Вам на это скажут:

– А может, Вы плохо искали? А вдруг они есть, но только очень большие? Ну, настолько большие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силёнок, чтобы их найти?

И Вам на это возразить уже нечем. Вот она в чём проблема – доказать теорему Ферма! А это означает, что на практике мы не можем проверить, верна или не верна теорема Ферма, как бы мы ни старались. А тогда получается, что известное утверждение Карла Маркса о том, что практика есть критерий истины, в этом случае не работает. А тогда единственная надежда на то, чтобы доказать или опровергнуть утверждение Пьера Ферма, остаётся только на старания математиков-теоретиков, на их умственные способности. Объективная истина может открыться нам только правильным мышлением и развитым интеллектом.

Но беда, однако, в том, что современная математика не имеет развитого фундамента и знаний, на основе которых можно было бы доказать теорему Ферма. Вначале должны появиться и развиться какие-то новые разделы математической науки. А на это может уйти и пятьдесят лет и сто лет.

И вот прошло не пятьдесят лет и не сто лет, а только двадцать, и в сентябре 1994 года эту теорему доказал-таки профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс (Andrew Wiles). Причём этот сорокалетний, по математическим меркам уже немолодой, учёный до этого момента в математическом сообществе ничем особо не отличался. Его строгое доказательство опубликовано в главном математическом журнале “Annals of Mathematics” – сто тридцать страниц.

Собственно Эндрю Уайлс доказал не саму теорему Ферма, а гипотезу Таниямы-Шимуры. Всё дело в том, что в 1986 году Уайлс узнал о том, что Кену Рибету удалось доказать, что теорема Ферма является прямым следствием гипотезы Таниямы-Шимуры. И тогда он понял, что эту теорему, возможно, удастся доказать, если будет доказана справедливость этой самой гипотезы.

И теперь от доказательства Великой теоремы Ферма человечество отделяло только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. “Значит, моя детская мечта, – написал позже Уайлс, – не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу”… Но захватывающая и драматичная семилетняя история напряжённой работы Уайлса, направленной на решение самой трудной математической проблемы в мире, заслуживает отдельного описания.

Итак, Великая теорема Ферма, будоражившая в течение трёх с половиной столетий умы математиков и любителей, наконец-то, доказана. Что дало это человечеству, науке? Отвечая на этот вопрос, академик С.П. КапИца в своей телевизионной программе “Очевидное – невероятное” сказал, что доказательство теоремы Ферма – это одна из главных задач двадцать первого века, и если решение её будет найдено, оно встанет в один ряд с созданием атомной бомбы и освоением человечеством космоса.

Но неужели это так? Ведь миллиарды людей на Земле даже не узнали об этом эпохальном событии, и даже среди математиков очень немногие обратили своё внимание на сей факт. А тогда вопрос: стоила ли игра свеч, и стоило ли копья ломать?

А ферматисты? Казалось бы, доказательство Уайлса закрыло сразу две страницы истории: трёхсотпятидесятилетний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире. Но это совсем не так. Удивительно, но бурный поток новых “доказательств” – в кавычках – теоремы Ферма не иссякает, не прекращается. Почему? Ведь, казалось бы, теперь всё доказано и расставлены все точки над “i”. Ан нет. Простота формулировки теоремы Ферма, доступная в понимании даже школьнику, а также сложность единственного известного доказательства, продолжают вдохновлять многих на попытки найти другое доказательство – более простое.

– Раз эта теорема формулируется так просто, – рассуждают они, – то и доказательство её должно быть элементарным.

И их можно понять: вот, например, у известной теоремы Пифагора есть десятки различных доказательств, а среди них – и очень сложные, и очень простые. Так, может быть, и для теоремы Ферма тоже удастся найти очень простое доказательство – без сложных эллиптических кривых и всяких там модулярных форм? А вдруг? А почему бы и нет?

Вот потому-то свой поиск доказательства, понятного всем, а не только некоторым математикам, ферматисты и продолжают. Как в той истории, когда “Король умер. Да здравствует король!”: Доказательство Великой теоремы Ферма завершено. Доказательство Великой теоремы Ферма продолжается!

Источник