через какие прямые нельзя провести плоскость

Через какие прямые нельзя провести плоскость

ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

8. Предварительное замечание. Две прямые могут быть расположены в пространстве так, что через них нельзя провести плоскость.

Возьмём, например (черт. 4), две такие прямые АВ и DЕ, из которых одна пересекает некоторую плоскость Р, а другая лежит на ней, но не проходит через точку (С) пересечения первой прямой и плоскости Р.

Через такие две прямые нельзя провести плоскость, потому что в противном случае через прямую и точку С проходили бы две различные плоскости: одна Р, пересекающая прямую АВ, и другая, содержащая её, а это невозможно (§ 3).

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, конечно, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали; однако их не называют параллельными, оставляя это название дли таких прямых, которые, находясь в одной плоскости, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Прямая и плоскость, параллельные между собой

9. Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

10. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-нибудь прямой (СD), расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости.

Проведём через АВ и СD плоскость R и предположим, что прямая АВ где-нибудь пересекается с плоскостью Р. Тогда точка пересечения, находясь на прямой АВ, должна принадлежать также и плоскости R, на которой лежит прямая АВ, в то же время точка пересечения, конечно, должна принадлежать и плоскости Р. Значит, точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости R и на плоскости Р, должна лежать на прямой СD, по которой пересекаются эти плоскости; следовательно прямая АВ пересекается с прямой СD. Но это невозможно, так как по условию АВ||СD, значит, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пересекалась с плоскостью Р, и потому АВ||Р.

11. Теорема. Если плоскость (R, черт. 5) проходит через прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (СD) параллельна первой прямой (АВ).

Действительно, во-первых, прямая СD лежит в одной плоскости с прямой АВ, во-вторых, эта прямая не может пересечься с прямой АВ, потому что в противном случае прямая АВ пересекалась бы с плоскостью Р, что невозможно.

12. Следствие 1. Если прямая (АВ, черт. 6) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна линии их пересечения (СD).

Проведём плоскость через АВ и какую-нибудь точку М прямой СD. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями Р и Q по прямым, параллельным АВ и проходящим через точку М. Но через точку М можно провести только одну прямую, параллельную АВ; значит, две линии пересечения проведённой плоскости с плоскостями Р и Q должны слиться в одну прямую. Эта прямая, находясь одновременно на плоскости Р и на плоскости Q, должна совпадать с прямой СD, по которой плоскости Р и Q, пересекаются; значит, СD || AВ.

13. Следствие 2. Если две прямые (АВ и СD, черт. 7) параллельны третьей прямой
(ЕF), то они параллельны между собой.

Проведём плоскость М через параллельные прямые АВ и ЕF. Так как СD||EF, то
СD||M (§ 10).

Проведём также плоскость N через СD в некоторую точку А прямой AВ.
Так как EF||СD, то EF||N. Значит, плоскость N должна пересечься с плоскостью M по прямой, параллельной EF (§ 11) и в то же время проходящей через точку А. Но в плоскости М через А проходит единственная прямая, параллельная EF, именно прямая АВ. Следовательно, плоскость N пересекается с М по прямой АВ; значит, СD || AВ.

14. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

15. Теорема. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС, черт. 8) одной плоскости
(Р) соответственно параллельны двум прямым (А₁В₁ и А₁С₁) другой плоскости (Q), то эти плоскости параллельны.

Прямые АВ и АС параллельны плоскости Q (§10).

Допустим, что плоскости Р и Q пересекаются по некоторой прямой DE (черт. 8). В таком случае AB||DE и AC||DE (§11). Таким образом, в плоскости Р через точку А проходят две прямые АВ и АС, параллельные прямой DE, что невозможно. Значит, плоскости Р и Q не пересекаются.

16. Теорема. Если две параллельные плоскостu (Р и Q черт. 9) пересекаются третьей плоскостью (R), то линии пересечения (АВ и СD) параллельны.

Действительно, во-первых, прямые АВ и СD находятся в одной плоскости (R); во-вторых, они не могут пересечься, так как в противном cлучае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречит условию.

17. Теорема. Отрезкu параллельных прямых (АС и ВD черт. 9), заключённые между параллельными плоскостями (Р и Q), равны.

Через параллельные прямые АС и ВD проведём плоскость R; она пересечёт плоскости Р и Q по параллельным прямым АВ и СD следовательно, фигура АВDС есть параллелограмм, и потому АС||ВD.

18. Теорема. Два угла (ВАС и В₁А₁С₁, черт. 10) с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях (Р и Q).

Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано выше (§ 15); остаётся доказать, что углы А и А₁ равны.

Отложим на сторонах углов произвольные, но равные отрезки АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁ и проведём прямые АА₁, ВВ₁, СС₁, ВС и В₁C₁.

Так как отрезки АВ и А₁В₁ равны и параллельны, то фигура АВВ₁А₁ есть параллелограмм; поэтому отрезки АА₁ и ВВ₁ равны и параллельны. По той же причине равны и параллельны отрезки АА₁ и СС₁, следовательно, ВВ₁||СС₁ и ВВ₁= СС₁.
Поэтому ВС = В₁С₁ и /\ АВС = /\ А₁В₁С₁ (по трём сторонам); значит, / А = / А₁

Задачи на построение

19. Через точку (А, черт. 11), расположенную вне данной прямoй (а), в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой (а).

Решение. Через прямую а и точку А проводим плоскость М. В этой плоскости строим прямую b, параллельную прямой а.

Задача имеет единственное решение. В самом деле, искомая прямая должна лежать с прямой а в одной плрскости. В этой же плоскости должна находиться точка А, через которую проходит искомая прямая. Значит, эта плоскость должна совпадать с M. Но в плоскости М через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой а.

20. Через данную точку (А, черт. 12) провести плоскость, параллельную данной плоскости (Р), не проходящей через точку А.

Решение. Проводим на плоскости Р через какую-либо точку В две какие-либо прямые ВС и ВD. Построим две вспомогательные плоскости: плоскость М—через точку А и прямую ВС и плоскость N—через точку А и прямую ВD. Искомая плоскость, параллельная плоскости Р, должна пересечь плоскость М по прямой, параллельной BС, a плоскость N — по прямой, параллельной ВD (§ 16).

Отсюда вытекает такое построение:
через точку А проводим в плоскости М прямую АС₁ ||ВС, а в плоскости N прямую
АD₁ ||ВD.

Через прямые АС₁ и АD₁ проводим плоскость Q. Она и будет искомой. В самом деле, стороны угла D₁АС₁ расположенного в плоскости Q параллельны сторонам угла DВС, расположенного в плоскости P. Следовательно, Q|| Р.

Так как в плоскости М через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а в плоскости N через точку А лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет единственное решение. Следовательно, через каждую точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.

21. Через данную прямую (а, черт. 13) провести плоскость, параллельную другой данной прямой (b).

Через какую нибудь точку А прямой а проводим прямую b₁, параллельную b ; через прямые а и b₁ проводим плоскость. Она и будет искомой (§10). Задача имеет в этом случае единственное решение.

2-й случай. Прямые а и b параллельны. В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет параллельна прямой b.

22. Пример более сложной задачи иа построение. Даны две скрещивающиеся прямые (а и b, черт. 14) и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые (а и b).

Источник

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Рисунок 3.7 – Решение задачи

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Упражнение

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Источник