что такое телесный пространственный угол в каких единицах измеряется
Телесный угол
Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса 
поверхность с площадью 
. Полная сфера образует телесный угол, равный 
стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.
Обозначается телесный угол обычно буквой 
.
Двойственный телесный угол к данному телесному углу определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла неострый угол.
Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.
| Стерадиан | Кв. градус | Кв. минута | Кв. секунда | Полный угол | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 стерадиан = | 1 | (180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов | (180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103·10 7 кв. минут | (180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517·10 10 кв. секунд | 1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла |
| 1 кв. градус = | (π/180)² ≈ ≈ 3,0461742·10 −4 стерадиан | 1 | 60² = = 3600 кв. минут | (60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд | π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068·10 −5 полного угла |
| 1 кв. минута = | (π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595·10 −8 стерадиан | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10 −4 кв. градусов | 1 | 60² = = 3600 кв. секунд | π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335·10 −9 полного угла |
| 1 кв. секунда = | (π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305·10 −11 стерадиан | 1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938·10 −8 кв. градусов | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10 −4 кв. минут | 1 | π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315·10 −12 полного угла |
| Полный угол = | 4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан | (2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов | (2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066·10 8 кв. минут | (2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378·10 11 кв. секунд | 1 |
телесный угол 
, под которым она видна из начала координат, равен
— сферические координаты элемента поверхности 
— его радиус-вектор, 
— единичный вектор, нормальный к 
— смешанное произведение данных векторов, 
— скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
ограниченную линией L. Точка S называется вершиной телесного угла.
(стер).| Wполн = | Площадь поверхности сферы | =  (стер). |
| R 2 |
Пример 2. Частным случаем телесного угла является трехгранный угол, образованный в результате пересечения трех координатных плоскостей прямоугольной системы координат Охуz (рис. 5.3). Найдем этот угол.
Пересечем этот телесный угол сферой радиуса R с центром в точке О. Поверхность сферы, вырезанная трехгранным углом, составляет 
сферы. Тогда
;
(стер).
Пример 3.Конус с углом a при вершине и образующей R образует телесный угол W. Найдем этот угол.
Пересечем конус сферой с центром в точке S и радиусом R. Тогда основание конуса будет прикрыто сферической «крышкой» – такая часть сферы называется сферическим сегментом.
Площадь поверхности сферического сегмента Ds = 2prH, где
– радиус основания сегмента (рис. 5.4).
;
(стер).
Проверим правильность формулы:
1) пусть a = 0, тогда W = 0 (верно!);
2) пусть a = p (рис. 5.5), тогда
(стер) (верно!).
Заметим, что в задачах с симметрией удобно искать телесный угол как часть полного телесного угла, равного 4p (стер).
Пример 4. Найдем телесный угол, под которым видна из некоторой точки бесконечная плоскость. Ясно, что если плоскость бесконечна, то
.
Пример 5. Найдем телесный угол, под которым видна из центра куба одна его грань (рис. 5.6). Ясно, что все шесть граней «видны» под полным углом, поэтому
.
СОДЕРЖАНИЕ
Определение и свойства
Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Телесный угол в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы точно так же, как плоский угол в радианах равен длине дуги единичной окружности ; следовательно, точно так же, как плоский угол в радианах представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу, телесный угол в стерадианах представляет собой следующее отношение:
Телесный угол сферы, измеренный из любой точки внутри нее, равен 4 π ср, а телесный угол, образуемый одной из граней куба в центре куба, составляет одну шестую этого, или 2 π / 3 SR. Телесные углы также могут быть измерены в квадратных градусах (1 ср = ( 180 / π ) 2 квадратных градуса), в квадратных минутах и квадратных секундах или в долях сферы (1 ср = 1 / 4 π дробная площадь), также известный как spat (1 sp = 4 π sr).
Практическое применение
Телесные углы для обычных объектов
Конус, сферическая крышка, полусфера
Вышеупомянутое находится путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием элемента единичной поверхности в сферических координатах :
Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической крышки задается как
Телесный угол дополнения конуса равен
Это также телесный угол той части небесной сферы, которую астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ, может видеть во время вращения Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на любом полюсе только одна половина.
Телесный угол, образованный сегментом сферической крышки, разрезанной плоскостью под углом γ от оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно рассчитать по формуле
Тетраэдр
Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует аналогичная теорема теореме о том, что «сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдр следующим образом:
где проходит по всем шести двугранным углам между любыми двумя плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAB, OAC, OBC и ABC. ϕ я <\ displaystyle \ phi _ <я>>
| а → б → c → | знак равно а → ⋅ ( б → × c → ) <\ displaystyle \ left | <\ vec > \ <\ vec > \ <\ vec
Пирамида
Телесный угол четырехгранной прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы, измеренные по отношению к противоположным боковым граням пирамиды) равен
Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра базового прямоугольника до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение может манипулировать, чтобы дать
Прямоугольник широты и долготы
Телесный угол прямоугольника широты и долготы на глобусе равен
Небесные объекты
Телесные углы произвольных размеров
Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото и независимо Рибандо. Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора:
Описание поля излучения основано на представлении об интенсивности, как энергии, протекающей перпендикулярно плоской поверхности единичной площади за единицу времени в заданном направлении в избранном интервале частот. Полное определение интенсивности требует предварительного введения некоторых понятий.
1.1 Контрольная площадка
1.2 Телесный угол
называется телесным углом, под которым видна поверхность S из точки О. Диапазон D W является необходимым элементом определения интенсивности. Дело в том, что количество энергии, протекающей в любом точно фиксированном направлении ( D W =0), равно нулю.
1.3 Интенсивность
Интенсивность в направлении контрольной площадки
Интенсивность в произвольном направлении
Величина энергии, протекшей сквозь площадку при фиксированном поле, пропорциональна площади её проекции на плоскость волнового фронта:
сквозь разные площадки.
уже не зависит от направления контрольной площадки и может быть принято в качестве характеристики поля излучения в данном направлении.
Ниже, в десятом разделе этой главы мы уточним последнее определение, включив зависимость интенсивности от частоты или от длины волны излучения.
Интенсивность может зависеть от времени, от положения точки в пространстве и от направления. Если поле излучения не меняется во времени, то оно называется стационарным. В этом случае интенсивность от времени не зависит. Аналогично, интенсивность не зависит от пространственных координат в случае однородного поля излучения и не зависит от направления, если поле излучения изотропно.
Соглашение о знаке энергии
Интенсивность всегда считается положительной величиной, то есть D E cos q > 0. В то же время cos q может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это заставляет нас приписывать определённый знак проходящей через площадку энергии:
Если θ — острый угол, то говорят об «исходящем» из площадки излучении (ΔE > 0). В противном случае считают, что излучение «входит» в неё. Этой терминологии мы будем придерживаться в дальнейшем. Правда, нужно помнить, что она условна, так как определяется выбором знака направления вектора n. Сменив направление n на противоположное, мы превращаем «входящее» излучение в «исходящее» и наоборот.
1.4 Поток
Поток является мерой полной энергии, протекающей через контрольную площадку. Разобьём полный телесный угол 4π на N участков малого размера:
Далее, измерим энергию E i , которая проходит через площадку в каждом направлении ΔΩ i , и найдем сумму
с учётом соглашения (3.5) о знаке ΔE i . В пределе (4.1) превращается в интеграл
по всем направлениям с учётом знака dE. Во время суммирования по углам мы полагали величины D S и D t настолько малыми, что энергия D E пропорциональна произведению D S × D t.
Потоком F называется предел отношения
при стремящемся к нулю знаменателе:
Сопоставляя определения интенсивности (3.4) и потока (4.2), приходим к важной формуле
выражающей поток через интенсивность.
Отметим отличие интенсивности от потока. Хотя понятие интенсивности мы ввели с помощью контрольной площадки, тем не менее, интенсивность является характеристикой только поля излучения и никак не зависит от измерительного прибора. Мы говорим об интенсивности излучения в произвольно выбранном направлении, не уточняя, как именно расположен измерительный прибор. Наоборот, бессмысленно говорить о «потоке в некотором направлении», так как при его вычислении выполняется суммирование по всем углам. Правда, величина потока зависит от направления контрольной площадки. Но мы всегда будем предполагать, что контрольная площадка S направлена вдоль луча зрения на источник света.
1.5 Поле излучения источника малых угловых размеров
и угловой радиус источника равен
При выводе этой формулы мы воспользовались предположением об изотропии источника излучения.
Перейдём к вычислению интенсивности. Согласно предположению об однородности, с любого участка единичной площади, расположенного на поверхности источника в единицу времени исходит одна и та же энергия, которую мы обозначим I 0. Вне диска источника излучения нет. В силу его малых угловых размеров, мы можем полагать величину cos θ равной единице при θ
Из (5.1) – (5.3) получаем явное выражение для I 0:
Теперь мы можем записать окончательную формулу для интенсивности как функции направления:
,
где I 0 даётся формулой (5.4).
Точечный источник излучения
Чтобы перейти к случаю точечного источника, надо радиус R устремить к нулю. В результате амплитуда I 0 из (5.4) становится неограниченно большой, а область, в которой интенсивность отлична от нуля, согласно (5.5), стягивается в точку. Таким образом, для описания точечного источника интенсивность оказывается неудобным инструментом, и ею следует пользоваться только для протяжённых источников.
Итак, в случае протяжённого источника мы можем измерить интенсивность и поток излучения, а в случае точечного — только поток.
1.6 Средняя интенсивность и плотность энергии
Средняя интенсивность J определяется как делённый на 4π интеграл от интенсивности по всем направлениям:
В случае изотропного поля излучения интенсивность как постоянную величину можно вынести за знак интеграла. Учитывая, что телесный угол полной сферы равен 4π, получим
Средняя интенсивность, в отличие от потока, не зависит от направления контрольной площадки, так как мы суммируем именно интенсивность, а не прошедшую через площадку энергию.
Важной характеристикой излучения является плотность энергии U. По своему смыслу она не зависит от направления. Но для её вычисления введём промежуточную величину UΩ —плотность энергии квантов летящих в направлении k внутри конуса с телесным углом ΔΩ. За время D t через площадку D S, расположенную перпендикулярно рассматриваемому направлению, проходит количество энергии, равное произведению UΩ на объём параллелепипеда площадью D S и высотой c D t, где с — скорость света. Воспользовавшись (3. 4 ), получим
Проинтегрировав последнее выражение по всем направлениям, приходим к окончательному результату:
Таким образом, средняя интенсивность связана с плотностью энергии излучения.
1.7 Интегрирование по угловым переменным.
В разделе 1.5 мы нашли связь между интенсивностью и потоком, не выполняя вычислений интегралов по направлениям. Нам это удалось сделать в силу единственной причины: источник излучения предполагался настолько малым, что мы могли принять sinθ ≈ θ и cos θ ≈ 1. Но в случае источника произвольных размеров необходимо развить математический аппарат, позволяющий нам фактически выполнить интегрирование в (4.3) и других подобных выражениях.
Сферическая система координат
Сферическая система координат.
Если точка M находится в верхней полусфере (как на рис.6), то θ π/2. Положению M на экваторе отвечает θ=π/2, на «северном» ( P ) полюсе θ=0, а на «южном» θ=π.
Направление нулевого меридиана PM определяется углом φ, отсчитываемом в плоскости экватора между OQ и OT :
Итак, положение любой точки на сфере можно задать с помощью углов θ и φ, изменяющихся в диапазоне (7.1).
Элемент телесного угла
Устремив Δθ и Δφ к нулю и следуя определению телесного угла, окончательно получим
Ниже мы будем всегда пользоваться простой формулой (7.3), предполагая выполненными условия её применимости.
1.8. Поток — мера анизотропии интенсивности
Излучение, как уже говорилось выше, называется изотропным, если его интенсивность не зависит от направления:
где I 0 — некоторое число.
Поток изотропного излучения через любую площадку равен нулю. Это утверждение станет очевидным, если мы выберем следующий способ суммирования энергии в (4.1). Для каждого направления сложим количество энергии, протекающей в положительную и отрицательную стороны. По предположению, они одинаковы, следовательно, их сумма равна нулю. Таким образом, мы разбили сумму (4.1) на нулевые слагаемые, значит, и полный поток равен нулю.
В равенстве нулю полного потока излучения можно убедиться и путём прямого вычисления по формуле (7.3). Вынося константу I 0 за знак интеграла, получим
Равенство нулю потока является необходимым, но не достаточным условием изотропии излучения. Рассмотрим, например, функцию
Она описывает анизотропное излучение. Однако поток равен нулю:
Это произошло в силу следующей причины. Мы подобрали направление контрольной площадки таким образом, что интенсивность в обоих направлениях вдоль вектора n одинакова:
При любом другом выборе n поток будет отличен от нуля. Следовательно, заключение о степени изотропии излучения можно сделать только после измерения потока при всех возможных направлениях контрольной площадки.
1.9 Граница изотропного источника и астрофизический поток
Такая модель лежит в основе теории звёздных атмосфер. Вычисление потока проводим по формуле (7.3):
Формула, связывающая поток и амплитуду интенсивности для границы плоскопараллельной атмосферы
Её принято называть «астрофизическим потоком». Формула (9.2) теперь принимает совсем простой вид:
Подчеркнём, что (9.2) и (9.4) ни в коем случае не есть связь между интенсивностью и потоком. Это следует хотя бы из того, что поток — это число, а интенсивность — функция угла. Равенство числа и функции возможно только в том случае, если функция сводится к постоянной величине. Но интенсивности, равной I 0 во всех направлениях, соответствует поток, равный нулю. Соотношения (9.2) и (9.4) между потоком и амплитудой анизотропной интенсивности справедливы именно для функции I (θ) из (9.1). Для краткости иногда пишут, что «астрофизический поток на границе излучающего тела равен интенсивности», подразумевая сказанное выше.
1.10 Спектральные характеристики излучения
Перейдём к изучению интенсивность как функции частоты. Для этого вернёмся к определению (3.3). Помимо всех указанных там характеристик, будем полагать, что проходящая через контрольную площадку энергия Δ E сосредоточена в некотором интервале частот Δν, настолько узком, что величина Δ E пропорциональна Δν. Коэффициент пропорциональности I ν называется интенсивностью, рассчитанной на единичный интервал частот:
Аналогично можно ввести I λ — интенсивность в единичном интервале длин волн:
Связь между I ν и I λ сдует из условия
,
Интервалы длин волн и частот связаны друг с другом соотношением
,
которое вытекает из известной формулы
где c — скорость света. Знак модуля в (10.2) и (10.3) присутствует по следующей причине. Дифференцирование (10.3) даёт
то есть изменения длины волны и частоты имеют разные знаки. Поэтому знак модуля в (10.1) раскрывается как
Ниже нам часто придётся иметь дело с интенсивностью в пределах некоторого диапазона частот, например, от ν1 до ν2. Обозначим её Δ I (ν1, ν2):
Ясно, что выполнив интегрирование по длинам волн, мы получим тот же самый результат
при условии, что пределы интегрирования связаны формулой (10.3).
Различие положение максимумов I ν и I λ
На достаточно большом спектральном интервале функции I λ и I ν зависят от частоты (или от длины волны) немонотонно: они возрастают в области малых частот, проходят через максимум и далее убывают. Нелинейность связи между частотой и длиной волны приводит к тому, что положения максимумов I λ и I ν различаются. Покажем это двумя способами, выбрав сначала более наглядный. На рис.9 диапазон частот вблизи максимума I ν разбит на равные промежутки Δν. В этой области спектра величина I ν почти не меняется от интервала к интервалу. Но в силу нелинейной связи (10.3) одинаковым частотным интервалам соответствуют уменьшающиеся с частотой промежутки длин волн Δλ. В самом деле, согласно (10.4) имеем:
Итак, уменьшение интервала длин волн в области максимума I ν сопровождается увеличением I λ. Следовательно, максимум I λ приходится на бόльшие частоты, чем максимум I ν.
Тот же самый результат можно получить путём дифференцирования (10.5):
Из соотношения (10.3) между частотой и длиной волны вытекают следующие неравенства:
производная dI λ / d ν оказывается положительной. Следовательно, её максимум лежит на более высоких частотах.
Из (10.7) ясно видно, что различие частот максимумов I ν и I λ обусловлено именно нелинейностью функции ν(λ). При линейной связи второе слагаемое справа было бы равно нулю, что означает совпадение максимумов.
Звёздная величина
Звёздная величина определяется потоком излучения от источника F λ и спектральной чувствительностью приёмника W (λ):
Здесь введено обозначение
- что такое текущие пассивы в балансе какая строка
- что такое темперамент какие бывают типы темперамента