Игра с ненулевой суммой что

Игра с нулевой суммой — что это значит

Здравствуйте, уважаемые читатели проекта Тюлягин! В сегодняшней статье мы поговорим про игру с нулевой суммой. В ней вы узнаете что такое и что означает игра с нулевой суммой, в ней также приведены несколько примеров игр с нулевой суммой и напротив с ненулевой суммой, в том числе на примере финансовых и фондовых рынков. Об этом и не только далее в статье про игры с нулевой суммой.

Содержание статьи:

Что такое игра с нулевой суммой?

Нулевая сумма — это ситуация в теории игр, в которой выигрыш одного человека эквивалентен проигрышу другого, поэтому чистое изменение богатства или выгоды равно нулю. В игре с нулевой суммой может участвовать как минимум два игрока, так и миллионы участников. На финансовых рынках опционы и фьючерсы являются примерами игр с нулевой суммой, за исключением транзакционных издержек. На каждого человека, который выигрывает по контракту, есть контрагент, который проигрывает.

Суть игры с нулевой суммой

Игры с нулевой суммой можно найти в теории игр, но они менее распространены, чем игры с ненулевой суммой. Покер и азартные игры являются популярными примерами игр с нулевой суммой, поскольку сумма выигрышей одних игроков равна сумме проигрышей других. Такие игры, как шахматы и теннис, где есть один победитель и один проигравший, также являются играми с нулевой суммой.

Согласно теории игр, «игру Пенни» часто называют примером игры с нулевой суммой. В игре участвуют два игрока, A и B, одновременно кладут пенни (монету) на стол. Развязка зависит от того, совпадают ли пенни или нет. Если оба пенни орел или решка, игрок A выигрывает и сохраняет пенни игрока B, если они не совпадают, то игрок Б выигрывает и сохраняет пенни игрока А.

Игра Пенни — это игра с нулевой суммой, потому что выигрыш одного игрока — это проигрыш другого. Результаты для игроков A и B показаны в таблице ниже: первая цифра в ячейках (а) — (г) представляет результат игрока A, а вторая цифра — результат игрока B. Как видно, объединенный результат игры для A и B во всех четырех ситуациях равен нулю.

Игры с нулевой суммой — это противоположность беспроигрышным ситуациям — таким как торговое соглашение, которое значительно увеличивает торговлю между двумя странами — или проигрышным ситуациям, таким как война, например. В реальной жизни, однако, не всегда все так очевидно, и зачастую сложно измерить прибыли и убытки.

На фондовом рынке торговлю часто считают игрой с нулевой суммой. Однако, поскольку сделки заключаются на основе ожиданий на будущее, а трейдеры имеют разные предпочтения в отношении риска, сделка может быть взаимовыгодной. Долгосрочное инвестирование — это ситуация с положительной суммой, поскольку потоки капитала способствуют производству, а рабочие места, которые затем обеспечивают производство, и рабочие места, которые затем обеспечивают сбережения, и доход, который затем обеспечивает инвестиции для продолжения цикла.

Игра с нулевой суммой и теория игр

Теория игр — это комплексное теоретическое исследование в области экономики. Основополагающим текстом является новаторская работа 1944 года «Теория игр и экономического поведения», написанная американским математиком венгерского происхождения Джоном фон Нейманом и написанная в соавторстве с Оскаром Моргенштерном. Теория игр — это исследование процесса принятия решений двумя или более разумными и рациональными сторонами.

Теория игр может использоваться в широком спектре экономических областей, включая экспериментальную экономику, которая использует эксперименты в контролируемых условиях для проверки экономических теорий с более глубоким пониманием реальности. Применительно к экономике теория игр использует математические формулы и уравнения для прогнозирования результатов транзакции, принимая во внимание множество различных факторов, включая прибыль, убытки, оптимальность и индивидуальное поведение.

Теоретически игра с нулевой суммой решается с помощью трех решений, возможно, наиболее заметным из которых является равновесие по Нэшу, предложенное Джоном Нэшем в статье 1951 года под названием «Некооперативные игры». Равновесие Нэша гласит, что два или более соперника в игре — при условии, что они знают о выборе друг друга и что они не получат никакой выгоды от изменения своего выбора, — не отклонятся от своей стратегии.

Примеры игр с нулевой суммой

Применительно к экономике необходимо учитывать множество факторов при понимании игры с нулевой суммой. Игра с нулевой суммой предполагает версию совершенной конкуренции и совершенной информации. Оба оппонента в модели имеют всю необходимую информацию для принятия обоснованного решения. Если сделать шаг назад, большинство транзакций или сделок по своей сути являются играми с ненулевой суммой, потому что, когда две стороны соглашаются торговать, они делают это, понимая, что товары или услуги, которые они получают, более ценны, чем товары или услуги, которые они продают, после затрат по сделке. Это называется положительной суммой, и большинство транзакций попадают в эту категорию.

Ненулевая сумма
Большинство других популярных стратегий теории игр, таких как дилемма заключенного, соревнование Курно, игра многоножек и тупик, не имеют нулевой суммы.

Торговля опционами и фьючерсами является наиболее близким практическим примером сценария игры с нулевой суммой, потому что контракты представляют собой соглашения между двумя сторонами, и, если один человек проигрывает, то другая сторона выигрывает. Хотя это очень упрощенное объяснение опционов и фьючерсов, как правило, если цена этого товара или базового актива повышается (обычно против ожиданий рынка) в течение установленного периода времени, инвестор может закрыть фьючерсный контракт с прибылью. Таким образом, если инвестор заработает на этой ставке, возникнут соответствующие убытки, а чистым результатом станет передача богатства от одного инвестора к другому.

Резюме

А на этом сегодня все про игры с нулевой суммой. Надеюсь статья оказалась для вас полезной. Делитесь статьей в социальных сетях и мессенджерах и добавляйте сайт в закладки. Успехов и до новых встреч на страницах проекта Тюлягин!

Источник

Игры с нулевой суммой и условия Каруша-Куна-Таккера

В этой статье я подробностях разбираюсь с задачей поиска равновесных смешанных стратегий на примере антагонистических игр.

Пусть есть два игрока, A и B, которые многократно разыгрывают некоторую игру. Каждый игрок в каждом розыгрыше придерживается одной из нескольких стратегий — для простоты будем считать, что количество стратегий для обоих игроков совпадает и равняется . При выборе -й стратегии первым игроком и -й стратегии вторым игроком первый игрок получит выигрыш , а второй игрок получит такой же проигрыш — так уж устроены антагонистичные игры. Эти выигрыши можно записать в виде квадратной матрицы :

Игроки разыгрывают игру многократно и могут использовать разные стратегии в разных розыгрышах. Смешанная стратегия — это вектор вероятностей, сопоставленных каждой из чистых стратегий игрока. Каждый игрок выбирает одну из стратегий в очередном розыгрыше в соответствии с вероятность, определённой для неё его смешанной стратегией. Если обозначить через и смешанные стратегии игроков, то математическое ожидание выигрыша первого игрока будет равняться

Пара смешанных стратегий называется равновесием, если ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию. Другими словами, для любой другой пары стратегий , выполнено:

Вот поиском таких равновесий мы сейчас и займёмся.

1. Равновесия

Итак, пара смешанных стратегий образует равновесие, если изменение смешанной стратегии для первого игрока не может увеличить его выигрыш, а изменение смешанной стратегии для второго игрока не может уменьшить его проигрыш.

Например, рассмотрим такую матрицу выигрышей:

В этом случае ни одна из пар чистых стратегий не является равновесием. Пусть, скажем, первый игрок выбирает первую стратегию. Тогда второй игрок хочет захочет также всегда выбирать первую стратегию: это приведёт к меньшему проигрышу (2 против 3). Но, если второй игрок выбирает первую стратегию, первый игрок предпочтёт ответить стратегией номер два: так его выигрыш будет больше (4 против 1). Однако, если первый игрок выбирает вторую стратегию, второй игрок также ответит второй: его проигрыш таким образом уменьшится (1 против 4). Но при выборе вторым игроком второй стратегии первый игрок выберет первую стратегию, и так далее. Итого, при любом выборе чистых стратегий хотя бы один из игроков может изменить свой выбор так, чтобы увеличить собственную выгоду.

Однако в пространстве смешанных стратегий равновесие найдётся. Нетрудно проверить, что равновесием в данном случае будет пара смешанных стратегий , . В таком случае математическое ожидание выигрыша для первого игрока будет равно 2.5.

Нетривиальным является тот факт, что пара стратегий, образующая равновесие, обязательно существует. Это утверждает знаменитая теорема Нэша, будучи применённой к антагонистическим играм.

Если смешанные стратегии и образуют равновесие, они оказываются решениями оптимизационных задач:

При этом на сами стратегии распространяются очевидные ограничения:

Если бы в задаче были только ограничения в форме равенств, для поиска решений можно было бы воспользоваться методом множителей Лагранжа. Но его применение невозможно из-за наличия ограничений в виде неравенств: каждый компонент смешанной стратегии должен допускать вероятностную интерпретацию, а поэтому не может быть отрицательным.

Рассмотрим, например, следующую матрицу выигрышей:

Не вдаваясь в технические детали, скажу, что применение метода множителей Лагранжа с учётом только лишь ограничений в виде равенств

в данном случае приведёт к решению

Это происходит из-за того, что метод множителей Лагранжа не может учесть ограничения в виде неравенств. Тут-то нам и помогут условия Каруша-Куна-Таккера.

2. Условия Каруша-Куна-Таккера

Также эти условия известны как условия Куна-Таккера, а всё потому, что впервые опубликованы они были в работе 1951-го года за авторством Куна и Таккера, и лишь впоследствии обнаружилось, что Каруш уже в 1939-м году сформулировал их в неопубликованной работе.

На время отвлечёмся от теории игр и сформулируем более общую задачу оптимизации следующим образом: необходимо найти минимум некоторой функции

при условии ограничений как в виде равенств, так и в виде неравенств:

Доказывается, что тогда каждая точка, являющаяся решением оптимизационной задачи, удовлетворяет условиям Каруша-Куна-Таккера:

Здесь первое условие очень похоже на соответствующие условие в методе множителей Лагранжа; последние два условия фактически дублируют ограничения исходной оптимизационной задачи.

Второе и третье условия — хитрые. Вместе с условием четыре они означают следующее:

Теперь возникает вопрос о том, а как, собственно, решать такую систему уравнений. Как правило, можно поступать следующим образом:

Что же, звучит довольно сложно. Попробуем теперь приземлить этот алгоритм на задачу поиска равновесных стратегий в антагонистических играх.

3. Условия ККТ для антагонистических игр

Выше я записал условия ККТ для задачи минимизации. Поэтому нужно сформулировать все условия в терминах задачи минимизации, плюс нужно соблюсти формальность и переписать условия в виде неравенств так, чтобы они были записаны в виде «меньше либо равно нулю».

Условия для :

Условия для :

Теперь выпишем лагранжианы:

Теперь запишем оставшиеся условия Каруша-Куна-Таккера, местами преобразовав в более удобный вид. Для :

Для :

Приравнивая производные лагранжианов нулю, получим следующую систему уравнений:

Здесь переменных и уравнений. Используем теперь условия:

Каждое из этих условий позволяет приравнять нулю либо , либо , а также либо , либо . Значит, существует способов означить переменных нулями. Поэтому нужно будет решить систем линейных уравнений, в каждой из которых будет уравнения и неизвестных (остальные означены нулями).

Из всех решений нужно будет выбрать только те, которые удовлетворяют оставшимся ограничениям Каруша-Куна-Таккера:

В полученном множестве решений обязательно окажется искомое равновесие.

Рассмотрим теперь подробнее уравнения, которые получаются после означения некоторых неизвестных нулями. Для примера рассмотрим следующее уравнение для некоторого :

Мы знаем, что может равняться нулю, в таком случае уравнение принимает вид

Если же в соответствии с выбором не равняется нулю, эта неизвестная просто выражается через значения вектора и значение :

При этом можно достаточно простым образом гарантировать, что сумма справа всегда будет положительной: для этого достаточно увеличить все значения матрицы на некоторую очень большую величину. Таким образом, неизвестные и, по аналогии при решении системы можно просто исключить из рассмотрения: они всегда либо равны нулю, либо тривиальным образом выражаются через другие неизвестные и при этом не используются в дальнейшем; ограничения на неотрицательность этих неизвестных также выполняются автоматически. Поэтому систему для решения можно упростить:

А ограничения становятся тривиальными:

Так мы получили две независимых друг от друга системы линейных алгебраических уравнений, в каждой из которых неизвестных и неизвестная. Матрицы двух систем отличаются друг от друга транспонированием.

5. В поисках равновесия

Не все полученные решения будут равновесиями: условия ККТ являются достаточными, но не являются необходимыми. Нужно явным образом проверить свойство равновесности. Напомню, что пара смешанных стратегий , является равновесием, если для любых других смешанных стратегий , выполнено:

Но проверять это свойство для всех возможных альтернативных смешанных стратегий, конечно, не получится. Нам на помощь приходит тот факт, что среди множества найденных решений обязательно находится равновесие. Это значит, что проверить равновесность можно лишь сравнениями с другими полученными решениями. Подробнее: пусть — все найденные решения. Пара является равновесием тогда и только тогда, когда

6. Реализация

Весь код реализации я сложил к себе на GitHub: https://github.com/ashagraev/zero_sum_game

В matrix.h лежит простой утилитарный код: прочитать матрицу, транспонировать матрицу, решить СЛАУ. Для решения СЛАУ я использую простейший метод Гаусса с выбором ведущего элемента и тривиальной проверкой на вырожденность. Эту можно было бы реализовать и получше, но суть не в ней.

Реализация описанного алгоритма для решения набора СЛАУ находится в файле kkt.cpp. Для генерации подмножеств используются коды Грея. Чтобы подружить рекурсивный метод генерации кодов Грея с последовательной их обработкой, пришлось немного покуражиться с callback’ами.

Равновесий в игре может быть более одного, более того, их может быть бесконечно много. Во всяком случае, нужно быть готовыми к тому, что алгоритм выведет больше одного решения (а всё множество решений будет некоторой линейной оболочкой над выведенными решениями). Поэтому сигнатура функции предполагает, что результатом будет вектор стратегий, а не одна стратегия. А в main, соответственно, все эти вектора выводятся.

Источник