Имеем уравнение эллипса показать что прямая является касательной найти координаты точки касания

Составить уравнение касательных, проведенных к данному эллипсу из точки M

Уравнения касательных к гиперболе, проведенных из точки
Сможете решить? Написать уравнения касательных к гиперболе х^2-4*y^2=16,проведенных из точки А.

Составить уравнения касательных и нормалей, проведенных к окружности
Помогите решить задачу: Записать уравнения касательных и нормалей, проведенных к окружности x2 +.

Составить уравнения касательных к окружности, проведенных из начала координат
Составить уравнение касательных, проведенных: 1) из начала координат к окружности.

Как найти уравнение касательной к эллипсу от некоторой точки?
Допустим если любой(!) эллипс, заданный обыкновенным уравнением x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1. И есть.

Составить уравнение касательной к эллипсу
Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу x=3cos(t), y=2sin(t), если касательная.

Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых от точки А(2,0) и точки В
Пожалуйста, помогите с заданием. Составить уравнение геометрического места точек, сумма.

Принадлежность точки эллипсу
Есть эллипс. С помощью матрицы аффинного преобразования я его повернул и растянул как мне хочется.

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>+\frac>>=1\label
$$
при условии \(a \geq b > 0\).

Из уравнения \eqref следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).

Рис. 8.1. Эллипс

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^<2>+y^<2>=a^<2>\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a\).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что \(\varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-\varepsilon x,\ r_<2>=|F_<2>M|=a+\varepsilon x.\label
$$

Очевидно, что \(r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>\). Подставим сюда выражение для \(y^<2>\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-\fracx^<2>>>.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+\fracx^<2>>>=(a-\varepsilon x)^<2>.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.\label
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref, то есть
$$
\sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=a\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref. Мы придем к \(b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>\), равносильному уравнению эллипса \eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — точка на эллипсе и \(y_ <0>\neq 0\). Через \(M_<0>\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_ <0>> 0\) это график \(f_<1>(x)=b\sqrt<1-x^<2>/a^<2>>\), для \(y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

Источник

Пересечение эллипса и прямой

IP76 > Пересечение эллипса и прямой

Версия 1.0 этой статьи описывала пересечение эллипса и прямой, проходящей через его центр. На практике, в 99% случаев, именно это и требуется. Однако, что ни говори, материал не полон. Поэтому рассмотрим пересечение эллипса и любой прямой.

Калькулятор

Get a better browser, bro…

Вступление

Суть та же, что и раньше. Есть уравнение эллипса, есть уравнение прямой. Есть точка (x,y), которая является общей для обоих уравнений. Таким образом, есть система уравнений о двух переменных, которую надо решить.

Решение: выражение переменной Y из уравнения прямой, подстановка в уравнение эллипса, решение получившегося квадратного уравнения, нахождение X, подстановка в уравнение прямой, нахождение Y, занавес.

Теперь, по порядку. Нам понадобятся.

Эллипс

Подготовим уравнение эллипса. В таком виде, как выше, оно не сильно облегчит работу, поэтому, путем несложных манипуляций, приведем его к виду:

Все переносим в левую часть и получаем:

Прямая

Выразим Y из уравнения прямой:

Уравнение прямой в своем стандартном варианте имеет вид:

Таким образом, имеем следующие коэффициенты:

Подстановка

Подставим Y в модифицированное уравнение эллипса:

Для упрощения вида уравнения и себе жизни введем пару констант:

Уравнение приобретает некую законченность и воздушность восприятия:

Путем таких же несложных преобразований приходим к следующему виду:

Ну вот понадобится кому-нибудь в комментариях, распишу…

Квадратное уравнение

Дабы поскорее избавится от этого кошмарного забора, давайте увидим, что это обычное квадратное уравнение, у которого следующие коэффициенты:

Остается только его решить. Находим дискриминант D (держу B заглавной, чтобы не путать с b из уравнения прямой):

Подставляем найденные значения X в уравнение прямой, находим Y.

Итоги

Во-первых, хотелось бы резюмировать. Для нахождения точек пересечения любой прямой с эллипсом необходимо решить квадратное уравнение обычным дедовским способом, коэффициенты которого находятся так.

Где: Rx — радиус a, Ry — радиус b, (x₀,y₀) — координаты центра эллипса, (x₁,y₁) — точка A, (x₂,y₂) — точка B.

Во-вторых. Есть неприятность, связанная с (x₂ — x₁). Если линия строго вертикальна, получаем деление на ноль.

Крайние точки

Собственно, можно попробовать сравнивать это значение, скажем, с 0.0001 и в случае, если меньше, работать с этим значением. Но при таком малом делителе все последующие квадраты просто ахнут. Это в классической алгебре с ее абстракциями можно работать с приличной аналитической точностью. Мы живем в компьютерном мире, тут нет ничего точного. Одни погрешности… )))

При строго (или почти) вертикальной линии значение X нам известно. Осталось найти Y. Снова берем уравнение эллипса

И путем совсем простых действий превращаем его:

Замечаем, что в правой части у нас константа, потому что X известен.

Уравнение приобретает совсем человеческие очертания:

Решаем квадратное уравнение при коэффициентах:

Решаем старым дедовским способом, помня, что на этот раз находим пару координат Y.

При вычислениях надо анализировать величину (x₂ — x₁), и если она близка к нулю, использовать только что описанный способ, во всех остальных случаях работает основное уравнение.

Вот теперь, все, занавес.

Друзья, спасибо за внимание!

Источник

Уравнение касательной к эллипсу

Составить уравнение касательной к эллипсу
Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу x=3cos(t), y=2sin(t), если касательная.

Найти уравнение касательной к эллипсу, перпендикулярной данной
Напишите уравнение касательной к эллипсу x^2 + 4y^2 = 20, перпендикулярной прямой 2x − 2y − 13 = 0.

Как найти уравнение касательной к эллипсу от некоторой точки?
Допустим если любой(!) эллипс, заданный обыкновенным уравнением x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1. И есть.

Построение касательной к эллипсу
Не особо понятен алгоритм того, как получили A’ и A”, объясните пожалуйста

Carryn, если брать в неявном виде, то там должно вылезти y’.

Добавлено через 53 секунды

Добавлено через 6 минут

Составить уравнение касательных, проведенных к данному эллипсу из точки M
Составить уравнение касательных, проведенных к данному эллипсу из точки M и найти координаты точек.

найти уравнение касательной
Найти уравнение касательной к кривой \begin & \text < >^<2>+^<2>+^<2>=3 \\ &.

Уравнение касательной к окружности
Написать уравнение касательной к окружности x^2+y^2-4x+6y=0 в точке M(4;-6).

Уравнение касательной к гиперболе
Доброго времени суток, форумчане! Задача: “Напишите уравнение касательной к гиперболе.

Источник