Интеграл и первообразная в чем разница
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Первообразная
Определение первообразной функции
Можно прочесть двумя способами:
Правила вычисления первообразных
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.
Связь между графиками функции и ее первообразной:
Неопределенный интеграл
Определение:
Свойства неопределённого интеграла
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
Функция
Первообразная
F(x) + C
Неопределенные интегралы
\int f(x) dx = F(x) + C
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Что такое первообразная функция и неопределенный интеграл
Функция F(x) может считаться первообразной для y=f(x), если первая функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a;b) и ее производная удовлетворяет уравнению F'(x)=f(x).
Неопределенный интеграл — это сумма всех первообразных функции у=f(x).
Таким образом, представленные выше понятия связаны друг с другом как часть и целое.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Сущность первообразной функции
Понятие первообразной имеет еще одно определение.
Первообразная функция — это функция, производная которой равна данной.
Когда говорят о первообразной, упоминают также об интегрировании. Дело в том, что, чтобы отыскать значения всех рассматриваемых функций, пользуются интегрированием. При этом немаловажную роль играет признак постоянства функции.
Признак постоянства функции: если F'(x)=0, то функция F постоянна на заданном промежутке. Формула первообразной носит название общего вида первообразных для функции f.
Перечислим свойства рассматриваемого понятия:
Выделяют несколько основных правил для вычисления рассматриваемого понятия.
Свойства неопределенного интеграла
Свойства НИ в виде выражений:
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
Приведем простейшие табличные значения первообразных:
Теперь представим таблицу неопределенных интегралов:
Примеры решения
Чтобы точнее разобраться с рассматриваемыми терминами, приведем несколько примеров решения задач.
Задача №1
Вычислить \(\int\left(\sqrt x+\sqrt[3]x\right)dx.\)
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства
Определение первообразной
Определение неопределенного интеграла
Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.
∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )
∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C
∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.
Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:
k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )
Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.
Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.
Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.
Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.
Решение
Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем
d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )
Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1
Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.
Решение
Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:
Проверим полученный результат дифференцированием.
В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.
Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».
Алгебра
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие первообразной
Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.
Задание. Известна производная функции у(х):
В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).
Приведем несколько примеров первообразной:
Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.
Задание. Докажите, что функция
Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.
Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?
Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на
Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.
Бесконечное количество первообразных
Оказывается, что g1 также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х 3 есть сразу две первообразных:g = x 4 и g = x 4 + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!
Действительно, рассмотрим сразу все функции
где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:
Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:
Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график
Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:
Теперь в какой-нибудь точке х0 проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:
Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.
В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для
Однако 2х 2 – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:
Неопределенный интеграл
Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):
Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х 2 – это семейство функций вида
Рассмотрим элементы записанного нами равенства:
Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.
После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись
читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».
В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.
Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что
Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.
Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:
Задание. Найдите неопределенный интеграл
Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:
Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:
Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.
Задание. Вычислите производную:
Таблица первообразных
Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:
Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:
Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция
определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция
не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.
Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию
Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию
В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:
Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство
Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл:
Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:
Задание. Найдите первообразную функции
Правила вычисления интегралов
Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.
Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:
Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.
Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции
Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными
Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.
Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл
Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):
Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.
Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:
Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.
Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:
Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции
Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.
Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции
Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:
Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:
Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.
Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:
Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как
Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как
Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.
Физический смысл неопределенного интеграла
Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:
Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.
Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону
Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.
Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):
Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид
Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 
.
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
Найти неопределенный интеграл 
и результат проверить дифференцированием.
По формуле синуса двойного угла из тригонометрии 
, поэтому
Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем
То есть, 
По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать 
Обращаясь ко второму свойству, получим 
.
Следовательно, 
Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:
В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла.
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.