Используя определение предела доказать что последовательность сходится

Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Числовые последовательности.

Если каждому натуральному числу n сопоставлено в соответствие некое число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность

Как мы видим, x_n — это функция, множеством определения которой является множество N всех натуральных чисел, а множество значенией этой функции, то есть значение всех x_n, n∈N, называют множеством значений последовательности.

Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, но множество ее элементов всегда бесконечно, так как любые два разных элемента последовательности отличаются своими номерами.

Последовательность может быть задана формулой, которая позволяет вычислить каждый член последовательности по ее номеру. Например, если \(x_n=\frac<\left(-1\right)^n+1>2\), то каждый нечетный член последовательности будет равен 0, а каждый четный член равен 1.

Зачастую используют реккурентный способ записи формулы последовательности, когда каждый следующий член последовательности можно найти по известным предыдущим.

Определение предела последовательности.

Записать с помощью логических символов отрицания следующих утверждений:

Пользуясь определением: найти предел последовательности \(\\>\), если:

Пусть \(\displaystyle \lim_x_n=a,\ \lim_y_n=a\). Доказать, что последовательность
$$
x_<1>,\ y_<1>,\ x_<2>,\ y_<2>\ldots,\ x_, \ y_\ldots\label
$$
сходится и ее предел также равен a.

\(\triangle\) По определению предела для любого \(\varepsilon > 0\) существуют \(N_1=N_1(\varepsilon)\) и \(N_<2>=N_<2>(\varepsilon)\) такие, что для всех \(n\geq N_<1>\) выполняется неравенство \(|x_-a| N_<\varepsilon>\geq N_<1>\), и поэтому \(|z_-a|=|x_-a| Пример 4.

Таким образом, а—предел последовательности \(\left\\), если для каждой ε—окрестности точки а найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится конечное число членов.

С помощью логических символов данное определение можно записать следующим образом

Доказать, что последовательность \(\left\\), где \(x_n=(-1)^n\), является расходящейся.

Единственность предела последовательности.

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Предположим, что \(\left\\) имеет два различных предела a и b, причем a Рис. 4.2

Выберем ε > 0 таким, чтобы ε—окрестности точек a и b не пересекались, то есть не имели общих точек. Возьмем, например, ε = (b − a)/3. Так как число a—предел последовательности <x_n>, то по заданному ε > 0 можно найти номер N такой, что \(x_n\in U_\varepsilon(a)\) для всех n > N. поэтому вне интервала \(U_\varepsilon(a)\) может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал \(U_\varepsilon(b)\) может содержать лишь конечное число членов последовательности. Но это противоречит тому, что b—предел последовательности, так как согласно определению предела, любая окрестность точки b должна содержать бесконечное число членов последовательности. Данное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности.

Последовательность \(\left\\) называется ограниченной снизу, если существует такое число С₁, что все члены последовательности удовлетворяют условию \(x_n\geq C_1\), то есть

Последовательность \(\left\\) называется ограниченной сверху, если

Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной, то есть последовательность \(\left\\) называется ограниченной, если

$$ \exists \ C_1 \ \exists \ C_2: \ \forall n \ \in\mathbb \ \rightarrow C_1\leq x_n\leq C_2\label $$

Заметим, что условие \eqref равносильно следующему

$$ \exists \ C > 0: \ \forall n\in\mathbb\rightarrow\left|x_n\right|\leq C\label $$

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки нуль.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

В силу теоремы 2 всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Например, последовательность \(\left\<\left(-1\right)^n\right\>\) ограничена, но не является сходящейся.

Доказать, что последовательность \(\left\<<\textstyle\frac1>\right\>\) является ограниченной, если \(\undersety_n=b, \ b\neq0, \ y_n\neq0 \ для \ всех \ n\in\mathbb\).

Теорема о трех последовательностях или теорема о пределе «зажатой» последовательности.

Если последовательности \(\, \ \, \ \\) таковы, что

$$x_n\leq y_n\leq z_n \ для \ всех \ n\geq N_0,\label$$

то последовательность \(\\) сходится и \(\undersety_n=a\).

По определению предела для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся номера \(N_1=N_1(\varepsilon) \ и \ N_2=N_2(\varepsilon)\) такие, что \(x_n\in U_\varepsilon(a)\) при всех \(n\geq N_1\) и \(z_n\in U_\varepsilon(a)\) при всех \(n\geq N_2\).

Рис. 4.3

Отсюда и из условия \eqref следует, что при всех n ≥ N, где N = max(N₀, N₁, N₂), выполняется условие \(y_n\in U_\varepsilon(a)\). Это означает, что существует \(\undersety_n=a\).

\(\triangle\,\)Заметим, что \(\sqrt[n]n-1=\alpha_n > 0\), при \(n > 1\), откуда \(n=(1+\alpha_n)^n > C_n^2\alpha_n^2,\) где\(\displaystyle C_n^2=\frac2 > \frac4,\) при \(n > 2\). Следовательно, \(\displaystyle n > \frac4\alpha_n^2,\) или \(\displaystyle \alpha_n^2 0\), то \(\displaystyle 0 Пример 10.

Если \(a > 1\), то \(a=1+\alpha\), где \(\alpha > 0\), откуда \(a^n=\displaystyle \left(1+\alpha\right)^n > C_n^\alpha^\), при \(n > p\).

Пусть \(n > 2p\), тогда \(\displaystyle C_n^=\frac <(p+1)!>> \frac n<(p+1)!>\left(\frac n2\right)^p\), так как \(\displaystyle n-k > \frac n2\) при \(\displaystyle 1\leq k\leq p\). Отсюда следует, что \(\displaystyle 0 Теорема 4.

Если \(\displaystyle \lim_x_=a\) и a Следствие 2.

\(\circ\) Предположим, что неравенство \eqref не выполняется. Тогда \(a Замечание 3.

В частности, если для сходящейся последовательности \(\\>\) выполняется для всех \(n\in\mathbb\) (или для всех \(n\geq N_0)\) неравенство \(x_\geq \alpha\quad(x_ \leq\beta)\), то \(\displaystyle \lim_x_\geq \alpha\quad(\lim_ x_n\leq\beta)\). Отсюда следует, что если все члены сходящейся последовательности \(\\) принадлежат отрезку \([a,b]\), то есть \(a\leq x_n\leq b\) для всех \(n\in\mathbb\), то и предел этой последовательности принадлежит отрезку \([a,b]\), то есть \(\displaystyle a\leq\lim_x_\leq b\).

В следствии 2 утверждается, что если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Короче: предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, то есть если \(x_n > у_n\) при \(n\geq N_0\) и последовательности \(\\>, \ \\>\) сходятся, то \(\displaystyle <\lim_x_\geq\lim_y_>\). Например, если \(x_=1+\displaystyle \frac<1>, \ y_=1-\displaystyle \frac<1>\), то \(x_n > y_, \ n\in\mathbb\quad\), но \(\displaystyle \lim_x_=\lim_y_=1\).

Источник

Критерий коши сходимости последовательности

Критерий Коши — это замечательная теорема, с помощью которой можно понять, есть ли у последовательности предел, не вычисляя заранее самого предела. Сегодня мы сформулируем и докажем этот критерий.

Начнём с краткой вводной. Перечислим ключевые определения: что такое числовая последовательность, предел последовательности и зачем вообще мы тут собрались.

1. Краткая вводная

Записывается предел так:

И в переводе на русский язык эти определения следует понимать так:

\[\begin & \lim\limits_ <_>=A\Leftrightarrow \\ & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb \right): \\ & \forall \left( n \gt M \right)\quad A-\varepsilon \lt <_> \lt A+\varepsilon \\ \end\]

Предел последовательности — это всегда именно число. Не функция, не формула, а именно число.

Но что делать, например, вот с такой последовательностью?

С одной стороны, она растёт. С другой — на каждом шаге этот рост замедляется. При этом у нас даже нет числа-кандидата на роль предела.

Вот здесь к делу подключается критерий Коши.

2. Формулировка критерия Коши

Чтобы сформулировать критерий Коши, полезно ввести ещё одно определение.

\[\begin & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( M=M\left( \varepsilon \right)\in \mathbb \right): \\ & \forall \left( m,n \gt M \right)\quad \left| <_>-<_> \right| \lt \varepsilon \\ \end\]

Проще говоря, последовательность фундаментальная, если какой бы отступ мы ни взяли, начиная с какого-то момента любые два члена этой последовательности находятся друг к другу ближе, чем этот отступ.

И вот для таких последовательностей можно сформулировать главную теорему.

Другими словами, если последовательность фундаментальная, то у неё есть предел. И наоборот: если у последовательности есть предел, то она точно фундаментальная.

Обратите внимание: перед нами именно критерий:

Но перед тем как применять теорему на практике, давайте докажем её.

3. Доказательство критерия Коши

Доказательство состоит из двух частей:

3.1. Необходимость

3.2. Достаточность

2. Теперь рассмотрим величины

потому что каждая следующая грань берётся на меньшем множестве, чем предыдущая, и в таких условиях точные нижние грани не могут становиться меньше, а точные верхние — больше.

Но тогда мы получаем последовательность вложенных отрезков

\[\begin & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( S\in \mathbb \right): \\ & \forall \left( n \gt S \right)\quad \left| <_>-A \right| \lt \varepsilon \\ \end\]

Вот и всё. Теорема доказана.

4. Замечания к теореме

При первом прочтении может показаться, что доказательство критерия Коши слишком сложное, объёмное и недоступное для понимания. Но при ближайшем рассмотрении вы заметите, что всё доказательство сводится к трём простым фактам:

Не пытайтесь зубрить формулы из доказательства. Зубрёжка — вообще плохой помощник в высшей математике (да и в школьной тоже). Просто помните идею, а формулы и конкретные числа после небольшой тренировки вы придумаете сами.

Кстати, сам Коши, когда доказывал эту теорему, рассматривал как нечто само собой разумеющееся тот факт, что последовательность вложенных отрезков имеет общую точку. Но для строго доказательства теоремы нужно убедиться в существовании такой точки.

Эта тонкость уходит корнями к понятию открытых и замкнутых множеств, а также к понятию предельных точек множества. Но это уже шаг из матанализа в сторону топологии. И это тема для отдельного урока.:)

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Отсюда следует, что добавление к последовательности конечного числа элементов или исключение из нее конечного числа элементов не влияет на ее сходимость и значение ее предела, изменяется лишь номер, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную ^-окрестность точки ft.

Пример 6.3. а:

Убедимся, что для (6.5) В силу очевидного неравенства 2+ (-!)» 3 п п примем N = [3/е]. Тогда при произвольном е > 0 для п > [3/е] будет выполнено условие в (6.7). в.

Предел последовательности

Свойства сходящихся последовательностей. В самом деле, при любом е > 0. Поэтому в (6.7) в качестве N можно выбрать любое натуральное число. Пример в.4. Проверим, что при а > 1 При предположим, что По определению логарифма, loga ап = п.

Отсюда Следствие 6.1. Сходящаяся последовательность, элементы которой знакопостоянны, не может иметь предел другого знака. В самом деле, если бы предел последовательности имел иной знак, то, согласно теореме 6.3, начиная с некоторого номера ее элементы приняли бы знак предела, что противоречит исходному условию. Пусть даны две последовательности <х„>и <уп>. Их суммой, произведением и частным называют последовательности <хп + Уп>, <х„у„>и <хп/у„>, а обратной к <у„>— последовательность <1>, причем последовательности <хп/уп>и <1 >определены лишь при условии уп ф 0 Vn € N. Ясно, что Теорема 6.4.

Если последовательности <хп>и <у„>сходятся соответственно к пределам а и 6, то Обозначим и выберем произвольное € > 0. Тогда: 1) для сходящихся последовательностей, по определению 6.3, что, согласно определению 6.3 предела последовательности, доказывает (6.10); 2) воспользуемся тождеством и с учетом (1.4) запишем по теореме 6.2 об ограниченности сходящейся последовательности и определению 6.2 ограниченной последовательности, для сходящихся последовательностей, согласно определению 6.3.

Ясно, что (6.10) и (6.11) нетрудно обобщить на любое конечное число слагаемых или сомножителей, если в их качестве •взять сходящиеся последовательности. Следствие в.2. При вычислении предела сходящейся последовательности один и тот же постоянный сомножитель в ее элементах можно выносить за символ предела.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Выполним предварительно тождественные преобразования а из (6.19) искомый предел равен 1/5. Пример 6.8. Введенные при доказательстве теоремы 6.4 величины Дяп = |а-яп| и Луп = |6-у„| можно рассматривать как абсолютные погрешности приближенных значений хп и уп соответственно величин а и Ь. Тогда полученные в ходе доказательства теоремы соотношения, приближенно заменяя в них а на |хп| и |6| на |уп|, можно использовать для оценки погрешностей, возникающих при суммировании, умножении, обращении и делении приближенных значений, а именно:

Наибольшая возможная (максимальная) погрешность алгебраической суммы равна сумме погрешностей слагаемых, т.е. Бели в качестве погрешностей слагаемых рассматривать ошибки округления, то значение Дтах(яп + Уп) наиболее чувствительно к погрешности наименее точного слагаемого. Поэтому, чтобы избежать лцшних вычислений, не следует сохранять в более точном слагаемом лишние значащие цифры.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник