Используя свойства верных числовых неравенств докажите что убывают функции
Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что убывают функции. у=-3х+2
Ответы 3
Если угловой коэффициент к положителен, линейная функция возрастает. если отрицателен, то убывает. в 1) к=2>0 ; во 2) k=4>0, значит, обе функции возрастают.
второй Используя свойства верных числовых неравенств, докажем, что возрастают функции
Пусть х₁>х₂, у₁ = 9 + 2 х₁; у₂ = 9 + 2 х₂; тогда 2х₁>2х₂, т.к. умножали на положительное одно и то же число 2, 9+2х₁>9+2х₂, т.к. к обеим частям добавили одно и то же число 9, вывод у₁>у₂, доказано.
1. Если угловой коэффициент к положителен, линейная функция возрастает. если отрицателен, то убывает. в 1) к=2>0 ; во 2) k=4>0, значит, обе функции возрастают.
второй Используя свойства верных числовых неравенств, докажем, что возрастают функции
Пусть х₁>х₂, у₁ = 9 + 2 х₁; у₂ = 9 + 2 х₂; тогда 2х₁>2х₂, т.к. умножали на положительное одно и то же число 2, 9+2х₁>9+2х₂, т.к. к обеим частям добалили одно и то же число 9, вывод у₁>у₂, доказано.
2. 1) свои наибольшее и наименьшее значения линейная функция достигает на концах отрезка. т.е. наименьшее равно у(-2)= 1.5-2*6=
-10.5; наибольшее у(1)=1.5+6=7.5
2) квадратичная функция у(7)=11-49=-38-наименьшее значение на указанном отрезке.
Конспект урока по алгебре в 7 классе по теме “Свойства функций”
Тема урока: «Свойства функций».
Образовательные: в расширение и углубление представлений учащихся о свойствах функций в ходе выполнения упражнений; обобщение и систематизация знаний по данной теме; организация поисковой деятельности учащихся при определении свойств функции.
Развивающие: развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания; установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний; способствовать выработке навыков и умений в построении графиков функций.
Воспитательные: в воспитание навыков самоконтроля, взаимоконтроля, ответственности, коллективизма, уважительного отношения к мнению одноклассников; развивать логическое мышление учащихся; выработка желания и потребности обобщать полученные факты.
Подготовка кабинета к уроку: вхожу в кабинет, подготавливаюсь к уроку, оформляю доску (на доске записываю дату, тему урока), вывешиваю плакат с написанными на нем целями урока, которые в дальнейшем частично будут проговорены устно. Распределяю место на доске: запись задания для устной работы; номера, которые будут выполняться в течении урока; задание на дом. До начала урока вывешиваю вспомогательный материал: план исследования свойств функций; плакаты с графиками функций, часто встречавшихся при изучении свойств функции; плакат с графиком функции, которую нужно охарактеризовать при обобщении изученного материала.
Организационный момент (1 мин).
Индивидуальная работа и проверка домашнего задания (5 мин).
Работа с задачником (9 мин).
Решение номера из дидактических материалов (11 мин).
Повторение ранее изученного материала (7 мин).
Подведение итогов урока (3 мин).
Дифференцированная проверочная работа (8 мин).
Домашнее задание (1 мин).
Звенит звонок, учащиеся входят в класс, каждый становится около своего рабочего места, я стою за своим столом и жду, пока все окажутся на своих местах.
– Здравствуйте, дежурный, кто отсутствует сегодня на уроке? (Ответ дежурного.)
– Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число и классную работу. (Проговариваю тему урока, что бы учащиеся ее записали, поясняю цели урока.)
– Заканчивая изучение темы «Свойства функции», сегодня на уроке мы с вами повторим:
правило нахождения области определения функции;
построение графика функции на заданном числовом промежутке;
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции;
решение неравенства методом интервалов;
чтение графика функции;
решение квадратных неравенств;
извлечение квадратного корня;
как доказать возрастание и убывание функции;
нахождение координаты вершины параболы.
У некоторых из вас на краю стола лежат карточки с заданиями, прошу приступить к выполнению индивидуальной работы.
Задания для карточек:
1. Докажите, что функция
у = 4х – 9 возрастает. Какими свойствами
вы руководствовались при выполнении данного задания?
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции у = х 2 + 3 на отрезке [0; 2].
1. Докажите, что функция
вы руководствовались при выполнении данного задания?
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции у = х 4 – 5 на отрезке
Решения заданий по карточкам.
1. у = 4х – 9 – линейная функция, т. к. k 
0, сл – но: докажем, что она возрастает на всей числовой прямой.
Последнее неравенство означает, что f ( x 1) f ( x 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; 3), сл – но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.
если х = 0, то у = 0 2 + 3 = 0 + 3 = 3;
если х = 2, то у = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7.
1. у = –4х – 9 – линейная функция, т. к. k 0, сл – но: докажем, что она убывает на всей числовой прямой.
Пусть х1 и х2
и выполняется неравенство х1
Последнее неравенство означает, что f ( x 1) > f ( x 2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).
2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; –5), сл – но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.
если х = 0, то у = 0 4 – 5 = 0 – 5 = –5;
если х = 2, то у = 2 4 – 5 = 16 – 5 = 11.
В то время пока вы будите выполнять работы, с остальными мы устно сделаем задания, которые выписаны на доске. Тем самым проверю, как вы выполнили домашнее задание, потому что задания носят аналогичный характер; но сначала давайте вспомним схему описания свойств функции. (Учащиеся называют пункты схемы; затем вывешиваю плакат, на котором написана схема, что бы они могли ее пользоваться на уроке.)
1. область определения;
2. промежутки возрастания или убывания;
4. наибольшее или наименьшее значение;
6. область значения;
При необходимости повторить некоторые вопросы из следующего теоретического материала:
б) Что называется областью значения функции? (Множество всех значений
г) Какая функция называется убывающей? (Функцию у = f (х) называют убывающей на Х 
D ( f ), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 f ( x 1) > f ( x 2).)
Обобщение: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
д) Какая функция называется ограниченной снизу? (Функцию у = f (х) называют ограниченной снизу на множестве Х D ( f ), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f ( x ) > m ).)
е) Какая функция называется ограниченной сверху? (Функцию у = f (х) называют ограниченной сверху на множестве Х D ( f ), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f ( x ) m ).)
ж) Что называется наименьшим значением функции? (Число т называют наименьшим значением функции у = f (х) на множестве Х D ( f ), если:
2) для всех х Х выполняется неравенство f (х) 
f (х 0 ). )
з) Что называется наибольшим значением функции? (Число т называют наибольшим значением функции у = f (х) на множестве Х D ( f ), если:
Если у функции существует унаим, то она ограничена снизу.
Если у функции существует унаиб, то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху, то унаиб не существует.
Если функция не ограничена снизу, то унаим не существует.
1. Прочитайте графики функций:
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = 5х – 8, х [0; 3].
3. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
4. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает:
Насколько я могу заметить, задания по карточкам вы уже выполнили. Переверните карточки: и на обратной стороне вы обнаружите правильные ответы, сравните получившиеся результаты у вас с ответами и по критериям оценивания сами поставьте себе оценки. Сдайте мне свои работы, что б я могла переставить полученные оценки в ведомость, а затем учитывать их при выставлении оценок за работу на уроке.
Откройте задачник на странице 67 № 259 (г),
Для того, что бы ответить на поставленные вопросы мы должны построить график функции на данном отрезке. Так как у = –2х + 5 – линейная функция и ее графиком является прямая, то достаточно найти координаты двух точек и по ним построить прямую. В данном случае при подстановке вместо х будем использовать точки начала и конца отрезка.
если х = 0, то у = – 2 * 0 + 5 = 5,
если х = 3, то у = – 2 * 3 + 5 = 1.
В прямоугольной системе координат строим график функции на заданном отрезке. Данная функция является ограниченной, так как она задана на отрезке.
Верно. Убирай с доски и присаживайся на свое рабочее место.
А сейчас рассмотрим решение № 267 (б).
Для того что бы доказать, что функция возрастает на луче, нужно исследовать ее на монотонность на этом луче. Возьмем произвольные значения аргумента х 1 и х 2 и пусть х 1 х 2 принадлежат числовому множеству х 0. Тогда по свойствам числовых неравенств, будем иметь:
+ 3
х1( + 3)
(Задание предварительно было выписано на доску.)
Постройте и прочитайте график функции у = f (х),
где f ( x ) = 
Данная функция кусочная, значит, что бы построить ее график необходимо рассмотреть каждую из ее частей в отдельности, а затем построить в одной системе координат составляющие ее части и прочитать получившийся график. Для начала разобьем данную функцию на две и рассмотрим каждую из частей отдельно.
у1 = – х 2 – 4х – квадратичная функция, графиком является парабола ветви
которой направлены вниз.
Так как отрезок, на котором надо построить график данной функции, невелик, следовательно: выполняем построение по точкам.
Конспект урока по алгебре в 7 классе по теме “Свойства функций”
Тема урока: «Свойства функций».
Образовательные: в расширение и углубление представлений учащихся о свойствах функций в ходе выполнения упражнений; обобщение и систематизация знаний по данной теме; организация поисковой деятельности учащихся при определении свойств функции.
Развивающие: развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания; установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний; способствовать выработке навыков и умений в построении графиков функций.
Воспитательные: в воспитание навыков самоконтроля, взаимоконтроля, ответственности, коллективизма, уважительного отношения к мнению одноклассников; развивать логическое мышление учащихся; выработка желания и потребности обобщать полученные факты.
Подготовка кабинета к уроку: вхожу в кабинет, подготавливаюсь к уроку, оформляю доску (на доске записываю дату, тему урока), вывешиваю плакат с написанными на нем целями урока, которые в дальнейшем частично будут проговорены устно. Распределяю место на доске: запись задания для устной работы; номера, которые будут выполняться в течении урока; задание на дом. До начала урока вывешиваю вспомогательный материал: план исследования свойств функций; плакаты с графиками функций, часто встречавшихся при изучении свойств функции; плакат с графиком функции, которую нужно охарактеризовать при обобщении изученного материала.
Организационный момент (1 мин).
Индивидуальная работа и проверка домашнего задания (5 мин).
Работа с задачником (9 мин).
Решение номера из дидактических материалов (11 мин).
Повторение ранее изученного материала (7 мин).
Подведение итогов урока (3 мин).
Дифференцированная проверочная работа (8 мин).
Домашнее задание (1 мин).
Звенит звонок, учащиеся входят в класс, каждый становится около своего рабочего места, я стою за своим столом и жду, пока все окажутся на своих местах.
– Здравствуйте, дежурный, кто отсутствует сегодня на уроке? (Ответ дежурного.)
– Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число и классную работу. (Проговариваю тему урока, что бы учащиеся ее записали, поясняю цели урока.)
– Заканчивая изучение темы «Свойства функции», сегодня на уроке мы с вами повторим:
правило нахождения области определения функции;
построение графика функции на заданном числовом промежутке;
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции;
решение неравенства методом интервалов;
чтение графика функции;
решение квадратных неравенств;
извлечение квадратного корня;
как доказать возрастание и убывание функции;
нахождение координаты вершины параболы.
У некоторых из вас на краю стола лежат карточки с заданиями, прошу приступить к выполнению индивидуальной работы.
Задания для карточек:
1. Докажите, что функция
у = 4х – 9 возрастает. Какими свойствами
вы руководствовались при выполнении данного задания?
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции у = х 2 + 3 на отрезке [0; 2].
1. Докажите, что функция
вы руководствовались при выполнении данного задания?
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции у = х 4 – 5 на отрезке
Решения заданий по карточкам.
1. у = 4х – 9 – линейная функция, т. к. k 0, сл – но: докажем, что она возрастает на всей числовой прямой.
Последнее неравенство означает, что f ( x 1) f ( x 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; 3), сл – но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.
если х = 0, то у = 0 2 + 3 = 0 + 3 = 3;
если х = 2, то у = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7.
1. у = –4х – 9 – линейная функция, т. к. k 0, сл – но: докажем, что она убывает на всей числовой прямой.
Пусть х1 и х2и выполняется неравенство х1
Последнее неравенство означает, что f ( x 1) > f ( x 2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).
2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; –5), сл – но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.
если х = 0, то у = 0 4 – 5 = 0 – 5 = –5;
если х = 2, то у = 2 4 – 5 = 16 – 5 = 11.
В то время пока вы будите выполнять работы, с остальными мы устно сделаем задания, которые выписаны на доске. Тем самым проверю, как вы выполнили домашнее задание, потому что задания носят аналогичный характер; но сначала давайте вспомним схему описания свойств функции. (Учащиеся называют пункты схемы; затем вывешиваю плакат, на котором написана схема, что бы они могли ее пользоваться на уроке.)
1. область определения;
2. промежутки возрастания или убывания;
4. наибольшее или наименьшее значение;
6. область значения;
При необходимости повторить некоторые вопросы из следующего теоретического материала:
б) Что называется областью значения функции? (Множество всех значений
г) Какая функция называется убывающей? (Функцию у = f (х) называют убывающей на Х D ( f ), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 f ( x 1) > f ( x 2).)
Обобщение: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
д) Какая функция называется ограниченной снизу? (Функцию у = f (х) называют ограниченной снизу на множестве Х D ( f ), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f ( x ) > m ).)
е) Какая функция называется ограниченной сверху? (Функцию у = f (х) называют ограниченной сверху на множестве Х D ( f ), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f ( x ) m ).)
ж) Что называется наименьшим значением функции? (Число т называют наименьшим значением функции у = f (х) на множестве Х D ( f ), если:
2) для всех х Х выполняется неравенство f (х) f (х 0 ). )
з) Что называется наибольшим значением функции? (Число т называют наибольшим значением функции у = f (х) на множестве Х D ( f ), если:
Если у функции существует унаим, то она ограничена снизу.
Если у функции существует унаиб, то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху, то унаиб не существует.
Если функция не ограничена снизу, то унаим не существует.
1. Прочитайте графики функций:
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = 5х – 8, х [0; 3].
3. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
4. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает:
Насколько я могу заметить, задания по карточкам вы уже выполнили. Переверните карточки: и на обратной стороне вы обнаружите правильные ответы, сравните получившиеся результаты у вас с ответами и по критериям оценивания сами поставьте себе оценки. Сдайте мне свои работы, что б я могла переставить полученные оценки в ведомость, а затем учитывать их при выставлении оценок за работу на уроке.
Откройте задачник на странице 67 № 259 (г),
Для того, что бы ответить на поставленные вопросы мы должны построить график функции на данном отрезке. Так как у = –2х + 5 – линейная функция и ее графиком является прямая, то достаточно найти координаты двух точек и по ним построить прямую. В данном случае при подстановке вместо х будем использовать точки начала и конца отрезка.
если х = 0, то у = – 2 * 0 + 5 = 5,
если х = 3, то у = – 2 * 3 + 5 = 1.
В прямоугольной системе координат строим график функции на заданном отрезке. Данная функция является ограниченной, так как она задана на отрезке.
Верно. Убирай с доски и присаживайся на свое рабочее место.
А сейчас рассмотрим решение № 267 (б).
Для того что бы доказать, что функция возрастает на луче, нужно исследовать ее на монотонность на этом луче. Возьмем произвольные значения аргумента х 1 и х 2 и пусть х 1 х 2 принадлежат числовому множеству х 0. Тогда по свойствам числовых неравенств, будем иметь:
+ 3
х1( + 3)
(Задание предварительно было выписано на доску.)
Постройте и прочитайте график функции у = f (х),
где f ( x ) =
Данная функция кусочная, значит, что бы построить ее график необходимо рассмотреть каждую из ее частей в отдельности, а затем построить в одной системе координат составляющие ее части и прочитать получившийся график. Для начала разобьем данную функцию на две и рассмотрим каждую из частей отдельно.
у1 = – х 2 – 4х – квадратичная функция, графиком является парабола ветви
которой направлены вниз.
Так как отрезок, на котором надо построить график данной функции, невелик, следовательно: выполняем построение по точкам.