Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Тогда
Приведём другое решение пункта а).
Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения
есть два различных корня с равными абсолютными величинами.
Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем
Тогда будем иметь равенства:
Последнее равенство мы вправе переписать так:
Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:
Рассмотрим равенство
Покажем, что в последнем равенстве Действительно, если то тогда как Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства на Получим: Это равенство имеет место при
Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).
На есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи
Но тогда непременно должно выполняться равенство Коли это так, то равенство (***) примет вид: что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: и
Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, и при которых условие выполняется как при так и при
Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений
то
(последнее не имеет смысла).
Полученным значениям а будут соответствовать значения и в соответствии с равенством
а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B1, B, C1 составляет третью часть объема призмы.
б) Найдите угол между прямыми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.
а) Пусть тогда У пирамиды основанием служит высотой — высота треугольника проведенная к стороне Пусть K — основание высоты.
Ясно, что т. е. что и требовалось доказать.
б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты нужных точек:
Другое решение пункта а).
так как но
Ответ: б)
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.
б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?
в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку получаем: или
В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.
Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:
б) Из условия получаем:
Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.
в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда
Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.
б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?
в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку получаем: или
В первом случае из равенства находим и откуда получаем: и
Второй случай не реализуется, поскольку а
б) Из условия получаем:
Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.
в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда
Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.
Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.
Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все
Даны натуральные числа и такие, что Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.
а) Найдите наименьшую сумму такую, что она является квадратом натурального числа.
б) Найдите наибольшее число c, если а сумма имеет наименьшее значение.
в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.
г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.
а) По условию, где k — натуральное число. Значит, Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на Поэтому минимальное возможное значение
б) Из пункта а) получаем, что Если сумма минимальна, то и сумма минимальна, значит, По условию, поэтому Искомое наибольшее значение c = 3.
в) По условию, а из того, что — арифметическая прогрессия, следует равенство Значит, Число b должно быть минимально, поэтому
г) Пусть тогда Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда Подбором получаем, что единственная пара чисел такая, что и удовлетворяющая последнему равенству, это пара Тогда получаем, что
Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.
Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть тогда и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что делится на 13.
Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения даются тривиальным решением и рекуррентными формулами то есть являются множеством упорядоченных пар
Действительно, если 
то 
тогда как 
Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства 
на 
Получим: 
Это равенство имеет место при 
есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= 
возможно лишь при единственном значении m, т. е. при 
Коли это так, то равенство (***) примет вид: 
что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
и 
при которых условие 
выполняется как при 
так и при 
то 
Полученным значениям а будут соответствовать значения 
и 
в соответствии с равенством 
тогда 
У пирамиды 
основанием служит 
высотой — высота треугольника 
проведенная к стороне 
Пусть K — основание высоты.
т. е. 
что и требовалось доказать.
так как 
но
получаем: 
или 
учитывая, что 
и числа 
и 
имеют разную чётность, находим 
чего не может быть.
учитывая, что 
находим 
откуда получаем: 
получаем, что 
то есть 
Аналогично, 
последнее равенство выполняется только при 
что невозможно.
получаем: 
Значит, 
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку 
получаем: 
Кроме того, 
откуда 
получаем: 
находим 
и 
откуда получаем: 
и 
что невозможно.
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку 
Кроме того, 
и 
такие, что 
Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.
такую, что она является квадратом натурального числа.
а сумма 
где k — натуральное число. Значит, 
Таким образом, сумма 
Поэтому минимальное возможное значение 
Если сумма 
минимальна, значит, 
По условию, 
Искомое наибольшее значение c = 3.
а из того, что 
— арифметическая прогрессия, следует равенство 
Значит, 
Число b должно быть минимально, поэтому 
тогда 
Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда 
Подбором получаем, что единственная пара чисел 
такая, что 
и удовлетворяющая последнему равенству, это пара 
Тогда получаем, что 
и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что 
делится на 13.
даются тривиальным решением 
и рекуррентными формулами 
то есть являются множеством упорядоченных пар