Известно что а множество спортсменов группы в множество отличников группы

Практические занятия по дисциплине Математика ЕН.01 для студентов очной формы обучения специальности: 21.02.05 Земельно-имущественные отношения.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

«Ставропольский строительный техникум»

для студентов очной формы обучения специальности:

на заседании цикловой комиссии
естественно-математических дисциплин

Председатель цикловой комиссии

______________ / Н.Б. Берлова /

заместитель директора по МРК

Л.В. Печалова, методист
Центра менеджмента качества и методической работы техникума

Н.А. Ваганова, преподаватель математики

Т.В. Рыбина, преподаватель ГБПОУ ССТ
« » 20 г.
___________________

2.Практические занятия…………………. 6

Практическое занятие №2………………………………………….11

Практическое занятие №3………………………………………….18

Практическое занятие №4………………………………………….28

Практическое занятие №5………………………………………….41

В результате изучения дисциплины студент должен:

— значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

— основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

— основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

— основы интегрального и дифференциального исчисления.

— решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, примерами решения типовых заданий, контрольными вопросами и заданиями для самостоятельной работы.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к дифференцированному зачету.

Цель: закрепить навыки осуществления операций над множествами, навыки использования диаграмм Эйлера-Венна.

При выполнении работы студент должен знать:

понятия множества, подмножества, универсального множества, пересечения множеств, объединения множеств, разности двух множеств и дополнения; понятие диаграмм Эйлера-Венна.

После окончания занятия необходимо уметь:

находить пересечение, объединение, разность и дополнение множеств, в том числе с использованием диаграмм Эйлера-Венна.

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Порядок выполнения работы:

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу .

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Основные теоретические положения и примеры решения типовых заданий.

Понятие множества. Подмножества.

Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.

Множество – совокупность определённых, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающая некоторым общим свойством.

Имеется три важных момента, характеризующих понятие множества:

1) объекты, входящие во множество, определённые – т.е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет;

2) объекты, входящие во множество, различимы между собой – т.е. во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов;

3) все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое – т.е. во множестве абстрагируются от свойств отдельных объектов, но говорят об общем свойстве множества, как единого целого; такое общее свойство называют характеристическим.

– множество букв русского алфавита;

– множество натуральных чисел;

– множество студентов, сидящих на 1-м ряду.

– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;

– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;

– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;

– число 5,5 – не принадлежит множеству натуральных чисел;

– Вольдемар не сидит в первом ряду.

Таким образом, если множество содержит конечное число элементов, то оно может быть задано перечислением его элементов. Множество может быть также задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. При записи правило, задающее множество, отделяется вертикальной чертой или двоеточием.

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А = В.

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Пример 3. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

• объединение А ∪ В • пересечение А∩В • разность А\В • дополнение A

Пример 3. В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько человек в классе: а) изучают иностранные языки? б) изучают только английский язык? в) изучают только немецкий язык?

Решение.

Пример 4. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество:

Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б). Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения.

Разбиение множества на классы.

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса.

Пример 5. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы.

Задания выполняются по вариантам, заданным преподавателем.

Задание 1. Образуйте все подмножества множества букв в слове.

Задание 2. Данные множества задать перечислением всех своих элементов.

Задание 4. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество.

Решите задачу используя круги Эйлера: В группе английский язык изучают 15 студентов, немецкий – 10 студентов, а французский – 5, причем 3 студента изучают одновременно английский и немецкий языки, 2 студента изучают одновременно английский и французский языки, 1 студент изучает одновременно французский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? немецкий язык? французский язык?

Какое множество называется конечным? пустым?

Что называется пересечением двух множеств?

Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

Известно, что А – множество спортсменов группы, В – множество отличников группы. Сформулируйте условия, при которых: а) А∩В=Ø б)АUВ=А.

Время на выполнение: 90- мин. (час.),

выполнение 1 час.10 мин.;

оформление и сдача 10 мин.

Работа выполняется в тетради для практических работ.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Практическая работа №2

Тема: «Вычисление пределов функции»

Цель: Формирование навыков вычисления пределов с помощью замечательных пределов, раскрытия неопределенностей.

. При выполнении практической работы студент должен знать:

-понятие предела функции;

— 1и 2 замечательные пределы;

-понятие непрерывной функции;

После окончания занятия необходимо у меть:

-применять теоремы о приделах;

-применять формулы замечательных пределов;

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы

выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Пределы».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу .

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Краткие теоретические сведения

Имеют место основные теоремы, на которых основано вычисление пределов элементарных функций.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для приводит к одной из неопределенностей :

Тогда вычисление предела заключается в раскрытии полученных неопределенностей.

Здесь могут оказаться полезными:

Кроме того, при раскрытии неопределенностей используют следующие приемы:

сокращение дроби на критический множитель при ;

избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби;

Решение: 1) ; выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом.

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.

Задания для самостоятельной работы

Задание 2.Исследуйте функцию на непрерывность:

Задание 1.Вычислить пределы.

Задание 2.Исследуйте функцию на непрерывность:

Что называется пределом функции?

Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.

Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.

Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?

5.Дайте определение непрерывной функции.

6.Что называется точкой разрыва?

7.Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

8.Какая точка называется точкой скачка? Что называется скачком?

Время на выполнение: 90- мин. (час.),

выполнение 1 час.10 мин.;

оформление и сдача 10 мин.

Работа выполняется в тетради для практических работ.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Практическая работа №3

Тема: « Нахождение дифференциалов функций».

Цель: закрепить навыки нахождения производной и дифференциала.

При выполнении практической работы студент должен знать:

-определение производной, ее геометрический и механический смысл;

правила и формулы дифференцирования функций;

-определение дифференциала функции и его геометрический смысл; определение второй производной, ее физический смысл;

-необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, существования экстремума;

-общую схему построения графиков функций

определение производной функции;

− теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции;

− геометрический и физический смысл производной функции.

− области практического применения производной функции.

понятие дифференциала функции;

− понятие полного и частного дифференциала;

− формулу приближенных вычислений значений функции в точке с помо-щью дифференциала.

После окончания занятия необходимо у меть:

− вычислять производные функций по определению и таблице производных;

− применять теоремы о производных;

− решать задачи с использованием производных.

-находить дифференциал функции;

− применять формулу приближенных вычислений значения функции;

− находить частные и полный дифференциалы функции многих переменных.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Порядок выполнения работы:

1.Повторитьтеоретический материал по теме.

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу .

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Краткие теоретические сведения.

1.Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Примечание: производная обозначается также

4.Отыскание производной называется дифференцированием функции.

5.Формулы дифференцирования основных функций:

6.Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная, относительно приращения аргумента.

Формулы нахождения производной.

Правила вычисления производных:

Примеры решений типовых заданий.

Найти дифференциалы функций.

Решение: Используем основные правила нахождения производных:

Решение: По правилу нахождения производной сложной функции:

Вычислить приближенное значение :

Задания для самостоятельной работы.

Найти дифференциал функции:

1. Вычислить приближенное значение:

_{2 Вариант: задание 1:№4-6}

Практическая работа №4

Тема: « Нахождение экстремумов функций».

Цель: закрепить применение производной к нахождению экстремумов функции, навыки нахождения производной.

При выполнении практической работы студент должен знать:

-определение производной, ее геометрический и механический смысл;

правила и формулы дифференцирования функций;

-определение дифференциала функции и его геометрический смысл; определение второй производной, ее физический смысл;

-необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, существования экстремума;

общую схему построения графиков функций

После окончания занятия необходимо у меть:

-дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила;

-применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Нахождение точек экстремума функции».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу .

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Краткие теоретические сведения.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1.Найти производную функции и приравнять ее к нулю.

3.Отметить точки максимуму и минимума.

4.Найти значение функции в точках экстремума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второй производной.

Пример 1.Найти точки экстремума функции

Решение: Найдём критические точки:

Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1
точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»

. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+»

Задания для самостоятельной работы.

1.Исследовать функцию на монотонность: у = х 2 +2х-4

3.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1.Исследовать функцию на монотонность: у =- х 2 +2х.

3.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

4.Найти промежутки возрастания и убывания функции: у =

2.Найти точки экстремумов

3.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

5. Определить экстремумы функции: y =.

Время на выполнение: 90- мин. (час.),

выполнение 1 час.10 мин.;

оформление и сдача 10 мин.

Работа выполняется в тетради для практических работ.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Практическая работа №5

Тема: « Применение различных методов для решения систем линейных уравнений».

Цель: закрепить знания о матрицах и определителях , с формировать умения решать системы алгебраических уравнений первой степени методом Крамера, закрепить знания о матрицах и определителях , с формировать умения решать системы алгебраических уравнений первой степени методом Гаусса

При выполнении практической работы студент должен знать:

После окончания занятия необходимо у меть:

— вычислять определители второго и третьего порядка

— решать СЛАУ методом Гаусса

— решать СЛАУ методом Крамера

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

Порядок выполнения работы:

1.Повторить теоретический материал по теме «решение систем уравнений методом Крамера, Гаусса.».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу .

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Краткие теоретические сведения.

Метод исключения неизвестных (метод Гаусса), основная идея данного метода состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, где одно из уравнений системы содержит все неизвестные, второе – на одно неизвестное меньше, и т. д., последнее уравнение – лишь одно из неизвестных. Покажем это на примере.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное – х ₂ ; вторым ведущим элементом будет 7/2. Исключим х ₂ из третьего уравнения. Получим:

Второй шаг закончен. Вторая подсистема состоит из одного третьего уравнения. Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом получаем:

Итак, решение данной системы будет:

Задания для самостоятельной работы.

Вариант 1 ( пример №1,4,а,в. )

Задание 1.Решить по формулам Крамера системы линейных уравнений:

Задание 2.Решить методом Гаусса системы уравнений:

Вариант 2 (пример №2,3, б,г. )

Что называется системой линейных алгебраических уравнений?

Что значит решить систему уравнений.

Сформулируйте теорему Крамера.

Запишите формулы Крамера.

Сформулируйте метод Гаусса.

Время на выполнение: 90- мин. (час.),

выполнение 1 час.10 мин.;

оформление и сдача 10 мин.

Работа выполняется в тетради для практических работ.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Баврин И.И. Математика для технических колледжей и техникумов: учебник и практикум для СПО. – 2-е изд., испр. и доп.. – М.: Юрайт, 2018

Элькин В.Д. Математика и информатика: учебник и практикум для СПО. – М.: Юрайт, 2019

Баврин И.И. Математический анализ: учебник и практикум для СПО. – М.: Юрайт, 2019

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учебник для СПО. – М.: Юрайт, 2018

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: ИЦ « Академия», 2018

Математика.(СПО).учебник / М.И. Башмаков. — Москва : КноРус, 2019. — 394 с. —Режим доступа: :индивидуальный круглосуточный доступ к ЭБС из любой точки доступа к сети интернет. Коллекция СПО ЭБС book / ru 26.12.18-26.03.20г.(15 месяцев). https://www.book.ru/book/929528/view2/1

7.Григорьев В.П. Математика (2-е изд., стер.): учебник. – М.: ИЦ « Академия», 2018

8. Кацман Ю.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры с решениями: учебник. – М.: «Юрайт», 2017

Источник