Известно что bd медиана треугольника abc а ad медиана треугольника abf

Известно что bd медиана треугольника abc а ad медиана треугольника abf

Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.

a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.

б) Найдите площадь треугольника BLK.

а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.

б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан а также получим:

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и

б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем откуда

По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем откуда

Ответ:

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABK.

а) Заметим, что поскольку тогда или как перпендикуляры к одной прямой. Значит, Обозначим основания высот треугольника ABC за Тогда точки K, B, A, A₁, B₁ лежат на окружности с диаметром AB (из-за прямых углов). заметим, что — основание перпендикуляра из K на

Перепишем требуемое утверждение:

Это верно из-за подобия треугольников AHS и CBS по двум углам: действительно,

б) Из пункта а) следует, что

Ответ:

Источник

Известно что bd медиана треугольника abc а ad медиана треугольника abf

Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = CO.
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение

Поскольку треугольник BOC равнобедренный, то его медиана OD является высотой, поэтому AD – высота (и медиана) треугольника ABC. Значит,
AB = AC, а O – точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда и биссектриса CF является его высотой. Поэтому и AC = BC.

Замечания

1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 2).

Источники и прецеденты использования

Источник

Известно что bd медиана треугольника abc а ad медиана треугольника abf

В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.

б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.

а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы Тогда Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: откуда что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.

б) По свойству биссектрисы откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:

Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:

Ответ: б)

Источник