Известно что число 177 является

Известно что число 177 является

Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.

а) Может ли получиться 13?

б) Может ли получиться 6?

в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 6?

Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.

При равенство будет выполнено. Следовательно, 117 − один из возможных примеров.

Но следовательно, левая часть равенства не меньше 94, а правая часть не больше 45. Противоречие.

в) Имеем уравнение требуется найти максимально возможное целое x. Рассмотрим случай Тогда

Исходное число не может быть равно 600, поэтому и минимальное возможное b, при котором x будет целым, равно 3. Тогда Заметим, что при получим

Теперь разберём случай Имеем:

Аналогично предыдущему надо рассмотреть получим

Далее рассмотрим случай Имеем:

Рассматривая найдем

Осталось рассмотреть случай, когда и Из исходного соотношения получаем:

откуда то есть

Тем самым искомое наибольшее значение равно 70.

Ответ: а) да, б) нет, в) 70.

Другой путь решения показан нами в заданиях 563580 и 563677.

Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все

Источник

Известно что число 177 является

Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения

есть два различных корня с равными абсолютными величинами.

Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем

Тогда будем иметь равенства:

Последнее равенство мы вправе переписать так:

Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:

Рассмотрим равенство

Покажем, что в последнем равенстве Действительно, если то тогда как Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства на Получим: Это равенство имеет место при

Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).

На есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи

Но тогда непременно должно выполняться равенство Коли это так, то равенство (***) примет вид: что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: и

Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, и при которых условие выполняется как при так и при

Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений

то

(последнее не имеет смысла).

Полученным значениям а будут соответствовать значения и в соответствии с равенством

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B₁, B, C₁ составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁, если известно, что AB = 2, AA₁ = 4.

а) Пусть тогда У пирамиды основанием служит высотой — высота треугольника проведенная к стороне Пусть K — основание высоты.

Ясно, что т. е. что и требовалось доказать.

б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты нужных точек:

Другое решение пункта а).

так как но

Ответ: б)

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.

Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства находим и откуда получаем: и

Второй случай не реализуется, поскольку а

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.

Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все

Даны натуральные числа и такие, что Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.

а) Найдите наименьшую сумму такую, что она является квадратом натурального числа.

б) Найдите наибольшее число c, если а сумма имеет наименьшее значение.

в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.

г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.

а) По условию, где k — натуральное число. Значит, Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на Поэтому минимальное возможное значение

б) Из пункта а) получаем, что Если сумма минимальна, то и сумма минимальна, значит, По условию, поэтому Искомое наибольшее значение c = 3.

в) По условию, а из того, что — арифметическая прогрессия, следует равенство Значит, Число b должно быть минимально, поэтому

г) Пусть тогда Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда Подбором получаем, что единственная пара чисел такая, что и удовлетворяющая последнему равенству, это пара Тогда получаем, что

Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.

Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть тогда и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что делится на 13.

Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения даются тривиальным решением и рекуррентными формулами то есть являются множеством упорядоченных пар

Источник