Известно что плоскость проходящая через вершину конуса и хорду cd основания

Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду ^ CD основания, образует с основанием угол, равный 60°, и удалена от центра основания на 6 см?

Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду ^ CD основания, образует с основанием угол, равный 60°, и удалена от центра основания на 6 см.

Объем конуса, если длина хорды CD равна 4 см.

Применена формула объёма конуса, теорема Пифагора, определения тангенса и синуса, их табличные значения.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину )?

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину ).

Центр сферы находится в центре основания конуса.

Образующая конуса равна 7√2.

Найдите радиус сферы.

Площадь основания конуса равна 18?

Площадь основания конуса равна 18.

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины.

Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5?

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов найдите объем конуса?

Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов найдите объем конуса.

Решите с обьяснением.

Если можно оформите задачи, пожалуйста?

Если можно оформите задачи, пожалуйста.

1. Образующая конуса равна 18 дм и составляет с плоскостью основания угол 30 градусов.

Найдите объем конуса, считая π = 3.

2. Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол 30 градусов.

Найдите объем конуса, считая π = 3.

3. Образующая конуса равна 24 см и составляет с плоскостью основания угол 30 градусов.

Найдите объем конуса, считая π = 3.

Высота конуса равна 10см?

Высота конуса равна 10см.

Угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.

Вычислительной площадь основания конуса.

Высота конуса равна 10см?

Высота конуса равна 10см.

Угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.

Вычислительной площадь основания конуса.

Образующая конуса равна 12см и состовляет с плоскостью основания угол 30°?

Образующая конуса равна 12см и состовляет с плоскостью основания угол 30°.

Найдите объем конуса, считая п = 3.

Высота конуса равно 20 расстояние от центра основания до образующей равно 12 см?

Высота конуса равно 20 расстояние от центра основания до образующей равно 12 см.

Найдите объем конуса.

Образующая конуса равна 12см и составляет с плоскостью основания угол в 30градусов?

Образующая конуса равна 12см и составляет с плоскостью основания угол в 30градусов.

1км = 1000000мм 6км 350м = 6 350 000мм.

6 * 7 = 42 6 * 30 = 180 6 * 17 = 102 6 * 15 = 90.

S = 312 см² S = ab а = 13 см 13b = 312 b = 312 / 13 b = 24. P = (а + b) * 2 P = (13 + 24) * 2 = 74 см Ответ : P = 74 см.

Источник

Известно что плоскость проходящая через вершину конуса и хорду cd основания

Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

а) Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду — треугольник ASB. Две стороны сечения это образующие конуса. Они равны, поэтому треугольник SAB равнобедренный. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда

Тогда в треугольнике SAB угол S наименьший (так как лежит против меньшей стороны), а следовательно, острый. Два других угла равны между собой, поэтому тоже острые. Таким образом, треугольник SAB остроугольный.

б) Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и ОН перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе:

Ответ:

Источник

Известно что плоскость проходящая через вершину конуса и хорду cd основания

а) Докажите, что плоскость делит объем параллелепипеда в отношении 1:5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB₁.

а) Докажите, что расстояние между прямыми и равно расстоянию между точкой A и плоскостью .

б) Найдите объём пятигранника ABCA₁D.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно а ребро основания равно 4. Точка D — середина ребра BB₁.

а) Докажите, что объемы пятигранников A₁B₁C₁CD и равны.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскость делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1:2, считая от точки M.

б) Вычислите объём пирамиды MPTC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.

а) Докажите, что

б) Вычислите объём пирамиды MPTA.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N проведена плоскость, параллельная медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На ребрах AA₁ и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A₁E, CF = 2C₁F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B₁, к объему всего куба.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Шар, радиус которого равен 2, вписан в правильную четырехугольную пирамиду SABCD с вершиной S. Второй шар радиуса 1 касается первого шара, основания пирамиды и боковых граней BSC и CSD. Найдите объем пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно Найти объём пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ описана около шара радиуса 1. Пусть M — середина ребра BB₁ и N — середина ребра СС₁. В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём этого цилиндра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием пирамиды является ромб со стороной 2, а его острый угол равен 45 градусов. Шар, радиус которого равен касается плоскостей каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на тороне основания пирамиды. Найти объём пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, AC = 6, AA₁ = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB₁ и CC₁ соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM = MB₁, а AN является биссектрисой угла CAC₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от вершины S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Сечение SAB, проходящее через вершину S прямого кругового конуса, имеет площадь 60. Точки A и B, лежащие на окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD₁ и АС равен

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А и С параллельно прямой ВD₁.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном параллелепипеде ABCD₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD и AC₁ равен 0,14.

А) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В и D параллельно прямой AC₁.

Б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Правильная треугольная призма ABCA‍₁B‍₁C‍_1‍ описана около шара радиуса R.‍ Точки M‍ и N —‍ середины рёбер BB‍_1‍ и CC‍₁.‍ В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN.‍ Найдите объём цилиндра

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B₁, B, C₁ составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁, если известно, что AB = 2, AA₁ = 4.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD₁;

б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины D₁.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.

а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр ABCDс прямыми плоскими углами при вершине Площади граней BCD, ACD и ABD равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что точки B, C₁, D и A₁ не лежат в одной плоскости.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C₁, D и A₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар.

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара.

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Через ребро BC правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ под углом 60° к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна а высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро A₁B₁ в отношении 1 : 3, считая от точки B₁.

б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде PABC к основанию ABC проведена высота РО. Точка K — середина СО.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, P и K делит ребро BC в отношении 1:4.

б) Найдите объем большей части пирамиды PABC, на которые ее делит плоскость APK, если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA₁ и B₁D₁C, если известно, что отрезок диагонали AC₁, заключенный между этими плоскостями, имеет длину

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.

а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.

б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка M так, что SM : MС = 7 : 18.

а) Докажите, что плоскости SBC и ABM перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость ABM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро CC₁ в такой точке М, что MC : MC₁ = 1 : 2.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое ребро BB₁ равно 12. На ребре BB₁ отмечена точка M так, что BM : B₁M = 1 : 7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD₁.

б) Найдите объем пирамиды MACD₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА : МР = 9 : 16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды МАВС.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N — середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ = 8, АР = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB =13, Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что B₁KLM — правильная пирамида.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней и равны 15 и 9 соответственно,

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A₁C = BD = 2.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC&nbsp— диаметр основания. Известно,что

а) Докажите, что угол между прямыми и BC равен

б) Найдите объём цилиндра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки а на окружности другого основания — точка причём — образующая цилиндра, а AC&nbsp— диаметр основания. Известно,что

а) Докажите,что угол между прямыми и BC равен

б) Найдите объём цилиндра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями BC и АD. Точка К — середина ребра Плоскость α проходит через середины ребер AB и параллельно прямой

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном параллелепипеде точка K лежит на ребре так, что Плоскость α, проходящая через точки K и параллельно прямой пересекает ребро в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде РABC (Р — вершина) точка М лежит на ребре РС так, что Точка K лежит на прямой АВ так, что Точка В находится между точками A и K.

а) Докажите, что прямые АM и СK перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды АМСК, если известно, что АВ = 2, АР = 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC, точки P, Q, R лежат на боковых ребрах AS, CS и BS, причем

а) Доказать, что объемы пирамид SPRQ и SABC относятся как 4 : 27.

б) Найти объем пирамиды CPQR, если AB = 2 и SA = 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Доказать, что биссектриса CL треугольника KSC принадлежит плоскости сечения.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения делит пирамиду, если АС = 1 и AS = 2.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.

б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В четырехугольной пирамиде SABCD (четырехугольник в основании выпуклый) боковые ребра SA, SB и SC попарно перпендикулярны и имеют длину 3. Длина SD равна 9. Найдите

а) угол наклона ребра SD к плоскости основания.

б) наибольшее возможное при этих условиях значение объема пирамиды SABCD.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки и С проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан куб

а) Докажите, что плоскость делит диагональ куба в отношении 1 : 2.

Б) Найдите объем пирамиды если известно, что ребро куба равно 2.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью АРК является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость АРК.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD = DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCМD, где М — точка пересечения ребра АD и плоскости

сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ₁.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.

б) Найдите объем пирамиды.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.

б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором

а) Докажите, что объем пирамиды составляет объема призмы.

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды если известно, что

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и середину ребра AB, а другая — через точку B, имеют равные площади.

а) Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений.

б) Найти расстояние между секущими плоскостями.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 3. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B₁L = 2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, В треугольнике ABD проведена биссектриса а в треугольнике BCD проведены медиана и высота

а) Найдите объем пирамиды

б) Найдите площадь проекции треугольника на плоскость ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, длина стороны которого равна Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольника ABC. Расстояние от точки О до стороны АС равно 1. Синус угла OBA относится к синусу угла OBC как Площадь грани SAB равна

а) Найдите объем пирамиды.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме сторона основания AB равна 6, а боковое ребро равно 3. На ребре отмечена точка L так, что Точки K и M — середины ребер AB и соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, параллельная плоскости ABC пересекает ребра AS, BS, CS и DS в точках и соответственно.

а) Докажите, что треугольники и равны.

б) Найдите объем пирамиды если и плоскость делит SO в отношении считая от вершины S.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник ABC со стороной В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник A₁B₁C₁ так, что он повернут относительно треугольника ABC на угол 60°.

а) Докажите, что четырехугольник ABB₁C₁ — прямоугольник.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK = KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.

а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.

б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.

а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите объем пирамиды CDKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 7, а боковое ребро SA = 10. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 4, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 7.

а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите объем пирамиды CDKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB = 6 и AA₁ = 3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁ отмечена точка M такая что CM = 1.

а) Докажите, что прямая OO₁ содержит точку пересечения медиан треугольника ABM.

б) Найдите объем пирамиды ABMC₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁.

а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB₁ и B₁D.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.

а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сторона основания AB равна а боковое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ отмечена точка M так, что Плоскость параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки M и A.

а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 4, SK : KB = 1 : 3.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади как 3 : 4.

б) Найдите объем пирамиды KBQPC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Источник