Известно что уравнение f x 13 где f монотонная функция

Методы решения конкурсных задач, основанные на свойствах монотонности функции

Функция f(x), определенная на множестве D, называется монотонно возрастающей на этом множестве, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. По-другому это означает, что если Х1, Х2 ∈ D и при этом Х1 f(х2).

1. Если f(x) возрастающая функция, то неравенства a b (было бы f(a) > f(b)). Остается a х2, тогда в силу возрастания (убывания) функции f(x) получим f(х1) > f(х2) (f(х1) g(x2) (g(x) – функция убывающая). Получим f(x1) g(x2) (1). А т. к. f(x1) = g(x1) и f(x2) = g(x2), то выражение (1) противоречит определению корня, следовательно, что уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня.

4. Наибольшее и наименьшее значения возрастающей функции, заданной на отрезке, достигаются в концах отрезка (наибольшее – в правом конце, наименьшее – в левом). Чтобы их найти, достаточно вычислить значения функции в этих концах.

5. Если f(x) – функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то уравнение f(x) = x (1) и f(f(x)) = x (2) равносильны.

Доказательство: 1) Пусть x0 – решение уравнения (1), значит, что f(x0) = x0. Применяя к обеим частям этого числового равенства функцию f, получим f(f(x0)) = f(x0), а f(x0) = x0, следовательно, (f(x0)) = x0. Значит,x0 является решением уравнения (2).

2) Пусть x0 – решение уравнения (2), значит, что f(f(x0)) = x0. Предположим, что x0 не является корнем уравнения (1), т. е. f(x0) ≠ x0. Без ограничения общности, можно считать, что, f(x0) > x0. Применяя к обеим частям этого неравенства функцию f, получаем f(f(x0)) > f(x0), а поскольку мы допустили, что f(x0) > x0, получим f(f(x0)) > x0, что противоречит условию f(f(x0)) = x0, следовательно f(x0) = x0.

Аналогично можно доказать следующее утверждение: если функция f(x) возрастающая (убывающая) на множестве D, то уравнение f(f(f(x)))) = x равносильно уравнению f(x) = x.

III Конструирование монотонных функций

Способ 1. Если f – возрастающая функция, то для любого числа c функция f + c – тоже возрастающая.

Доказательство: Рассмотрим x1∈ D и x2 ∈ D и пусть x1 0 при любом x, то корень данного уравнения – число положительное, т. е. x > 0. При x > 0 функция g(x) = х2 + 2х + 3 – возрастающая, тогда f(x) = 2×2+2x+3 – возрастающая, следовательно, функция у = х⋅ 2×2+2x+3 – возрастающая, как произведение двух возрастающих положительных функций, а т. к. у = 64 – функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором. х = 1.

4. Решить неравенство: 2x + 3x + 4x 0, перейдем от неравенства (2) к равносильному неравенству (3)

Отметим, что оба сомножителя – логарифма в левой части неравенства (3) являются положительными монотонно возрастающими функциями от х на указанной выше области допустимых значений. Поэтому вся левая часть неравенства (3) монотонно возрастает на области допустимых значений х, причем в точке х=4, как это проверяется непосредственной подстановкой, она превращается в 1. Следовательно в области все х являются решениями неравенства (3). Отсюда следует ответ.

16. Решить уравнение

В обоих логарифмах перейдем к основанию 3 и получим уже следующее уравнение

Умножим обе части полученного уравнения на величину и получим, учитывая положительность этой величины, равносильное исходному уравнению.

Далее введем в рассмотрение вспомогательную функцию и отметим, что последнее полученное уравнение, в свою очередь, может быть переписано в виде

Можно утверждать, что уравнение (1), а следовательно и исходное уравнение, равносильно следующему уравнению = (2).

Уравнение (2) решим стандартным способом, раскрывая модуль на участках и поочередно.

. Отметим, что оба найденные значения принадлежат рассматриваемому участку и поэтому являются искомыми решениями уравнения (2).

17. Решить уравнение (1)

Исходное уравнение может быть преобразовано к виду

Отметим, что функция является монотонно возрастающей, что усматривается, например, из того, что монотонно возрастающей является функция. Поэтому уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) равносильно уравнению

Уравнение (3) приводится к виду

Отсюда следует ответ.

18. Решить уравнение.

Определим область допустимых значений: х>0. Это уравнение является квадратным относительно. Перенесем все в левую часть уравнения:

Решим это уравнение как квадратное относительно.

, при всех значениях х из ОДЗ.

19. Решить неравенство.

ОДЗ неравенства есть все х из промежутка. Все х из промежутка являются решениями исходного неравенства, так как для каждого такого х имеем, что функция неотрицательна, а функция отрицательна.

Рассмотрим неравенство на промежутке. Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то уравнение = имеет единственный корень на этом промежутке. Легко увидеть, что таким корнем является число.

Для каждого х из промежутка (0;1) имеем, что >1, а 1. Поэтому такие х не удовлетворяют данному неравенству.

Итак решениями исходного неравенства являются все х из промежутка.

Источник

По математике на тему «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»(10 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Использование понятия области определения функции 2

Использование понятия области значений функции 3

Использование свойства монотонности функции 6

Использование свойств четности или нечетности функций 8

Использование свойства периодичности функции 9

Метод функциональной подстановки 10

Функциональный метод решения уравнений и неравенств.

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f ( x ) называется множест­во значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁, D ₂. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D ₁∩ D ₂. Ясно, что когда множество D пустое ( D = Ø), то урав­нение решений не имеет.

Пусть требуется решить неравенство f ( x ) > 0. D ( f ) — область определения функции f ( x ). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f ( x ) > 0, то D ( f ) представляет собой решение данного неравенства.

1) Решите уравнение: + =5

ОДЗ: 1- x 0, x 1, решений нет.

3) Решите уравнение: + = x — 1

Решение.

1- x 0

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.

x =1 + =1-1, 0=0. Верно.

5) Решите неравенство: + 1

1.Область определения левой части: 1.

2.Для любого x из области определения выполняется неравенство + 1

Ответ: x (- ;-1][1;+ ).

Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f ( x ) называется множество зна­чений переменной у, при допустимых значениях переменной х.

Функция у = f ( x ) называется ограниченной на данном про­межутке (содержащемся в области ее определения), если су­ществует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство N .

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁ , D ₂. Обозначим область значений этих функций соответственно Е₁ и Е₂. Если х₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f ( x ₁) = g ( x ₁), где f ( x ₁) — значение функции f ( x ) при х = х₁, a g ( x ₁) — значение функции g ( x ) при х = х₁. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f ( x ) и g ( x ) имеют общие элементы (Е₁ ∩ Е₂ Ø). Если же таких общих элементов множества Е₁ и Е₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

1) Решите уравнение: cos 2 x = x -8 x +17

cos2 x = (x-4)+1

ОДЗ :

-1 cos2 x 1; (x-4)+11

Равенство достигается, если cos 2 x =1, x =4

(x-4)+1 = 1

2) Решите уравнение: + =2

x +9 0

0, 3 + 3, решений нет.

3) Решите уравнение:

ОДЗ:

0 для допустимых значений x

03

3 для допустимых значений x

Равенство достигается, если =3

=3

Решим первое уравнение системы:

=

При x =0 второе уравнение обращается в верное равенство, следовательно, решением системы и уравнения является x =0.

4) Решите уравнение:

ОДЗ:

Равенство достигается, если

Из второго уравнения системы имеем х = 3. Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = 3 является решением системы.

5) Решите уравнение:

ОДЗ:

, .

Равенство достигается, если

Если , то

6) Решите уравнение:

Поскольку , то или .

, или

Решением первой системы является , . Вторая система решений не имеет.

Ответ: , .

8) Решите неравенство: >2

ОДЗ: ,.

При любом из области определения >0, следовательно, .

Так как , то >2 на всей области определения.

Ответ: .

9) Решите неравенство:

ОДЗ:

Так как при любом x справедливы неравенства и , то данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

, т.е. при x =0.

10) Решите уравнение:

Использование свойства монотонности функции.

Функция, только возрастающая или только убывающая на дан­ном числовом промежутке, называется монотонной на этом про­межутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, исполь­зуемых для установления характера монотонности функций и ле­жащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на проме­жутке X и функция g ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция h (х) = f ( x ) + g ( x ) + С также возрастает (убывает) на проме­жутке X (С — произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция f ( x ) неотрицательна и возрастает (убы­ вает) на промежутке X , функция g ( x ) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X , С > 0, то функция h (х) = С ∙ f ( x ) ∙ g ( x ) также возрастает (убывает) на промежутке X .

Теорема 4. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция – f ( x ) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Теорема 5. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X и со­храняет на этом множестве знак, то функция на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции f ( x ) и g ( x ) возрастающие или обе убывающие, то функция h (х) = f ( g ( x )) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h (х) = f ( g ( x )) — убывающая функция.

Теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X , то уравнение f ( x ) = С имеет на промежутке X не более одного корня.

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих нера­венств.

1) Решите уравнение:

ОДЗ:

Функция х 2 + убывает на промежутке (- ;-0], а — постоянная функция.

2) Решите уравнение:

— функция убывает на ;

— функция возрастает.

Подбором находим, что .

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

3) Решите уравнение:

Функция возрастает на ; функция убывает на этом отрезке.

Подбором находим, что

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

Значит уравнение имеет не более одного корня.

Значит уравнение имеет не более одного корня.

ОДЗ: х — 1.

Левая часть уравнения задает возрастающая, а правая убывающая функции.

Значит, это уравнение имеет не более одного корня.

7) Решите систему уравнений

поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении

Полученная система имеет единственное решение x = y =3.

Использование свойств четности или нечетности функций

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значе­ния, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противопо­ложного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чет­ных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение или неравенство F (х) = 0, F (х) > 0, ( F (х) F (х) — четная или нечетная функция.

а) Чтобы решить уравнение F (х) = 0, где F (х) — четная или не­четная функция, достаточно найти положительные (или отрица­тельные) корни, после чего записываются отрицательные (или по­ложительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F (х). Для четной функции значение х = 0 проверяет­ся непосредственной подстановкой в уравнение.

в) Чтобы решить неравенство F (х) > 0 ( F (х) F (х) — не­четная функция, достаточно найти решения для х > 0 (или х F (х) для х > 0 (или х 0).

1) Может ли при каком-нибудь значении a уравнение иметь 2 x -3 ax +4 x — ax =5 пять корней?

Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения – четная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом a четно. Поэтому пяти корней оно иметь не может.

2) Решите уравнение: x +5-24=0

ОДЗ: xR

Функция f ( x )= x +5-24 – четная, x =0 – не является корнем уравнения, поэтому достаточно найти решения для x >0

x +5-24=0 x =3

Использование свойства периодичности функции

Если функция F (х) — периодическая, то решение уравнения F (х) = 0 или неравенства F (х) > 0 ( F (х)

1) Решите неравенство:

х є ( ; ). Но тогда оно будет выполняться и для всех ( ; ).

Учитывая периодичность: +

Ответ: +

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y =ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

1) Решите уравнение: tgx + ctgx + tg ² x + ctg ² x + tg ³ x + ctg ³ x = 6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y = tgx + ctgx, тогда tg²x + ctg²x = y² – 2, tg³x + ctg³x = y³ – 3y

Источник