Известно что в кошельке лежало n монет

Известно что в кошельке лежало n монет

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 и 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рубль, если n = 16?

б) Могли ли её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?

а) Допустим у нее было 5 монет по 2, 5 монет по 5 и 6 монет по 10, итого 16. При этом 64 = 6 · 10 + 2 · 2 и 31 = 5 · 5 + 3 · 2.

б) У нее должны были быть минимум две монеты в 5 рублей, иначе суммы 15 и 25 не набрать. Остается набрать 15 − 5 + 20 + 25 − 5 = 50 с помощью 24 монет. Если среди них есть десятка или пятерка, то общая сумма не меньше 23 · 2 + 5 = 51. Если же их нет, то общая сумма равна 24 · 2 = 48.

в) Пусть было x пятирублевых, y двухрублевых и 19 − x − y десятирублевых. Тогда общая сумма была равна 5x + 2y + 10 · (19 − x − y) = 96, значит, 5x + 2 · (y − 3) + 10 · (19 − x − y) = 90 откуда следует, что y − 3 кратно 5.

Если y = 3, то получим 5x + 10 · (16 − x) = 90, x = 14.

Если y = 8, то получим 5x + 10 · (11 − x) = 80, x = 6.

Если y = 13, то получим 5x + 10 · (6 − x) = 70, x = −2, что невозможно.

Если y = 18, то получим 5x + 10 · (1 − x) = 60, x = −10, что невозможно.

Брать y еще больше нельзя.

Итак, оптимальный случай — 8 монет по 2 рубля, 6 монет по 5 рублей и 5 монет по 10 рублей.

Источник

Известно что в кошельке лежало n монет

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рублей, если n = 16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?

а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет, 2 пятирублёвые моменты и 2 двухрублёвые монеты (9 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 3 двухрублёвые (7 монет).

б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За сырок она заплатила либо 10 двухрублёвых монет, либо не более 7 монет. За компот Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно пятью двухрублёвыми, двумя пятирублёвыми или одной десятирублёвой монетой. Значит, за компот она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. За булочку Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 20 рублей можно десятью монетами или не более чем 7 монетами. То есть всего за булочку Аня отдала 11 или не более 8 монет. Пусть за сырок Аня заплатила не более 7 монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Противоречие. Пусть за компот Аня заплатила не более трех монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Противоречие. Пусть за булочку Аня заплатила не более 8 монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Значит, возможен только вариант, когда Аня заплатила за сырок 10 монет, за компот 6 монет, за булочку 11 монет. Но в таком случае общее количество монет равно 27, что тоже противоречит условию. Таким образом, ответ отрицательный.

в) Аня потратила четное число пятирублевых монет, потому что иначе сумма, заплаченная двухрублевыми и десятирублевыми монетами была бы нечетна, а это невозможно. Пусть Аня не потратила ни одной пятирублевой монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 2 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 4 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет.

Пусть Аня потратила 6 пятирублевых монет, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение:

Значит, Аня могла потратить 6 пятирублевых, 5 десятирублевых и 8 двухрублевых монет.

Источник

Известно что в кошельке лежало n монет

Задание 19. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?

а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).

б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.

В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая монета, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию.

Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы не менее 22 рублей.

Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.

в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда

Из второго уравнения получаем , и, подставляя в первое, имеем:

Значит, делится на 8. Следовательно, число l нечётно. При l равном 1, 3 и 5 выражение равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится на 8.

Пример показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.

Источник

Известно что в кошельке лежало n монет

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?

а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).

б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.

В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая монета, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию.

Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы не менее 22 рублей.

Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.

в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда

Значит, делится на 8. Следовательно, число l нечётно. При l равном 1, 3 и 5 выражение равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится на 8.

Пример k = 15, l = 7 и m = 2 показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.

Приведем решение пункта б) Инны Никитиной.

За все покупки Аня заплатила 45 рублей. Если бы среди 19 монет в ее кошельке была хотя бы одна десятирублевая, то сумма денег в ее кошельке была бы не менее, чем 10 + 18 · 2 = 46 рублей, что противоречит условию, что Аня потратила все деньги из кошелька. Следовательно, в кошельке были только двухрублевые и пятирублевые монеты.

Если бы все монеты были двухрублевые, то сумма денег в кошельке была бы равна 19 · 2 = 38 рублей. Замена одной двухрублевой монеты на пятирублевую даст прибавку в 3 рубля, следовательно, при замене нескольких двухрублевых монет на пятирублевые получим дополнительную сумму, кратную 3, а необходимая дополнительная сумма, равная 45 − 38 = 7, не кратна 3. Следовательно, набрать 45 рублей 19 монетами по 2, 5 и 10 рублей невозможно.

Источник

Известно что в кошельке лежало n монет

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рублей, если n = 16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?

а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет, 2 пятирублёвые моменты и 2 двухрублёвые монеты (9 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 3 двухрублёвые (7 монет).

б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За сырок она заплатила либо 10 двухрублёвых монет, либо не более 7 монет. За компот Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно пятью двухрублёвыми, двумя пятирублёвыми или одной десятирублёвой монетой. Значит, за компот она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. За булочку Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 20 рублей можно десятью монетами или не более чем 7 монетами. То есть всего за булочку Аня отдала 11 или не более 8 монет. Пусть за сырок Аня заплатила не более 7 монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Противоречие. Пусть за компот Аня заплатила не более трех монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Противоречие. Пусть за булочку Аня заплатила не более 8 монет. Тогда всего она потратила не более, чем монеты. Значит, возможен только вариант, когда Аня заплатила за сырок 10 монет, за компот 6 монет, за булочку 11 монет. Но в таком случае общее количество монет равно 27, что тоже противоречит условию. Таким образом, ответ отрицательный.

в) Аня потратила четное число пятирублевых монет, потому что иначе сумма, заплаченная двухрублевыми и десятирублевыми монетами была бы нечетна, а это невозможно. Пусть Аня не потратила ни одной пятирублевой монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 2 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 4 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение: целых решений оно не имеет.

Пусть Аня потратила 6 пятирублевых монет, x десятирублевыx и двухрублевых. Получим уравнение:

Значит, Аня могла потратить 6 пятирублевых, 5 десятирублевых и 8 двухрублевых монет.

Источник