Известно что в трапецию можно вписать окружность докажите что окружности построенные

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Источник

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

5.

6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Источник

Известно что в трапецию можно вписать окружность докажите что окружности построенные

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,

Если угол, вписанный в окружность, прямой, то он опирается на диаметр. Следовательно, отрезок AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x

Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S₁. Тогда

а так как диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что

Следовательно,

Ответ: б)