Как научиться решать задачи с параметром
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18
И знать здесь действительно нужно много.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!
Учимся решать задачи с параметрами! Новые статьи и лайфхаки!
Разбираем задачи с параметром!
Как научиться решать задачи с параметрами?
Лучше всего (и об этом мы написали на прошлой неделе) – учиться на нашем Онлайн-курсе.
Потому что параметры – не та тема, которую можно освоить по бесплатным видео на ютьюбе.
Надо знать, с чего начинать. Знать методику. Множество приемов и секретов решения.
На этой странице вы найдете всё необходимое. Только не пропускайте ничего, пожалуйста. Здесь важны все элементы.
Какие базовые элементы используются в задачах с параметрами.
А если вы уже учитесь на моем онлайн-курсе – мы начали тему «Задачи с параметрами» на прошлой неделе! 16 и 17 ноября – темы «Функции и графики». 17 ноября узнали, что такое производная.
Еще не поздно присоединиться и вместе осваивать математику на 100 баллов.
И несколько лайфхаков по решению задач с параметрами:
1. Два важных правила, которые помогают всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…». Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
4. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И на нашем онлайн-курсе вы сможете это сделать, используя встроенный тренажер задач.
Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор
 Лектор, методолог, автор учебных материалов и пособий |
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Как научиться решать параметр?
Предубеждения…
Существует мнение, что задание с параметром является одним из самых сложных, как в ЕГЭ, так и на математических олимпиадах, хотя практика, вместе со статистикой за прошлый год показывают обратное (советую, кстати, изучить книжку целиком). Геометрическую задачу на ЕГЭ решают куда хуже параметрической, да и за теорию чисел полный балл получают куда реже, чем за параметр. Более того, не забываем, что задача с параметром носит алгебраический характер, а значит ее решение можно свести к применению нескольких базовых идей, которые нужно должным образом освоить. Отсюда вывод — в параметрической задаче нет ничего сложного и глубоко идейного. Единственное, что вам необходимо — уровень физмат культуры на уровне средней физмат школы и знакомство с основными методами и приемами. Если вы проходите по вышеперечисленным требованиям, то предлагаю переместиться дальше и перейти к делу. В этой статье вы узнаете все основные типы параметрических задач, которые встречались и могут встретиться на ЕГЭ, общие приемы их решения, классификацию оных, и лучшие пособия, которые помогут вам научиться решать любые параметрические задачи.
Что же нужно знать?
Для начала следует сказать, что вы должны в совершенстве уметь решать задачи типа 13 и 15 и уверенно обращаться с общими темами школьной программы. Для удобства все необходимые темы удобным образом классифицированы.
1) Алгебра многочленов:
2) Более сложные функции:
3) Общие свойства функций и их исследование:
Да, конечно, тут ничего не сказано про то, что желательно обладать базовыми знаниями в области планиметрии, но это считается как само собой разумеющееся умение. Если что-то из вышеперечисленного вызывает сложности, то для начала необходимо устранить проблемы с какими-то базовыми вещами. Для этого подойдет любой учебник для профильных классов (Виленкин, например). Можно, помимо этого, посмотреть соответствующие главы пособия Шабунина и Ткачука.
Непосредственно параметры и опорные идеи:
Для начала, давайте зададим следующее разделение на основные подходы к задачам и постараемся выделить характерные особенности каждого из них на примере различных параметрических задач.
Исследование базовых множеств точек
Для начала предлагаю мысленно осознать справедливость написанного в таблице. После этого вспомнить всего лишь 3 вещи, которые понадобятся нам для решения задач по этой теме: уравнение окружности, формула расстояния от точки до точки, формула расстояния от точки до прямой. Всё вышеперечисленное поможет свести эти геометрические картинки на язык алгебры.
Для отработки советую попробовать решить следующие задачи: 1 (взаимное расположение окружностей); 2 (взаимное расположение окружности и прямой). Следует понимать, что ко всему этому могут добавляться такие вещи, как модули (вот такое, например, 3), но это ведь никак не меняет общего подхода, которым мы пользуемся, а именно исследованием взаимного расположения окружностей (просто теперь окружности не две, а три), а могут и две прямые появиться, как, скажем, тут — 4. Помимо этого, бывает и такое, что само уравнение окружности несколько замаскировано — 5.
Если вы видим в условии 2 странных радикала из суммы двух квадратов, то тут нам опять следует вспомнить формулу расстояния между двумя точками и понять, что очень возможно, что геометрический образ этого равенства — это всего лишь отрезок. Вот тут вам расскажут почему и разберут задачу по этой теме. Ниже представлен график множества точек, удовлетворяющий аналогичному равенству с квадратными корнями.
Следует заметить, что задачи такого типа могут иметь и менее приятный вид, как тут 8, или тут 9. Но если вы немного сечете в равносильных преобразованиях, то одним действием вы приведете задачу к привычному виду. Помимо этого, не забываем использовать плоскость ХА, если задачу можно свети в к тому, что хорошо рисуется в ХА — 10. Ну и, конечно,- любим преобразование алгебраических выражений и разложение на множители, как тут — 11. Также стараемся не зацикливаться на всяких окружностях и прямых. Вы ведь все равно сможете применить свои знания и с опорой на графический метод решить задачу такого типа? Главное же чтобы хорошо рисовалось!
Сведение задачи к исследованию знакомых функций
Использование особых свойств вырвиглазных функций
Заключение
Все! Вот и 30 задач позади. Все базовые идеи разобраны. Какой же вывод мы можем сделать? Во-первых, чтобы успешно решить задачу с параметром, необходимо понять к какому типу она принадлежит. Для этого в самом начале отвечаем себе на два вопроса: 1) Выглядит ли условие похожим на что-то, что можно изобразить в осях ХУ? 2) Могли бы вы нормально решить это уравнение/систему, если бы вместо a стояло какое-то конкретное число (вот уравнение вида x²=a я решить наверное при любом а смогу, а если дело дойдет до x²=a*cos(x), то, наверное, не смогу). Если на первый вопрос ответ утвердительный, то сразу вспоминаем первый метод, уравнение отрезка и взаимное расположение прямых-окружностей вкупе с методом областей.
Если ответ на второй вопрос — «да», то делаем равносильное преобразование и/или исследуем квадратный трехчлен. Если оба ответа оказались отрицательными и ваше условие какое-то страшненькое, то собака, похоже, зарыта в использовании особых свойств: симметрия (часто есть модули), монотонность (есть композиция, или кучи модулей у одного из которых большой коэффициент), или оценка с непрерывностью (ну тут уже методом исключений разберетесь).
Что делать дальше?
Уверен, что все вы понимаете, что прочитать одну статью — это маловато. Нужно решить намного больше задач! Более того, желательно, чтобы это были не ЕГЭшные задачки или не кальки на них, иначе вы натаскаетесь только на какие-то ограниченные типажы и будете совсем неготовыми к чему-то новому, да и думать не научитесь толком. Если коротко, то вам нужно быть готовыми ко всему и решать как можно больше различных (в идейном плане) задач, поэтому советую что-то в духе:
Конечно, не забываем про оформление. Для этого я очень настоятельно рекомендую скачать соответствующий файл тут (по математике). Очень будет полезно будет понять как рассуждают эксперты, проверяя ваши работы.
На этой ноте статье пора заканчиваться. Надеюсь, что она оказалась для вас интересной и полезной. Если вам кажется, что она может помочь кому-то еще, то обязательно распространите и поделитесь ею, ну и конечно не забывайте ставить лойсы. При хорошем отклике мы обязательно продолжим эту серию постов и расскажем вам про другие задачи второй части профильного ЕГЭ.
Решайте много заданий, ищите нестандартные решения и помните, что от тяжелой работы еще никто не умирал.
Задачи с параметрами. Учимся нестандартно мыслить!
Задачи с параметрами — это высший пилотаж на ОГЭ и ЕГЭ, а также на вступительных экзаменах во многие престижные ВУЗы! Эти задачи очень красивые и здорово развивают логическое мышление и умение нестандартно мыслить! Но ученика, который берётся за подобную задачу, поджидает несколько трудностей.
Трудность первая. В большинстве школ (часто даже физико-математических) такие задачи решать не учат. Совсем. Поэтому среднестатистический ученик, который не может себе позволить индивидуальные занятия с хорошим репетитором, вынужден действовать на свой страх и риск. И я бы не сказал, что это легко, поскольку очень часто даже сама формулировка такой задачи может вогнать, что называется, в ступор. Например, в задаче сказано: «Решить уравнение такое-то для любого значения параметра a». И многие ученики при виде такой формулировки начинают задавать преподавателю вопросы типа: «Это как? Подставить какое-нибудь а и решить?»
Приведённый вопрос наглядно иллюстрирует и вторую трудность в решении подобных задач – логическую. Увы, но хорошее логическое мышление от природы не даётся, и его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Необходимо морально подготовиться к серьёзной борьбе с собой. Ну и приведённый материал необходимо освоить идеально. И обязательно решить домашнее задание в конце урока. Зато результат со временем окупится с лихвой.)
Аналитические методы решения задач с параметрами.
Квадратные уравнения с параметром. Исследование дискриминанта. Теорема Виета.
Ограниченность. Метод мажорант (метод оценок).
Инвариантность. Метод симметричных решений.
Графические методы решения задач с параметрами.