Как найти скорость электрона в магнитном поле

В некоторых электронных приборах используется влияние магнитного поля на движущиеся в нем электроны.

В § 3-2, в было получено выражение (3-6) для силы, с которой однородное магнитное поле действует на электрон, движущийся перпендикулярно направлению поля. Величина этой силы пропорциональна произведению магнитной индукции В, заряда электрона и скорости его движения v в направлении, перпендикулярпом направлению поля, т. е. Там же было установлено, что направление этой силы определяется по правилу левой руки.

Из выражения силы (3-6) следует, что при сила , т. е. магнитное поле на неподвижный электрон не действует. Так как направление силы F перпендикулярно направлению скорости движения электрона, то работа, совершаемая ею, равна нулю. Таким образом, энергия электрона и величина его скорости остаются неизменными, а изменяется только направление движения электрона.

Если на электрон действует только магнитное поле, то он будет перемещаться по окружности радиуса (рис. 13-4), расположенной в плоскости, перпендикулярной направлению ноля.

Сила F является центростремительной и уравновешивается центробежной силой электрона .

Так как эти силы равны, то можно написать

откуда определяется радиус, окружности

Отношение массы электрона к его заряду постоянно, следовательно, радиус окружности пропорционален скорости движения электрона и обратно пропорционален магнитной индукции поля.

Рис. 13-4. Движение электрона в магнитном поле при начальной скорости v в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции поля.

Рис. 13-5. Движение электрона в магнитном поле при начальной скорости, направленной под острым углом к вектору магнитной индукции поля.

Если начальная скорость электрона не перпендикулярна направлению поля, то ее следует разложить на две составляющие: нормальную, т. е. перпендикулярную к направлению поля и продольную, т. е. совпадающую по направлению с полем (рис. 13-5).

Первая составляющая скорости обусловливает движение электрона по окружности в плоскости, перпендикулярной к направлению поля, вторая составляющая обусловливает равномерное и прямолинейное движение электрона в направлении поля, таким образом, движение электрона происходит по винтовой линии (рис. 13-5).

Источник

Как найти скорость электрона в магнитном поле

Рассмотрим снова движение электрона, находящегося в однородном магнитном поле. Мы ожидаем, что при малых скоростях электрона описанное ранее движение будет совпадать с тем, что мы получим сейчас. При больших скоростях существенную роль должны играть так называемые релятивистские поправки. Эта задача представляет интерес не только для сравнения нерелятивистских и релятивистских результатов, но имеет и чисто практическое значение. Дело в том, что в установках, ускоряющих электроны до релятивистских скоростей, часто используют постоянные однородные магнитные поля, удерживающие эти электроны на круговых орбитах.

Выражение для силы, действующей на движущийся электрон со стороны магнитного поля, было получено нами ранее:

Второй закон движения в форме Ньютона имеет вид

В рассматриваемом случае электрон движется по круговой орбите с ускорением Поскольку скорость электрона остается постоянной

(изменяется лишь направление скорости), данный случай особенно прост для исследования, так как величина не изменяется в процессе движения.

В результате релятивистский закон движения можно записать в виде

Комбинируя второй закон Ньютона с выражением для силы, действующей на электрон со стороны магнитного поля, получаем

Отсюда находим напряженность магнитного поля, необходимую для удержания частицы на орбите радиусом

которую можно сравнить с определенной ранее напряженностью поля в нерелятивистском случае:

Эти напряженности отличаются множителем

Смысл полученного результата состоит в том, что в релятивистском случае требуется большее магнитное поле для удержания частицы с заданной скоростью на орбите заданного радиуса. Этот результат нетрудно понять. При заданных и ускорение электрона равно Произведение ускорения на массу дает требуемую силу. В релятивистском случае масса (или инерция) электрона возрастает при увеличении его скорости. Поэтому при заданном ускорении, т. е. при заданных и требуется большая сила. Но поскольку сила пропорциональна напряженности магнитного поля В, мы получаем, что в релятивистском случае требуется большее магнитное поле для удержания частицы с заданной скоростью на орбите заданного радиуса.

При желании можно считать, что разница между релятивистским и нерелятивистским выражениями целиком обусловлена изменением релятивистской массы электрона

возрастающей при увеличении его скорости (фиг. 47).

Измерение напряженности магнитного поля, удерживающего электрон со скоростью на орбите радиусом дает непосредственное представление об инерции электрона. Провести такие измерения относительно несложно, и они подтверждают справедливость релятивистского выражения (31.19), т. е. свидетельствуют о том, что инерция электрона возрастает с увеличением его скорости. Можно пойти дальше. При конструировании таких машин, как синхротроны, ускоряющих частицы, подобные электронам, до скоростей, близких к скорости света, приходится заранее определять размеры этих машин (связанные с радиусом орбиты частиц) и напряженности используемых в них магнитных полей. Приходится решать, сколько метров медного провода следует наматывать, какой ток, возбуждающий магнитное поле, пропускать по этому проводу, сколько акров земли надо покупать и т. д. Если требуется довести скорость электронов до заданной большой величины а размеры машины ограничены (нельзя купить больше земли), так что существует максимальный радиус орбиты частиц то необходимое для этого магнитное поле определяется из выражения

Фиг. 47. Зависимость массы от скорости.

Отсюда видно, что практические инженерные и экономические решения должны существенно зависеть от того, какие соотношения верны — релятивистские или нерелятивистские. Люди, имеющие отношение к подобным вещам, давно убедились в том, что справедливо релятивистское выражение, определяющее напряженность магнитного поля. Этот вывод был подтвержден так много раз и при таких разнообразных условиях, что сейчас уже потерял всякий смысл вопрос о том, проверена ли на опыте теория относительности. Она настолько хорошо проверена, что стала частью наших обычных представлений. Соотношения, вытекающие из теории относительности (подобно соотношениям геометрии Евклида), стали неотъемлемой частью нашего мышления и повсеместно используются инженерами, конструирующими ускорители частиц, в их практической деятельности. Вполне

возможно, что в будущем по неизвестным сейчас причинам эти представления (как и любые другие) придется уточнять. Но в настоящее время теория относительности внесла такую ясность в рассматриваемый круг явлений, что подобно геометрии Евклида в пространстве она заслужила титул «правдивой».

Максимальная скорость

Рассмотрим теперь поведение частицы, на которую действует постоянная однородная сила в заданном направлении. С точки зрения теории Ньютона такая частица будет испытывать постоянное ускорение, а ее скорость со временем будет неограниченно возрастать. Релятивистские уравнения можно записать в виде

где релятивистский импульс

В релятивистском случае импульс и энергия частицы, подверженной действию постоянной силы, непрерывно нарастают. Скорость же частицы не может превысить с.

Чтобы показать это, выразим из уравнения (31.3) скорость через импульс.

При заданной массе покоя и при больших значениях импульса это выражение можно приблизительно представить в виде

Таким образом, в пределе бесконечно больших значений импульса скорость приближается к с, но никогда не превышает эту величину.

Если действительно приложить к электрону постоянную силу (как, например, в эксперименте «Максимальная скорость» а затем измерить его скорость (измеряя, например, промежуток времени, за который электрон пролетает известное расстояние) и одновременно энергию, то можно убедиться, что скорость частицы связана с ее энергией или импульсом не в соответствии с ньютоновским выражением

Таким образом, мы получили следующий практический результат: несмотря на то, что импульс и энергия электрона непрерывно увеличиваются, его скорость, т. е. пройденное электроном расстояние,

деленное на соответствующий отрезок времени, приближается к постоянной величине — скорости света.

На фиг. 48 изображена принципиальная схема установки для определения максимальной скорости электронов [3].

Электроны ускоряют в однородном поле в левой части установки. Моменты их пролета через точки А и В засекают с помощью осциллографа. Таким образом определяют скорость электронов.

Их кинетическую энергию (которая превращается в тепло при попадании электронов в мишень) определяют по измеренному повышению температуры мишени.

Если построить затем график зависимости кинетической энергии от то он будет соответствовать не соотношению

(прямая линия на фиг. 49), а релятивистскому выражению

Источник

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

На рис.1 а, изображено электрическое поле в вакууме между двумя плоскими электродами. Они могут представлять собой катод и анод диода или любые два соседних электрода многоэлектродного прибора. Представим себе, что из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из жатода, вылетает электрон с некоторой начальной скоростью Vo. Поле действует на электрон с силой F и ускоряет его движение к электроду, имеющему более высокий положительный потенциал, например к аноду. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким положительным потенциалом. Поэтому поле в данном случае называют ускоряющим. Двигаясь ускоренно, электрон приобретает наибольшую скорость в конце своего пути, т. е. при ударе об электрод, к которому он летит. В момент удара кинетическая энергия электрона также будет наибольшей. Таким образом, при движении электрона в ускоряющем поле происходит увеличение кинетической энергии электрона за счет того, что поле совершает работу по перемещению электрона. Электрон всегда отнимает энергию от ускоряющего поля.

Скорость, приобретаемая электроном при движении в ускоряющем поле, зависит исключительно от пройденной разности потенциалов U и определяется формулой

Удобно скорости электронов выражать условно в вольтах. Например, скорость электрона 10 в, означает такую скорость, которую электрон приобретает в результате движения в ускоряющем поле с разностью потенциалов 10 в. Из приведенной формулы легко найти, что при U — 100 в скорость V

6 000 км/сек. При таких больших скоростях время пролета электрона в пространстве между электродами получается весьма малым, порядка 10 в минус 8 — 10 в минус 10 сек.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость Vo направлена против силы F, действующей на электрон со стороны поля (рис.1 б). В этом случае электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким положительным потенциалом. Та,к как сила F направлена навстречу скорости Vo, то получается торможение электрона и поле называют тормозящим. Следовательно, одно и то же поле для одних электронов является ускоряющим, а для других— тормозящим, в зависимости от направления начальной скорости электрона.

Источник

Движение электронов в электрическом и магнитном полях

Если два плоских, параллельно расположенных электрода поместить в вакуум и подключить к источнику электродвижущей силы, то в пространстве между электродами образуется электрическое поле, силовые линии которого будут прямолинейны, параллельны друг другу и перпендикулярны к поверхностям обоих электродов.

Знак минус свидетельствует о том, что сила F, действующая на отрицательный заряд —е, и напряженность поля Е имеют противоположные направления. Для однородного электрического поля произведение напряженности Е на расстояние между электродами h равно приложенной разности потенциалов между электронами:

и U к и U а — потенциалы электродов к и а.

Сила F, действующая на электрон, помещенный в ускоряющее однородное электрическое поле, с учетом формулы (1) будет определяться выражением

(2)

Рис. 1. Движение электрона в однородном электрическом поле.

Работа, совершаемая полем при перемещении электрона от одного электрода к другому, соответственно будет равна

А = Fh = e(U а — U к ). (3)

Электрон приобретает кинетическую энергию и будет двигаться от электрода к к электроду а равномерно ускоренно. Скорость υ, с которой электрон достигает электрода а, может быть определена из равенства

(4)

где m — масса электрона; υ а — скорость электрона у электрода а; υ к — скорость электрона у электрода к (начальная скорость).

Если пренебречь начальной скоростью электрона, то формула (4) может быть упрощена: заменив отношение заряда электрона к его массе числовым значением и выражая потенциалы в вольтах, а скорость в м/сек, получаем

(5)

Время пролета электроном расстояния h между электродами определяется формулой

(6)

Если электрон будет двигаться в направлении, совпадающем с направлением вектора напряженности электрического поля Е, то направление перемещения окажется противоположным силе, действующей на электрон, и он будет расходовать ранее приобретенную кинетическую энергию. Таким образом, двигаться навстречу действия поля электрон сможет лишь при условии, если он обладает некоторой начальной скоростью, т. е. некоторым запасом кинетической энергии.

При этом движение электрона будет равномерно замедленным (тормозящее электрическое поле) и, когда запас кинетической энергии электрона полностью израсходуется (т. е. кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную), электрон остановится и начнет равномерно ускоренно перемещаться в направлении действия силы F ( рис. 2 ).

Рис. 2. Движение электрона в однородном электрическом поле с начальной скоростью.

Практически однородное электрическое поле в электровакуумных приборах встречается крайне редко. В неоднородном поле напряженность изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. Поэтому и сила, действующая на электрон, тоже меняется как по величине, так и по направлению.

В электровакуумных приборах, наряду с электрическим полем, для воздействия на движение электронов используется также магнитное поле. Если электрон находится в состоянии покоя или если он движется параллельно силовой линии магнитного поля, то на него никакая сила не действует. Поэтому при определении взаимодействия движущегося электрона и магнитного поля следует учитывать только составляющую скорости, перпендикулярную силовым линиям магнитного поля.

Сила F, действующая на электрон, всегда перпендикулярна вектору напряженности магнитного поля тору скорости электрона ( рис. 3 ).

Рис. 3. Движение электрона в магнитном поле.

Направление силы F можно определять по «правилу буравчика»: если ручку буравчика вращать в направлении от вектора Н к вектору скорости электрона υ по кратчайшему угловому направлению, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением силы F. Так как действие силы F всегда перпендикулярно направлению движения электрона, то эта сила не может совершать работы и влияет лишь на направление его движения. Кинетическая энергия электрона остается прежней, он движется с постоянной скоростью. Величина силы F определяется по формуле

где е — заряд электрона; Н — напряженность магнитного поля; υ п — составляющая скорости электрона, перпендикулярная полю Н. Сила F сообщает электрону значительное центростремительное ускорение, изменяя при этом траекторию его движения. Радиус кривизны траектории электрона определяют по формуле

(8)

где Н — в эрстедах; υ п — в вольтах; r — в сантиметрах.

Изменяя напряженность магнитного поля, можно менять радиус траектории электрона. Если электрон имеет также и составляющую скорости вдоль силовых линий магнитного поля, то траектория электрона будет винтовой с постоянным шагом.

Часто электрон движется в пространстве, в котором одновременно имеются электрическое и магнитное поля. При этом, в зависимости от величины и направления начальной скорости электрона, а также от напряженности электрического и магнитного полей, траектория электрона будет иметь различную форму.

В качестве примера рассмотрим движение электрона без начальной скорости во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях ( рис. 4 ).

На электрон, помещенный в точку А, действует электрическое поле, и он начинает двигаться против направления вектора напряженности электрического поля.

Рис. 4. Движение электрона во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.

Как только у электрона проявляется какая-то скорость, возникает поперечная отклоняющая сила F, и чем больше будет скорость электрона с, которую он приобретает за счет взаимодействия с электрическим полем, тем больше становится сила F. В точке В движение электрона происходит перпендикулярно силовым линиям электрического поля. В этой точке электрон обладает наибольшей скоростью, а следовательно, и максимальной кинетической энергией.

Дальнейшее движение электрона происходит под действием магнитного и ставшего для него тормозящим электрического поля. В точке С вся кинетическая энергия, запасенная электроном ранее, будет израсходована на преодоление тормозящего электрического поля. Потенциал точки С равен потенциалу точки А. Электрон, описав циклоидную траекторию, возвращается на прежний потенциальный уровень.

Источник