Как решать кубический параметр

Новый метод решения кубического уравнения

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

– разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

– с помощью формулы Кардана

– применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача “Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения “. Пусть а = 1.

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2mn) 2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x 2 + 2bx +с = 0 ( 1 )

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn) 6 +2( 3c – b 2 )(2mn) 4 +(3c – b 2 ) 2 (2mn) 2 + [ 4( 3c – b 2 ) 3 + ( 2b 3 – 9bc + 27d ) 2 ]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 “Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

2. Определяем значение

Из этих уравнений следует, что

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3×2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3×2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3×2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.2 3×2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

Здесь X₂ = 1 второе решение исходного уравнения.

3.4 3×2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D₁ = 32400.

2.1 3 2 ∙ 7 2 ∙ 8 2 = 28224 ≠ 32400

Источник

«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

из (1): ; (7)

из (6) и (7) получим: ,

,

.

.

Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами кубического уравнения, то его корни будут членами геометрической прогрессии.

Ответ: а) ; б) .

Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Пример 1.

Рассмотрим два способа решения:

Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

1 способ. Ищем первый корень перебором чисел: 0, 1, 2, 3

и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем:

Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

Формулы Виета и кубические уравнения с параметром.

Пример 3. Определить все значения параметра a, при каждом из которых три различных корня уравнения
x3 + (a2 – 9 a) x 2 + 8ax – 64 = 0 образуют геометрическую прогрессию. Найти эти корни.

Шаг 1: Составление соотношений Виета.

Обозначим символами x1, x2 и x3 три различных корня уравнения и выпишем соотношения Виета для кубического уравнения:

Шаг 2: Использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

Из характеристического свойства геометрической прогрессии вытекает, что (x2)2 = x1x3, и тогда последнее из соотношений Виета дает: (x2)3 = 64, то есть

x2 = 4. Подставляя полученный корень в исходное уравнение, найдем все возможные значения a:
43 + 16(a2 – 9 a) + 32a – 64 = 0a(a – 7) = 0.

Осталось проверить найденные a (все остальные значения a заведомо не удовлетворяют условию): 1) При a = 0 уравнение принимает вид x3 = 64 и не имеет трех различных корней.

2) При a = 7 уравнение принимает вид x3 – 14 x 2 + 56x – 64 = 0(x – 4)( x 2 –10x + 16) = 0
(x – 4)(x – 2)(x – 8) = 0 (эти разложения на множители получены делением исходного кубического четырехчлена x3 – 14 x 2 + 56x – 64 на двучлен (x – 4) и разложением частного от деления (x 2 – 10x + 16) на линейные множители). Три его различных корня x1 = 2, x2 = 4 и x3 = 8 образуют геометрическую прогрессию.

Пример 4. Найти все значения параметров a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения
x3 – 5 x 2 + 7x = a, которые будут также корнями уравнения x3 – 8x + b = 0.

Шаг 1: Составление соотношений Виета.

Обозначим символами x1, x2 и u корни первого уравнения и символами x1, x2 и v корни второго уравнения. Существование третьего корня u для первого уравнения и третьего корня v для второго уравнения доказывается делением соответственно многочлена x3 – 5 x 2 + 7x – a и многочлена
x3 – 8x + b на квадратный трехчлен (x – x1)(x – x2).
Выпишем формулы Виета для корней первого и второго уравнений:

Шаг 2: Составление квадратного уравнения на общие корни и его решение. Вычтем из второго уравнения первое, получим:
.
Числа x1, x2 также являются корнями последнего уравнения, поскольку их подстановка в исходные уравнения приводит к верным числовым равенствам, а тогда верным будет и разность этих числовых равенств. По теореме Виета для квадратного уравнения имеем:

Сопоставляя эти соотношения с соотношениями Виета для кубических уравнений получим: u = 2, v = –3. Подставляя x1 + x2 = 3 и u = 2 в полученное на первом шаге соотношение x1x2 + (x1 + x2)u = 7, получим, что x1x2 = 1. Теперь находим значения параметров из соотношений Виета для кубических уравнений: a = x1x2u = 2, b = –x1x2v = 3, а для корней x1, x2 получаем систему уравнений:

Решив эту систему, получим

и .

При подстановке a = 2, b = 3 заданные уравнения принимают вид:

x3 – 5 x 2 + 7x = 2 и x3 – 8x + 3 = 0. Вспоминая шаг 2, можно предположить, что общими корнями этих уравнений являются числа

и .

Их подстановка в уравнения подтверждает предположение.

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по решению уравнений высших степеней.

В процессе работы над темой «Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » я

Изучила литературу по данному вопросу; Познакомилась с понятиями кубический и квадратный трехчлен; Исследовала решения кубических уравнений; Изучила историю поиска корней кубического и квадратного уравнения; Исследовала теорему Виета на применение для решения уравнений высших степеней.

Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. В перспективе я хочу исследовать на применение теоремы Виета в других уравнениях с высшими степенями и изучить историю их открытия.

1. черки по истории математики. – М.: Мир, 1963.

2. стория математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.: Наука, 1966.

3. Гариг Тарталья и Кардано о кубических уравнениях и его общественные основы. – М.: Архив истории науки и техники, 1935.

4. Гордиенко алгебры в Европе в XV–XIX столетиях. Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета / – Воронежский госпедуниверситет, 2007.

6. стория математики в древности. – М.: Наука, 1961.

7. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.: Наука, 1979.

8. Пачоли Лука. Трактат о счетах и записях. – М.: Финансы и статистика, 1983.

9. Попов задачи. М.: Наука, 1968.

11. Родионов по математике для поступающих в вузы: Решение задач с параметрами. – М.: МЦ «Аспект», 1992.

12. Рыбников математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.

13. Табачников : Методические разработки для учащихся ОЛ «ВЗМШ» Российской академии образования при МГУ. – М.: Фазис, 1996.

14. Чистяков о математиках. – Минск: Выш. шк., 1963.

15. Чистяков задачи по элементарной математике. – Минск: Выш. шк., 1978.

Источник

Ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания конечно, здесь можно сразу предполагать, что

Главная > Документ

Питкевич Сергей Викторович 10 кл.

Ядринская национальная гимназия

Руководитель: Казанбаева Зоя Захаровна

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

История рациональных уравнений.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

—ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а 0  0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Уместно напомнить, что сам термин «алгебра» происходит от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми, (то есть Мухаммеда из Хорезма) «Аль-джебр аль-мукабала», в котором излагались решения такого уравнения при n=1 и n=2.

Уравнения первой степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и уравнения второй степени. Евклид решал уравнения второй степени геометрически. Для математиков, уже умевших решать уравнения первой и второй степени, самым желанным было научиться решать уравнения третьей степени. Одним из первых этим вопросом заинтересовался таджикский ученый Омар Хоийен (1048-1122). Омар Хоийен придумал очень сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания неизвестного. Но для практического использования они неудобны.

Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти и для любой другой степени n>2 формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты с помощью четырех арифметических действий – сложения, вычитания, умножения, деления – и извлечения корней или радикалов, то есть, говоря более кратко, решали бы уравнение в радикалах.

Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел. Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n=3 и n=4.

Были периоды, когда начинало казаться, что сил человеческого ума недостаточно для решения этой задачи. Томас Торквемада–глава инквизиции в Испании, монах-доминиканец – считал, что решение таких уравнений волей бога изъято из возможностей человеческого разума. И когда один из его друзей, математик по имени Паоло Вальмес, неосторожно сказал Торквемаде, что он, Вальмес, умеет решать уравнения даже четвертой степени, Торквемада бросил его в тюрьму, а затем отправил на костер за «борьбу с божественной волей». Вальмес никому не успел сообщить о своем открытии. Это было в конце 15 века.

Сегодня ученый, сделав какое-либо открытие, стремится поскорее рассказать о нем на научной конференции, опубликовать статью в научном журнале. Совсем не так было в 16 веке. Сделав открытие, средневековый мыслитель скрывал его как можно дольше, оставаясь, так сказать, единственным владельцем того, чего нет ни у кого другого. Так было и в этом случае.

Для математиков того времени существовало не одно уравнение третьей степени

а несколько, из которых главнейшими были три:

А почему же не одно? Потому что в те времена рассматривались лишь уравнения с положительными коэффициентами. Первыми из них было решено уравнение х 3 +рх=q. Это удалось сделать итальянскому математику Сципиону Даль Ферро (1465-1526).

Даль Ферро не опубликовал найденного им способа, но некоторые из его учеников знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил им воспользоваться.

В те годы были распространены публичные диспуты по разного рода научным или считавшимися научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие посты, от исхода научного поединка нередко зависела судьба ученого. Фиор рассчитывал на победу в любом диспуте, ведь он знал то, чего не знали другие (правда, он не знал много, что знали другие).

В это время в итальянском городе Верна жил небогатый учитель математики Никколо Тарталья (1499-1557). Тарталья был очень талантливым человеком и сумел в 1535 году заново открыть прием, изобретенный Сципионом Даль Ферро.

Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию, соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось шестьдесят дней. Но так как Фиор знал по существу только одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не сможет, то все его тридцать задач оказались однотипными. Тарталья был хорошо подготовлен к их решению и справился со всеми тридцатью задачами за два часа. Фиор же не смог решить ни одной из задач, предложенных его противником. Победа прославила Никколо Тарталью на всю Италию, но вопрос о решении уравнений третьей степени еще не был решен до конца, кроме того, надо было привести в систему все, что было известно о решении разных видов кубических уравнений.

Вывод формулы кубического уравнения.

Это удалось сделать итальянскому математику Джироламо Кардано (24.9.1501 – 21.9.1576). Он вывел формулу для решения любого кубического уравнения. Кардано родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534 году стал профессором математики в Милане и Болонье. Эту формулу Кардано позаимствовал у Никколо Тартальи. Она (формула Кардано) была опубликована в книге Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры» в 1545году. Попробуем воспроизвести общий ход рассуждений Кардано.

Вывод формулы корней уравнения третьей степени:

Пусть дано общее уравнение третей степени

а 0 х 3 +а 1 х 2 +а 2 х+а 3 =0

Легко проверить, что если мы положим, что х=у- , где у – новое неизвестное, то дело сводится к решению уравнения (1).

а 0 (у- ) 3 + а 1 (у- ) 2 + а 2 (у- )+ а 3 =0

а 0 у 3 +( –+ а 2 )у+ ––+ а 3 =0, то

где p и q – новые коэффициенты, выраженные через коэффициенты исходного уравнения. Догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать неизвестное у в виде суммы у=u+v, где u и v – два новых неизвестных. То уравнение (1) перепишется так:

u 3 +3u 2 v+3uv 2 +v 3 +py+pv=q=0

Перегруппируем слагаемые следующим образом:

u 3 +v 3 +(3uv+p)(u+v)+q=0 (2)

Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить какое-нибудь условие – лучше всего

тогда уравнение (2) примет совсем простой вид

t 2 +qt-=0, (5)

а для него уже известна формула. Решая уравнение (5), получим

t 1,2 =-q/2,

то есть u=, v=(*)

В итоге получается формула Кардано:

у=+

Если введем обозначение (дискриминант), то формула Кардано примет вид у=+

Так как кубический радикал имеет в поле комплексных чисел три значения, то формулы (*) дают три значения для u и три значения для v. Нельзя, однако, применяя формулу Кардано, комбинировать любое значение u с любым значением v. Надо брать только те пары, которые дают в произведении-p/3, как вытекает из нашего рассуждения.

Исследование решений кубического уравнения.

Если >0 получим один действительный и два комплексных сопряженных корня; например уравнение х 3 +15х+124=0, для которого >0 имеет корни: х 1 =-4, х 2,3 =23ί

Формула Кардано для корней кубического уравнения во множестве комплексных чисел.

Формула Кардано для кубического уравнения у 3 +py+q=0 у=+,

где у=u+v, но u= во множестве комплексных чисел имеет три значения. Но по основной теореме алгебры уравнение третьей степени имеет три корня. Значит у=u+v получаются три пары равных значений.

Возник вопрос, как сложить, чтобы не выполнить лишней работы, то для этого докажем:

Теорема1: Если Uk= и Ek=, то

Доказательство: Для этого найдем значения Ek===cos+ίsin

k=0, то E 0 =cos0+ίsin0=1

k=1, то E 1= cos+ίsin=-1/2+ί

k=2, то E 2 = cos+ίsin=-1/2-ί

Найдем значения Uk==(cos+ίsin)

k=0, то U 0 =(cos+ίsin)

k=1, то U 1 =(cos+ίsin)

k=2, то U 2 =(cos+ίsin)

Подставим в (1) и проверим

(cos+ίsin)=(cos+ίsin), верно

(cos+ίsin)=(cos+ίsin)(cos+ίsin)

Преобразуем правую часть

(coscos+ί 2 sinsin)+(sincos+cossin)= ( cos+ίsin)

Примеры на применение формулы Кардано.

х 3 +9х 2 +18х+28=0

Это уравнение не приведенное. Чтобы получить приведенное уравнение введем подстановку х=у-, то есть х=у-3

Подставим и преобразуем

(у-3) 3 +9(у-3) 2 +18(у-3)+28=0

у=+=+=-1-3=-4

Источник