Какие параметры нужны для составления математической модели
Особенности построения математических моделей
Для построения математической модели необходимо:
Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:
На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.
Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.
Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.
С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.
Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1).
Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:
Запишем эти уравнения:
где С0 – крайнее правое положение ползуна С:
r – радиус кривошипа AB;
l – длина шатуна BC;
– угол поворота кривошипа;
Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:
Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.
Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.
Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.
Информатика
План урока:
Математические модели
Давайте прочитаем такую простую загадку:
«Мама насыпала троим детям целую вазу любимых шоколадных конфет. Дети не дождались, пока конфеты поделят, стали потихоньку их кушать. 5-летний Антон взял 6 штук и скушал, 10-летняя Ирина взяла половину того, что осталось. А 3-летнему Игорю досталось 1/3 всех конфет, что купила мама. Когда мама пришла, дети ссорились, что конфеты поделили не честно. Но она успокоила их, что все получили поровну».
В этом отрывке много информации: любимые конфеты, сколько у мамы было детей, их имена и возраст, а также, кто, сколько скушал сладкого. Но, чтобы узнать, честно ли дети поделили угощение, нужна лишь часть данных.
Построение математической модели этой истории:
Записываем математическую модель: x-6-1/2*(x-6)=1/3*x
Получается, первый ребенок взял 6 конфет, второй – (18-6)/2=6, третий – 18/3=6. Значит, мама была права, все дети скушали одинаковое количество сладкого.
Так решение математической модели позволило маме помирить детей.
Математическими моделями называются количественное описание взаимосвязей между объектами или процессами.
Другими словами, математическая модель – это выражение какого либо процесса или объекта при помощи формул, знаков и чисел. Надь, выдели правило красным полем, пожалуйста
То, что мы с вами сейчас сделали, называется математическое моделирование, то есть, замена исходной информации математическим образом. Это наиболее логичный подход, чтобы позже описать что-либо при помощи компьютерной программы.
Математическую модель легче исследовать, написав вычислительный алгоритм, который позволяет считать, решать любые задачи подобного типа.
Назначение матмоделей
Сфера применения моделирования:
Матмоделирование широко применяется: экономико-математические модели, финансовые прогнозы, инженерные расчеты. Оно позволяет изучить, анализировать и прогнозировать.
Значит, реальный эксперимент можно провести несколько раз, написать математическую модель процесса, а далее, используя компьютерную программу или ручные расчеты, «прогонять» другие значения без эксперимента.
Например, накормить тортом 1 человека, рассчитать, сколько кусков ему нужно для насыщения. Рассчитать, какого размера нужен торт, если приглашенных гостей будет 10, 20, 100 человек.
Для этого используется математический язык: формулы, знаки, символы, цифры, уравнения, системы уравнений. Это один из наиболее часто используемых и точных методов научного исследования.
Расчеты ядерных реакций, количество выделяемого тепла, радиации – все это лучше рассчитывать теоретически, а проверять экспериментально лишь частично. Изучение космических бесконечностей, океанских глубин, пока возможно только математическим путем, но чем больше человек осваивает небо и океан, тем чаще убеждается в правильности своих расчетов.
Химию, физику, экономику сложно представить без матмоделей. Теперь биологи, экологи и медики также стали широко использовать математическое программирование. Например, сейчас ученые всего мира периодически рассчитывают количество людей, которые пострадают от пандемии. Плюс они постоянно актуализируют свои прогнозы, вводя новые данные по смертности и выздоровлению, по стойкости вируса в различных условиях.
Чтобы содержать курей несушек, нужно знать, сколько и какого корма необходимо для содержания 1 курицы на 1 день. Если же покупать комбикорма, зерно, зелень бездумно, птица останется голодной, ведь часть сырья испортится, в части заведутся насекомые, а чего-то не хватит. Логичнее заранее рассчитать, сколько и чего покупать (+небольшой запас) и только тогда заводить несушек.
Мы знаем, сколько необходимо корма на 1 день для 1 курицы-несушки. Около 300 г. на сутки, с учетом состава (86 г. пшеницы, 16 отрубей, по 44 кукурузы и ячменя, по 32 макухи, овса, гороха, по 10 мела, муки рыбной и мясокостной, по 6 г. дрожжей).
А на сутки для 10, 80, 150, 758 птиц? А на 3 месяца?
Данные по 1 курице получены экспериментально, а расчет для любого другого количества получим при помощи вычислений.
Имея модель, можно получить расчеты для любого вида птицы и любого количества, ведь подход будет аналогичный.
Отсюда получается, что данный метод позволяет уменьшить, а иногда и полностью избежать экспериментов, что очень важно при ограниченности ресурсов, их дороговизне или опасности процесса.
Плюсы математического моделирования:
Значит, матмоделирование – это тот же эксперимент, только расчетный, вычислительный. Поэтому нужен четкий план следования, который содержит 3 шага:
На первом этапе происходит описание математической модели – происходящие процессы, зависимости между объектами выражаются при помощи уравнений.
Модели могут захватывать все связи и процессы, но следует выбирать только значимые параметры, чтобы построить действующую упрощенную модель. Если же захватить и описать все факторы, на построение такой конструкции придется потратить неоправданно много времени и ресурсов, плюс в сложных алгоритмах чаще встречаются ошибки, а найти их непросто.
Следующий этап – построение алгоритма, который соответствует основным критериям:
На третьем этапе создают программу, которая также соответствует вышеописанным признакам.
Классификация математических моделей
Все модели можно поделить по виду, целям, содержанию и другим параметрам. Часто встречаются смешанные виды.
Статистическая модель по отношению ко времени – сколько нужно купить пирожных и сока, чтобы устроить сладкий стол для школьников.
Динамическая – динамика изменения цены на яйца, масло, и изменение стоимости готового торта помесячно.
Дискретная модель описывает поведение объекта в конкретный момент времени, например, энергия электрона в атоме водорода.
Непрерывная модель позволяет исследовать постоянное изменение высоты уровня океана от температуры воздуха на планете.
Предопределенная модель по характеру зависимости параметров – расчет качества зерна при изменении температуры и влажности в складе.
Случайная – описание движения кометы. В данном случае идет фактическое описание различных параметров, так как повлиять на них невозможно.
Важно разобрать поставленную задачу на простые расчеты, в зависимости от цели. В примере с курочками может понадобиться, сколько корма нужно с момента, когда курица начинает нести яйца и до спада или же до полного прекращения яйценоскости. Тогда нужно рассчитывать весь объем корма, но на разное количество голов и на различные сроки.
Так как треть от суточного состава занимает пшеница и продукты ее переработки, можно рассчитать, сколько сеять (зная, что ее средняя урожайность яровой 4,5 т/га или 5,8 т/га озимой), чтобы обеспечить 1000 голов курочек-несушек. В составе корма зерна и отруби из пшеницы занимают почти 32%. Остальные компоненты купить или рассчитать по аналогии.
Списки, виды, назначение, особенности
Математическое моделирование невозможно без алгоритма действия или пошагового плана действия. Такой список с номерами шагов и есть примером списка. Списки окружают нас везде.
Посмотрите в дневники, на стены кабинета, в учебник. Это расписание уроков, движение транспорта, рецепт блюда, перечень дел на день, список дней рождения и множество других примеров.
Списки – способ подачи информации для описания чего-либо или перечисление объектов.
Чаще всего используют 3 основных вида списков:
Для всех типов списков можно менять размер, цвет, начертание как для маркеров/нумеров, так и для пунктов (для них еще можно менять шрифт). По виду буллита (маркера) различают различные виды маркированных списков.
По тому, что использовалось в качестве маркера (цифры, буквы, знаки), нумерованные списки делят на разные виды.
Одним их самых удобных и простых способов создания списков является написание их в текстовом редакторе. Сделать это очень просто и под силу любому, кто хоть немного знаком с Word.
Способы создания списков в Word
Чтобы делать списки в текстовом редакторе Word, можно воспользоваться одним из предложенных способов:
Выбрать нужный тип маркера. Начать печатать текст. Каждая новая строчка (после Enter) считается новым пунктом, а значит, будет с выбранным маркером.
Пример маркированного списка:
Времена года и месяцы:
Аналогично делается нумерованный список:
Времена года и месяцы:
Важно! Правилом хорошего тона считается пункты маркированного списка начинать с маленькой буквы, а заканчивать точкой с запятой. Нумерованный список начинают с большой буквы, а заканчивают точкой.
Примеры, виды многоуровнего списка:
Времена года и месяцы:
Второй способ создания нумерованного или другого списка – при помощи контекстного меню, правой клавиши мыши (ПКМ).
Курсор поставить в нужное место в документе, нажать ПКМ, выбрать пункт Маркеры или Нумерация.
Для варианта с маркером:
Для варианта с нумерацией:
Можно преобразовать информацию в список. Для этого набранные строки выделить, потом выбрать тип списка на главной панели или при помощи ПКМ. Программа принимает, что окончание строки (Enter) есть окончание пункта списка.
Пошаговая инструкция или простой алгоритм
Среди огромного количества списков обособленно стоят нумерованные списки в ворде или в другом редакторе, которые являются не перечнем чего-либо, а пошаговым планом действия.
Как видно из примеров, когда нумерованный список используется просто как описание пунктов, объектов, пункты можно менять местами, конечная цель будет получена – пользователь получит весь объем информации.
Для нумерованного списка в виде пошаговой инструкции критично важна последовательность пунктов. Каждый следующий шаг можно делать только после предыдущего. Только тогда на выходе будет нужный результат. Это понятно на примере пошагового кулинарного рецепта.
Это и есть линейный алгоритм, в котором процесс разбивается на элементарные шаги. Выполняя эти простые действия, пользователь достигнет желанной цели, даже если она кажется сложной.
Давайте придумаем простейший алгоритм. Например, приготовление бутерброда с маслом и сыром.
Чтобы получить в конце готовый бутерброд, придется выполнить такие шаги:
Посмотрите, каждый шаг алгоритма простой и понятный. Но даже такие простейшие пункты можно разобрать на еще более детальные этапы. Например, взять деньги дома, положить в кошелек, одеться, обуться, выйти из квартиры, закрыть дверь ит.д. Детализировать можно до элементарных шагов.
Уровень детализации каждого шага алгоритма подбирают в зависимости от уровня исполнителя. Если алгоритм рассчитан для новичка, он будет состоять из самых простых шагов, если человек опытный, пункты будут сложнее. Это как объяснять новый рецепт неопытному кулинару и мастер-шефу.
Множество задач можно перевести в универсальную форму, используя математический язык. А составив алгоритм и написав по нему программу, ускорить, упростить расчет большинства задач. Без математических моделей и программирования невозможно представить расчет годового бюджета, мониторинг парникового эффекта, расчеты в садоводстве и земледелии.
Просто о сложном: что такое математическое моделирование и почему нам больше не нужны эксперименты на людях
tany_savelieva
Сегодня математики пытаются помочь медикам представить, как устроены внутренние процессы в организме, или предсказать реакцию конкретного пациента на лечение с помощью языков программирования и без проведения дорогих и опасных экспериментов. Метод математического моделирования применяется в самых разных областях науки, в том числе в физиологии и медицине. В рамках проекта «Физтех.Читалка» молодой ученый, аспирант МФТИ Тимур Гамилов рассказал «Теориям и практикам», как математические модели помогают врачам ставить диагнозы, а спортсменам — рекорды.
«Лего» для ученых
Математическое моделирование начали использовать в спорте и медицине еще в 50-х годах. В этой сфере активно работают математики, информатики и физики различных специализаций. Метод математического моделирования устроен по принципу конструктора «Лего», в котором вместо деталей — данные о состоянии здоровья человека и математические формулы, на основе которых врачи ставят диагноз и составляют план лечения. Используя данные о медицинских показателях, математики и инженеры создают гипотезу, которую затем проектируют и проверяют с помощью специального языка программирования.
Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.
Модель для сборки: инструкция
Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.
Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей. Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод. Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента. Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.
В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами. Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).
После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.
Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.
Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук
В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.
Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.
В помощь Усэйну Болту
Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.
Математика + медицина
Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.
Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.
Составление математической модели
В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эти модели достаточно адекватно отражали свойства реальных устройств. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы.
Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления она может быть разной.
При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой — должна быть простой, чтобы не затруднять исследований.
Пример 2.3. Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), где [/вых = Uv RH = О, Ru —? °о, записать для нес уравнения состояния.
Рис. 2.1. Эквивалентная схема объекта
Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа 
а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния:
Пример 2.4. Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.
Рис. 2.2. Схема двигателя постоянного тока
Здесь [7Я — напряжение, подаваемое на якорь двигателя, которое будем считать входным воздействием; / — ток в цепи якоря, который представляет собой внутреннюю переменную объекта; R> L — сопротивление и индуктивность цепи якоря; Е — противоЭДС, т.е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле; со — скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной.
Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе при отсутствии момента нагрузки на его валу. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид 
Уравнение механического равновесия моментов на валу двигателя следующее:
где/ — приведенный момент инерции; Мл — вращающий момент; Мс — момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.
С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что Е = = схсо, Мд = с2/, Мс = Mc(t), где с, = const, i = 1, 2. В результате уравнения двигателя принимают вид
Запишем уравнения двигателя в переменных состояния, введя следующие обозначения: и= Un — управление; х <= со, х2 = I — переменные состояния; М= Мс — возмущение. Имеем 
Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения 
Здесь Тм = — — электромеханическая постоянная времени двигателя; Тя =
= — — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; k = — — коэффи-
Пример 2.5. Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке), перемещающейся в горизонтальном направлении. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «каретка — маятник». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.
Рис. 23. Объект управления «каретка — маятник»
Здесь ф(?) — угол отклонения маятника (выходная переменная); U(t) — прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); s(t) — перемещение каретки; ш, — масса каретки; L — расстояние между осью и центром тяжести маятника; т2 — масса маятника; J — момент инерции относительно центра тяжести; g — ускорение силы тяжести; H(t) и V(t) — горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.
Упрощенная модель объекта «каретка — маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений
Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины:
а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника, т.е. у = ф. В результате уравнения состояния принимают вид