какие виды модуляции относятся к угловым

2.7.3 Радиосигналы с угловой модуляцией

Понятие “угловая модуляция” включает в себя как частотную, так и фазовую модуляцию несущего колебания, так как в обоих случаях меняется его полный угол.

Так для несущего колебания

при постоянных и полный угол (аргумент) линейно зависит от времени. В общем случае угловая частота и полный угол связаны друг с другом зависимостями:

где -мгновенная частота.

При частотной модуляции по закону низкочастотного сигнала (сообщения) будет медленно меняться мгновенная частота:

где – коэффициент преобразования управляющего сигнала в изменение частоты сигнала на выходе частотного модулятора, – исходный низкочастотный сигнал.

Обозначая через максимальное изменение низкочастотного сигнала, получим

где – девиация частоты, отражающая максимальное отклонение частоты модулированного сигнала от частоты несущей. Девиация частоты здесь зависит от амплитуды изменения низкочастотного сигнала. Полный угол в этом случае будет равен

откуда видно, что частотная модуляция сопровождается фазовой, закон изменения которой пропорционален интегралу от низкочастотного сигнала.

При фазовой модуляции по закону низкочастотного сигнала медленно меняется начальная фаза несущего колебания :

где – индекс угловой модуляции, отражающий максимальное отклонение полной фазы несущего колебания от линейного закона. В отличие от АМ колебания величина не ограничена. Для мгновенной частоты здесь имеем

т.е. фазовая модуляция сопровождается частотной модуляцией, закон изменения которой пропорционален производной от низкочастотного сигнала.

Рассмотрим случай однотональной модуляции, при которой

Тогда для ЧМ имеем:

Полная фаза в этом случае

где индекс угловой модуляции .

Таким образом, при ЧМ индекс угловой модуляции зависит не только отно и от частоты управляющего сигнала: чем ниже частота, тем больше индекс угловой модуляции.

Мгновенное значение ЧМ сигнала определяется выражением :

Мгновенная частота в этом случае будет меняться по закону:

откуда видно, что девиация частоты при ФМ прямо пропорциональна частоте управляющего сигнала.

Мгновенное значение ФМ сигнала

На Рис.6 показаны зависимости девиации частоты и индекса угловой модуляции от частоты модулирующего низкочастотного сигнала

Таким образом, при гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции .

Рассмотрим спектр сигнала с тональной угловой модуляцией.

Ясно, что спектр сигнала будет значительно сложнее спектра при аналогичной амплитудной модуляции, так как низкочастотный сигнал входит аргументом в такую нелинейную функцию, как косинус или синус.

Выберем для конкретности функцию мгновенного изменения сигнала в виде:

Используя тригонометрическое преобразование, запишем:

где множители, стоящие перед и , являются медленно меняющимися (т.к. ) периодическими () функциями времени, которые можно представить в виде ряда Фурье. Коэффициенты действительного ряда Фурье определяются с помощью соответствующих функций Бесселя первого рода, аргументом которых является индекс угловой модуляции. Так функции можно представить в виде:

Подставляя соотношения (3) и (4) в (2), получаем :

Таким образом, сигнал с тональной угловой модуляцией состоит из бесконечного числа боковых составляющих , расположенных симметрично относительно несущей частоты . Амплитуды всех составляющих, в том числе и несущей, определяются величиной индекса угловой модуляции . Амплитуда несущей равна , амплитуды ближайших боковых составляющих с частотами равны и т.д.

Ниже на Рис.7 показаны графики поведения нескольких функций , из которых видно, что

Из соотношения (5) видно, что нижние нечетные составляющие отличаются от соответствующих верхних составляющих на фазовый угол, равный . Наличие этого угла и обеспечивает постоянство амплитуды сигнала с УМ. Это легко показать на примере с m 1.

Действительно, при m

Сравним это колебание с АМ колебанием и M >1 она равна уже ,т.е. при больших индексах угловой модуляции ширина спектра сигнала близка к удвоенной девиации частоты.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Источник

Сигналы с угловой модуляцией

u(t) = U m cos[ w o t + k Ч s(t)], (9.2.1)

где k – коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ – сигнала приведен на рис. 9.2.1.

При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией u o (t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний y (t)= w o t+k Ч s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание w o t. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ФМ – сигналом и значением w o t немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы ( вверх Dj в = k Ч s max (t), или вниз Dj н = k Ч s min (t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y (t)/dt = ω o + k ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

w (t) = w o + k Ч s(t). (9.2.2)

Соответственно, полная фаза колебаний:

Уравнение ЧМ – сигнала:

u(t) = U m cos(ω o t+ks(t) dt + j o ). (9.2.3)

Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх Dw в = k Ч s max (t), и вниз Dw н = k Ч s min (t).

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.

Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний ω. Начальная фаза колебаний:

y(t) = w o t + b sin( W t).

Уравнение модулированного сигнала:

u(t) = U m cos( w o t + b sin( W t)). (9.2.4)

Мгновенная частота колебаний:

ω(t) = d y (t)/dt = w o + bW cos( W t).

Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты W модулирующего сигнала.

Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:

ω d = const, b = ω d / W.

Спектры сигналов с угловой модуляцией.

Формулу (9.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

При малых значениях индекса угловой модуляции ( b

cos( bЧ sin( W t)) » 1, sin( bЧ sin( W t)) » bЧ sin( w o t).

При их использовании в (9.2.6), получаем:

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции (9.2.4) в следующий ряд:

u(t)=U m J k (m) cos[( w o +k W )t],

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

т.е. спектральными составляющими с номерами k>( b +1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b >>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

Рис. 9.2.3. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.

(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

Демодуляция УМ – сигналов много сложнее демодуляции сигналов АМ.

При демодуляции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:

u a (t) = u(t) + j u h (t),

где u h (t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/π t):

u h (t) = (1/π) u(t’) dt’ / (t-t’).

Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:

Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ω о t:

При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ω о :

В принципе, данный метод может применяться и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближения, поскольку оператор Гильберта слабо затухает.

Обычно в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90 о :

u 1 (t) = u(t) cos(ω o t) = U m cos(ω o t+ j (t) cos(ω o t) = Ѕ U m cos j( t) + Ѕ cos(2 w o t+ j (t)),

Из этих двух сигналов фильтрами низких частот выделяются низкочастотные колебания, и формируется аналитический сигнал:

Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично.

Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:

s(t) = u(t) cos(ω o t+ j (t)).

Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(ω o t) cos j (t) – u(t) sin(ω o t) sin j (t).

s(t) = a(t) cos(ω o t) + b(t) sin(ω o t).

Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (9.1.17) для суммы двух сигналов:

S(ω) = Ѕ A(ω+ω o ) + Ѕ A(ω-ω o ) – Ѕj B(ω+ω o ) + Ѕj B(ω-ω o ).

Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90 о :

s 1 (t) = s(t) cos ω o t = Ѕ a(t) + Ѕ a(t) cos 2ω o t + Ѕ b(t) sin 2ω o t,

Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.

Пример моделирования квадратурной модуляции в системе Mathcad.

Моделирование выполняется в дискретной форме.

f0 := 50 f1 := 2 f2 := 3 ‘Частоты в Гц несущей, первого и второго сигналов.

s1 n := sin(2· p ·f1·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

s2 n := sin(2· p ·f2·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

b := 10 j n := b ·s2 n ‘Перенос информации s2 n на фазу

u n := s1 n ·cos(2· p ·f0·n· D t+ j n ) ‘Амплитудно-фазовая модуляция

U := CFFT(u) D f := 1/[(N+1)· D t] ‘БПФ и шаг по частоте

a n := s1 n ·cos( j n ) b n := s1 n ·sin( j n ) ‘Формирование модулирующих сигналов

s n := a n ·cos(2· p ·f0·n· D t) + b n ·sin(2· p ·f0·n· D t) ‘Квадратурный сигнал. Сравнением с сигналом

‘u n нетрудно убедится в их идентичности,

‘а, следовательно, идентичны и их спектры.

Демодуляция квадратурного сигнала.

U1 := CFFT(u1) U2 := CFFT(u2) ‘Спектры сигналов, БПФ.

u3 := ICFFT(U1) u4 := ICFFT(U2) ‘ОБПФ оставшихся низких частот спектра. На графиках

‘ амплитуды сигналов u3 n и u4 n увеличены в 2 раза

Источник

Сигналы с угловой модуляцией

u(t) = U m cos[ w o t + k Ч s(t)], (9.2.1)

где k – коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ – сигнала приведен на рис. 9.2.1.

При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией u o (t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний y (t)= w o t+k Ч s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание w o t. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ФМ – сигналом и значением w o t немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы ( вверх Dj в = k Ч s max (t), или вниз Dj н = k Ч s min (t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y (t)/dt = ω o + k ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

w (t) = w o + k Ч s(t). (9.2.2)

Соответственно, полная фаза колебаний:

Уравнение ЧМ – сигнала:

u(t) = U m cos(ω o t+ks(t) dt + j o ). (9.2.3)

Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх Dw в = k Ч s max (t), и вниз Dw н = k Ч s min (t).

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.

Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний ω. Начальная фаза колебаний:

y(t) = w o t + b sin( W t).

Уравнение модулированного сигнала:

u(t) = U m cos( w o t + b sin( W t)). (9.2.4)

Мгновенная частота колебаний:

ω(t) = d y (t)/dt = w o + bW cos( W t).

Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты W модулирующего сигнала.

Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:

ω d = const, b = ω d / W.

Спектры сигналов с угловой модуляцией.

Формулу (9.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

При малых значениях индекса угловой модуляции ( b

cos( bЧ sin( W t)) » 1, sin( bЧ sin( W t)) » bЧ sin( w o t).

При их использовании в (9.2.6), получаем:

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции (9.2.4) в следующий ряд:

u(t)=U m J k (m) cos[( w o +k W )t],

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

т.е. спектральными составляющими с номерами k>( b +1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b >>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

Рис. 9.2.3. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.

(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

Демодуляция УМ – сигналов много сложнее демодуляции сигналов АМ.

При демодуляции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:

u a (t) = u(t) + j u h (t),

где u h (t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/π t):

u h (t) = (1/π) u(t’) dt’ / (t-t’).

Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:

Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ω о t:

При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ω о :

В принципе, данный метод может применяться и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближения, поскольку оператор Гильберта слабо затухает.

Обычно в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90 о :

u 1 (t) = u(t) cos(ω o t) = U m cos(ω o t+ j (t) cos(ω o t) = Ѕ U m cos j( t) + Ѕ cos(2 w o t+ j (t)),

Из этих двух сигналов фильтрами низких частот выделяются низкочастотные колебания, и формируется аналитический сигнал:

Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично.

Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:

s(t) = u(t) cos(ω o t+ j (t)).

Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(ω o t) cos j (t) – u(t) sin(ω o t) sin j (t).

s(t) = a(t) cos(ω o t) + b(t) sin(ω o t).

Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (9.1.17) для суммы двух сигналов:

S(ω) = Ѕ A(ω+ω o ) + Ѕ A(ω-ω o ) – Ѕj B(ω+ω o ) + Ѕj B(ω-ω o ).

Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90 о :

s 1 (t) = s(t) cos ω o t = Ѕ a(t) + Ѕ a(t) cos 2ω o t + Ѕ b(t) sin 2ω o t,

Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.

Пример моделирования квадратурной модуляции в системе Mathcad.

Моделирование выполняется в дискретной форме.

f0 := 50 f1 := 2 f2 := 3 ‘Частоты в Гц несущей, первого и второго сигналов.

s1 n := sin(2· p ·f1·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

s2 n := sin(2· p ·f2·n· D t) ‘Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

b := 10 j n := b ·s2 n ‘Перенос информации s2 n на фазу

u n := s1 n ·cos(2· p ·f0·n· D t+ j n ) ‘Амплитудно-фазовая модуляция

U := CFFT(u) D f := 1/[(N+1)· D t] ‘БПФ и шаг по частоте

a n := s1 n ·cos( j n ) b n := s1 n ·sin( j n ) ‘Формирование модулирующих сигналов

s n := a n ·cos(2· p ·f0·n· D t) + b n ·sin(2· p ·f0·n· D t) ‘Квадратурный сигнал. Сравнением с сигналом

‘u n нетрудно убедится в их идентичности,

‘а, следовательно, идентичны и их спектры.

Демодуляция квадратурного сигнала.

U1 := CFFT(u1) U2 := CFFT(u2) ‘Спектры сигналов, БПФ.

u3 := ICFFT(U1) u4 := ICFFT(U2) ‘ОБПФ оставшихся низких частот спектра. На графиках

‘ амплитуды сигналов u3 n и u4 n увеличены в 2 раза

Источник