какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе

Внутренние усилия при прямом изгибе

Рассмотрим, например, балку (рис. 7.1, а), нагруженную вертикальной сосредоточенной силой (P). Для определения внутренних усилий при прямом изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.

Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.

Отбросим левую часть балки, нагруженную силой P.

Заменим действие отброшенной левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами.

Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная сила и изгибающий момент .

Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного сечения балки. По правилам теоретической механики мы должны добавить момент, равный (рис. 7.1, б).

При прямом изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора :

Источник

Тема 2.5. Изгиб

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.1). Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.1).

Рис.1. Прямой изгиб

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.2). При наличии поперечной силы Q_y изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.2. Чистый изгиб

Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

– Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.

– Проверка прочности балок.

– Определение перемещений и проверка жесткости балок.

§2.Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 3 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 3,б) и подвижной (рис. 3,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.3,в).

Рис.3. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;

в – в шарнирно-подвижной опоре.

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.

Поперечная сила Q в каком-либо поперечном сечении балки численно равная алгебраической сумме на ось у внешних сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент M равен алгебраической сумме моментов сил, относительно центра тяжести сечения.

Взаимосвязь между нагрузкой и очертаниями эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M:

Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнoзагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение без составления эпюр уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.

Источник

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M_max или M_min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Далее по полученному значению [M_x] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [M_внеш]. Условие прочности имеет вид:

Перемещения при изгибе.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A_f – площадь эпюры изгибающего момента М_f от заданной нагрузки; y_c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М_f ; EI_x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A_f*y_c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М_f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое “расслоение эпюры”), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Источник

Внутренние силовые факторы — справочник

Привет! Этот справочник, на портале – SoproMats, будет по внутренним силовым факторам при различных видах деформаций: растяжении и сжатии, кручении и изгибе. По каждому фактору будет написана специальная статья, где расскажем, как обозначается, в чем измеряется и как рассчитывается. Для подробного изучения каждого силового фактора, перемещайтесь по указанным гиперссылкам.

ВСФ при растяжении и сжатии

Как известно, при растяжении и сжатии (центральном) возникает один единственный внутренний силовой фактор – продольная сила. В указанной статье рассказывается, что это за сила, в чем измеряется и т.д.

Если вкратце рассказывать, то продольная сила рассчитывается методом сечений, который предполагает, что если вся конструкций находится в равновесии, то и отдельные ее части также будут находится в равновесии, если действие частей друг на друга заменить силовыми факторами.

ВСФ при кручении

При кручении, также как при растяжении и сжатие, в поперечных сечениях действует один силовой фактор – крутящий момент. В статье рассказывается об данном факторе, как он рассчитывается, в каких расчетах используется и как обозначается.

ВСФ при поперечном изгибе

При поперечном изгибе, чаще всего, в сечениях возникают два силовых фактора – поперечная сила и изгибающий момент. Поперечная сила, как правило, используется в проверочном расчете на прочность по касательным напряжениям, а также служит вспомогательным инструментов для определения экстремумов на эпюре изгибающих моментов.

Изгибающий момент используется при проведения прочностных расчетов по нормальным напряжениям. Подробнее об данных величинах можете узнать, перейдя по указанным ссылочкам.

Источник

Внутренние силовые факторы при изгибе

На первом этапе анализа основная цель заключается в определении и построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов (при плоском изгибе – Q_y, М_х) в поперечных сечениях вдоль оси балки для последующего выбора наиболее опасного в прочностном отношении сечения.

Внутренние силовые факторы, действующие в поперечных сечениях балки, определяют (после нахождения реакций опор), используя метод сечений, для чего мысленно рассекают балку на две части и рассматривают равновесие одной из них. Взаимодействие её с другой частью балки заменяют внутренними силовыми факторами: поперечной силой Q_y и изгибающим моментом M_x.

Поперечная сила в сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на мысленно отсечённую часть, на ось, перпендикулярную оси балки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсечённую часть, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

Знаки действия сил и моментов определяют с использованием «правила знаков» (рис. 17).

1. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения m−n, даёт равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, вниз – отрицательной.

Если сумма внешних сил, лежащих по правую сторону от сечения m−n, даёт равнодействующую, направленную вниз, то поперечная сила в сечении положительна, вверх – отрицательна (рис. 17а).

2. Если относительно выбранного сечения m−n изгибающий момент стремится изогнуть балку так, что сжатые волокна сверху, то момент от этого силового фактора положителен, в противном случае – отрицателен (рис. 17б).

Проиллюстрируем определение поперечной силы и изгибающего момента на примере двухопорной балки с грузом G, расчётная модель (схема) которой показана на рис. 18а. К такой модели (расчётной схеме) сводится расчёт конструкций пролётов мостов, валов и осей машин, станков и т. п.

Конструктивно шарнирно-неподвижная опора А не препятствует повороту балки вокруг оси шарнира, но не даёт возможности балке перемещаться вдоль своей оси z и в перпендикулярном направлении – вдоль оси y.

Действие опоры заменяется реакцией F_A, направление которой заранее неизвестно. Её раскладывают по направлениям осей y и z: и .

Шарнирно–подвижная опора В не препятствует свободному повороту балки вокруг оси шарнира и свободному поступательному перемещению вдоль оси z. Поэтому воздействие опоры В заменяется одной вертикальной реакцией . Влияние груза G моделируется сосредоточенной силой F в точке С (рис. 18б).

Опорные реакции ( , , ) при плоском изгибе определяют, составляя три уравнения равновесия статики, которые в сопротивлении материалов принято записывать в следующей форме:

– сумма проекций всех сил на ось балки (ось z) равна нулю, в нашем случае это уравнение примет вид:

откуда

– сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:

,

откуда ;

– сумма моментов всех сил относительно опоры В равна нулю:

,

откуда .

1. Выбор опор А и В за центры приведения объясняется тем, что через опоры проходят линии действия неизвестных реакций и и уравнения получаются проще по виду.

2. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытающийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, а по часовой стрелке – отрицателен.

3. Для проверки полученных результатов рекомендуется использовать уравнение – сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю:

,

подставляя в которое полученные выражения для и , получаем тождественное равенство:

.

Разобьём балку на два участка, определяемые точками А, С и В приложения сил (рис. 18б). Проведём произвольное сечение I−I на первом участке на расстоянии z₁ от опоры А ( ). Применим метод РОЗУ. Действие отброшенной (правой) части на оставшуюся (левую) часть заменим силовыми факторами и (рис. 18в). Из условия равновесия оставшейся (левой) части получаем:

– поперечная сила Q_y в сечении I−I равна сумме проекций всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к оставшейся части балки:

= .

В данном случае поперечная сила на всём участке постоянна;

– изгибающий момент в сечении I−I равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к оставшейся части балки относительно точки О₁ выбранного сечения: .

В данном случае изгибающий момент линейно зависит от z.

Используя правило знаков, устанавливаем, что на первом участке поперечная сила и изгибающий момент положительны.

При z₁ = 0: ;

.

Для определения внутренних силовых факторов в сечении II-II можно рассматривать левую или правую части (рис. 18г).

При рассмотрении левой части отсчёт z можно вести от точки С, т. е. с конца первого участка ( ). Тогда поперечная сила и изгибающий момент в этом сечении соответственно равны:

;

.

;

Таким образом, эпюра поперечной силы постоянна на участках вдоль оси балки (рис. 18д). Знак поперечной силы на втором участке зависит от разности сил . Эпюра имеет скачки (мгновенное изменение) в местах приложения сил , , .

Эпюра изгибающего момента имеет два характерных линейных участка. На первом участке значение этого фактора возрастает от нуля (в шарнире А) до максимальной величины в месте приложения силы F (точка С), а на втором – линейно убывает до нуля (в шарнире В). С точки зрения прочности опасным является место приложения внешней силы F, так как здесь изгибающий момент достигает максимальной величины и поперечная сила также имеет наибольшее значение.

При рассмотрении правой части отсчёт ( ) ведём от точки В влево (рис. 18г). Поперечная сила и изгибающий момент во втором сечении соответственно равны:

;

.

При : ;

при : .

В этом случае эпюры поперечной силы и изгибающего момента имеют тот же вид и значения, что и для левой части балки.

Источник