Какой критерий позволяет задать меру пессимизма исследователя с помощью специального параметра

Принятие решений в условиях неопределённости

Основные критерии применяемые в процессе принятия решений в условиях неопределённости и риска, а также в игре с природой

Критерий среднего выигрыша

Формула критерия среднего выигрыша

Формула оптимального решения

В итоги оптимальным вариантом выбора программы по критерию среднего выигрыша является вариант первой программы.

Критерий Вальда или пессимизма

Формула критерия Вальда или максимина

Формула оптимального решения по критерию Лапласа

По критерию Вальда оптимальным решением является выбор первой программы.

Критерий максимакса или оптимизма

Формула критерия максимакса

Формула оптимального решения по критерию максимакса

По критерию максимакса оптимальным решением является выбор третьей программы.

Критерий Лапласа

Формула критерия Лапласа

Формула оптимального решения по критерию Лапласа

По критерию Лапласа оптимальным решением является выбор первой программы.

Критерий Гурвица

Формула критерия Гурвица

Формула оптимального решения по Гурвица критерию

Коэффициент α принимает значения от 0 до 1. Если α стремится к 1, то критерий Гурвица приближается к критерию Вальда, а при α стремящемуся к 0, то критерий Гурвица приближается к критерию максимакса.

По критерию Гурвица оптимальным решением является выбор третьей программы.

Критерий Сэвиджа или минимакса (критерий потерь)

Формула критерия Сэвиджа для построения матрицы потерь

Формула для выбора максимального значения из матрицы потерь

Формула оптимального решения по критерию Сэвиджа

Строим матрицу потерь по столбцам выбираем максимальное значение и поочередно вычитаем значения каждой ячейки соответствующего столбца согласно формуле, в итоге получим матрицу вида

По критерию Сэвиджа оптимальным решением является выбор первой или четвёртой программы.

Таким образом, в соответствии со всеми приведёнными критериями большинство решений указывает на выбор первой программы.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 7

Источник

Критерий Вальда

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. здесь игрок А исходит из предположения, что природа П «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния П_j, при которых величина его выигрыша принимает наименьшие значения.

Показатели эффективности чистой стратегии рассчитываются по формуле:

Оптимальной по критерию Вальда считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет максимальным, то есть обеспечивается максимин:

Критерий Вальда так же еще называют максиминным критерием.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с наихудшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:

— О возможностях внешних проявлений состояний природы П_j ничего не известно;

— Приходится считаться с появлением различных внешних состояний П_j;

— Решение реализуется только один раз;

— Необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Данным критерием руководствуются ЛПР не склонные к риску или рассматривающие ситуацию как пессимисты.

В ряде экономических задач в качестве критерия эффективности выступает показатель минимума затрат: капитальные вложения, валовые издержки производства, приведенные годовые затраты…

Критерий Сэвиджа – критерий потерь от «минимакса»

Критерий Сэвиджа как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию, при которой минимизируется величина максимального риска.

Таким образом, показатель эффективности определяется как величина максимального риска:

При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же условиям, что и при применении критерия Вальда.

Критерий Гурвица – критерий «оптимизма-пессимизма», «a-критерий»:

Позволяет руководствоваться некоторым средним результатом эффективности, находящимся в поле между значениями по критериям «максимакса» и «максимина»:

Этот критерий используют те субъекты, которые хотят максимально точно идентифицировать степень своих рисковых предпочтений путем задания a-коэффициента.

В области чистых стратегий показатель эффективности определяется:

Оптимальной по Гурвицу считается та стратегия, показатель эффективности которой принимает наибольшее значение:

Параметр выбирается из субъективных соображений, потому что на практике очень трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решений. Чаще всего полагают =0,5.

При = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма).

При = 0 – в критерий крайнего оптимизма, или критерий «азартного игрока», делающего ставку на то, что исход игры будет для него самым благоприятным:

При 0£ a £1 получается нечто среднее между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

Критерий Гурвица применяется в случаях, когда:

— О вероятностях появления состояния Пj ничего не известно;

— С появлением состояния Пj необходимо считаться;

— Реализуется только малое количество решений;

Источник

КРИТЕРИЙ ПЕССИМИЗМА ВАЛЬДА

Этот критерий также называют критерием минимакса. Его философия состоит в том, чтобы рассчитывать на худшие исходы решений и выбрать из них наилучший (см. табл. 5).

Как следует из табл. 5, наихудший исход при решении (снизить цену продукта на 10%) будет при высокой чувствительности потребителей к имиджу продукта, а не к цене (S₂). В результате такого решения прибыль составит 3,6 млн руб. Наихудший результат при решении А₂ (увеличить рекламный бюджет на 1 млн руб.) — прибыль равна 3,5 млн руб. При решении А₃ валовая прибыль составит не менее 4,4 млн руб. Это означает, что среди наихудших результатов последний вариант наилучший. При использовании данного критерия ЛПР ориентируется на самое неблагоприятное состояние внешней среды и принимает решение А_у

КРИТЕРИЙ ОПТИМИЗМА (МАКСИМАКСА)

В противоположность критерию пессимизма, в этом случае ЛПР полагается на самое удачное стечение обстоятельств. Обращаясь к матрице прибылей (см. табл. 5), можно установить, что решение Л, (снизить цену продукта на 10%) дает максимальную оценку прибыли 5,3 млн руб., решение А₂ (увеличить рекламный бюджет 1 млн руб.) — 5,5 млн руб., а решение Л₃ (снизить цену на 5% и увеличить рекламный бюджет на 0,5 млн руб.) — 5,1 млн руб. Следуя логике этого критерия, ЛПР следует принять решение Л₂, полагаясь на высокую чувствительность потребителей к рекламе.

КРИТЕРИЙ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА

Данный критерий представляется весьма логичным, когда ЛПР вместо двух крайностей в оценке возможных состояний внешней среды придерживается некоторой компромиссной позиции, учитывая как неблагоприятные, так и благоприятные ситуации. Согласно этому подходу для каждого решения следует оценить шансы появления наилучшего и наихудшего состояний внешней среды и выбрать «взвешенное» решение, дающее наибольшее значение критерия.

Коэффициент взвешивания 0 > а > 1 называется «степенью оптимизма ЛПР». Выбор его значения зависит от меры осознаваемой ответственности ЛПР за исход принимаемого решения. Чем серьезнее последствия ошибочного решения, тем, как правило, у ЛПР меньше оптимизма, он желает снизить возможные риски, и значение а оказывается ближе к нулю.

В общем виде значение ожидаемой прибыли w при принятии решения A_j выглядит следующим образом: w(A_j) = а тах(Л_/) + + (1— a) min(4_/).

Так, например, при степени оптимизма а — 0,3 ожидаемая прибыль при принятии решения Л j будет равна: w(A_<) — 0,3 х 5,3 + (1 — — 0,3) х 3,6 = 4,11 млн руб.

По табл. 6 можно проследить влияние степени оптимизма на принимаемое решение в условиях рассматриваемого примера.

Влияние степени оптимизма ЛПР на принимаемое решение

Источник

Принципы оптимальности Вальда (гарантированного результата, или пессимизма) и лексикографического максимина

Критерий Вальда, называемый часто также критерием пессимиста или гарантированного результата, максимина (в некоторых источниках — ми- нимакса), основывается на сравнении наихудших вариантов. Соответствующая гипотеза о поведении среды называется гипотезой антагонизма. Она состоит в предположении, что среда ведет себя «наихудшим» (для ЛПР) образом. Иначе говоря, вводится предположение о том, что, скорее всего, осуществится самый нежелательный (для ЛПР) вариант развития ситуации, т.е. именно риск этого наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Отвечающее такому предположению отношение предпочтения на множестве альтернатив X вводится следующим образом.

Из двух альтернатив x_j> x_k более предпочтительной согласно критерию Вальда считается та, которой отвечает большее значение минимальной полезности среди всех возможных реализаций среды

Введенное определение видоизменяется в случае, если в качестве критерия оптимальности (целевой функции) выбирается такая величина, которую требуется минимизировать — например, функция потерь. Тогда более предпочтительной становится альтернатива с меньшим значением максимальной потери, которая допускается при реализации всевозможных состояний среды

Согласно данному определению, наилучшей альтернативой по критерию Вальда окажется яттьтепнятиия г*, мяксимияитппптяч функцию W

При этом альтернатива х[ называется максиминной, а сам критерий — принципом максимина (в некоторых источниках — минимакса, так как первыми находятся минимумы, среди которых выбирается максимум).

В частности, в рассмотренном выше примере использования платежной матрицы максиминной альтернативой окажется xj_t = х₂, так как ее показатель равен W(x₂) = minw,. = 9 и превосходит все остальные показатели

Источник

Критерий пессимизма

В случае, когда ОПР ориентируется на самые неблагоприятные условия и неконтролируемые факторы применяют критерий пессимизма.

Для игры, которую задано матрицей выигрышей по критерию пессимизма определяется вариант решения, который минимизирует минимальные выигрыши для каждого варианта ситуации. Критерий пессимизма записывают в виде

Для игры, которую задано матрицей проигрышей по критерию пессимизма определяется вариант решения, который максимизирует максимальные проигрыше для каждого варианта ситуации. Критерий пессимизма записывают в виде

По критерию пессимизма предполагается, что неконтролируемые факторы могут быть использованы неблагоприятным образом. В реальных ситуациях могут во многих задачах невозможен контроль за неконтролируемыми факторами. Это относится к задачам, в которых есть необходимость учета фактора времени; задач социально-экономического прогнозирования; задач долгосрочного планирования и тому подобное.

Например, издержки производства являются контролируемыми факторами на краткосрочных временных интервалах, но при анализе долгосрочных проектов определенные элементы издержек производства становятся неконтролируемыми: стоимость электроэнергии, стоимость материалов и т.

Пример 3.5. Для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, по критерию оптимизма выбрать стратегию, которая является наиболее выгодной.

Решение. Запишем матрицу выигрышей в виде таблицы 3.6 и найдем наименьшее значение minaij для каждой строки.

Матрица выигрышей игры

По формуле (3.16) имеем:

Это означает, что независимо от того какую стратегию будет применять игрок «природа», то есть который из состояний сложится на рынке, игрок А (статистик), при применении стратегий А2 и А4, то есть техники видов А2 и А4, получит гарантированный выигрыш не менее 1 единицы. При использовании игроком А любой другой стратегии, то есть выпуска другого вида техники, в случае худшего ситуации может быть получен выигрыш менее 1 единица.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Возникают ситуации, в которых неконтролируемые факторы действуют более приятным образом по сравнению с лучшим положением, на которое ориентировалась ОПР. Например, погодные условия оказались лучше прогнозируемых; конкуренция уменьшилась на рынке по сравнению с прогнозируемыми ожиданиями. В этих условиях возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. В этом случае применяют критерий Сэвиджа.

Этот критерий аналогичен предыдущему критерию Вальда, но ОПР использует не матрицу выигрышей А, а матрицу рисков Я.

По критерию Сэвиджа предпочтительным является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим, то есть

Для применения критерия Сэвиджа к ситуации предъявляются те же условия, что и для критерия Вальда.

Пример 3.6. Для выходных данных примера 3.2 по критерию Сэвиджа выбрать стратегию, которая является наиболее выгодной.

Разгрузка Обязательства. Запишем матрицу рисков игры в виде таблицы 3.7 и найдем наибольшее значение max rij для каждой строки.

Матрица рисков игры

то есть выбираем стратегию А3, при применении которой статистиком величина риска, равной 4 единицы, принимает минимальное значение в самой худшей ситуации.

Заметим, что этот выбор оптимальной стратегии совпадает с выбором по критериям Вальда и оптимизма.

Суть критерия Сэвиджа заключается в стремлении избежать большого риска при выборе решения (стратегии).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Этот критерий рекомендует в процессе принятия решения использовать определенный средний результат, характеризующий состояние между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом.

В случае, Когда в игре задано матрицей выигрышей по критерию Гурвица предпочтение отдается варианту решения, которое определяется максимумом среди линейных комбинаций минимального и максимального выигрышей:

Коэффициент λ можно рассматривать как показатель оптимизма.

При λ = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксним критерием, то есть ориентация на предельный риск, поскольку большой выигрыш спрягаеться с большим риском. При λ = 1 критерий Гур-вица совпадает с критерием Вальда, то есть ориентация на осторожную поведение. Поэтому критерий Гурвица это называют критерием обобщенного максимина.

Значение λ являются промежуточными между риском и обережнистью и выбирается из субъективных (интуитивных) соображений в зависимости от конкретных условий и склонности к риску ЛПР.

В случае, Когда в игре задано матрицей проигрышей по критерию Гурвица предпочтение отдается варианту решения, которое определяется минимумом среди линейных комбинаций минимального и максимального выигрышей:

Формулу (3.20) применяют также в случае, когда задано матрицу рисков.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

о вероятности появления состояния Пj ничего не известно;

с появлением состояния Пj необходимо считаться; реализуется только малое количество решений; допускается некоторый риск.

Пример 3.7. Для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, по критерию Гурвица при λ = 0,6 выбрать стратегию, которая является наиболее выгодной.

Решение. Запишем матрицу выигрышей в виде 1 таблицы 3.8 и найдем наименьшее значение min аj, и наибольшее значение max аj, для каждого ее строки.

Таблица 3.8. Матрица выигрышей игры

Определим максимум среди линейных комбинаций минимального и максимального выигрышей по формуле (3.19):

Таким образом, по критерию Гурвица при значении показателю оптимизма λ = 0,6 следует выбрать стратегию А3.

Заметим, что этот выбор оптимальной стратегии совпадает с выбором по критериям Вальда, оптимизма и Сэвиджа.

Источник