Количество реализаций модели при определении средних значений параметров

Точность и количество реализаций модели при определении средних значений параметров

Найдем функциональную связь точности е и достоверности а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают математическое ожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т.п.).

Определение оценки математического ожидания

Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки математического ожидания некоторой случайной величины.

В N прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:

В качестве оценки математического ожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):

В последующей главе мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.

Согласно центральной предельной теореме если значения а, независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых N случайная величина а имеет практически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно

где о% —дисперсия искомой случайной величины а.

Следовательно, справедливо равенство

В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа (1749—1827) Ф(г„), который связан с интегралом вероятности так: Ф*(1_а) = 2Ф(г_а). Из приведенного выражения следует:

Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем

Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности а, можно определить аргумент t„.

Итак, искомая связь между точностью е, достоверностью а и числом реализаций модели получена:

Из выражений (4.2) следует, что:

Достоверность результата а. указана значением аргумента функции Лапласа t_a. Связь значения t_a с достоверностью а находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа.

Наиболее употребительные соответствия t_a и а приведены в табл. 4.3.

Фрагмент таблицы функции (интеграла) Лапласа

Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию о%. Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.

Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:

В предположении нормального распределения случайной величины а можно с использованием правила трех сигм получить приближенную оценку a_a:

Здесь а — среднеарифметическое значение по N* измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид

Вычисленную дисперсию Si подставим в формулу для определения числа прогонов модели N. Если в результате расчета окажется, что выполняется неравенство N > N*, то моделирование должно быть продолжено до выполнения N реализаций. Если же N 120 значения t* и t_a практически совпадают. Но при меньших значениях N следует пользоваться величиной t*.

Источник