Комплексные параметры гармонического сигнала и связь между ними

3.1 Представление гармонических функция с помощью комплексных величин

Расчеты электрических цепей гармонического тока в тригонометрической форме или графически с помощью векторных диаграмм применяются на практике только в случае простых схем.

С усложнением электрических цепей, с увеличением числа контуров, источников энергии, добавлением взаимных индуктивностей и т. д. тригонометрические или графические расчеты становятся крайне затруднительными. Требуется метод, позволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраически, аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), введенный в электротехнику А. Е. Кеннеди и П. Ч. Штейнметцом в 1893 – 1894 гг. Этот метод, как и векторные диаграммы, основан на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, причем вращающиеся векторы выражаются аналитически, в комплексной форме. Алгебраически интерпретируя векторные диаграммы, этот метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.

Все последующее изложение данного курса и радиотехнических дисциплин базируется на этом методе.

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиусом-вектором этой точки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рисунок 3.1).

Пользуясь показательной или полярной формой записи комплексного числа, имеем

(в электротехнике не пользуются обозначением , так как буква i обозначает ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи комплексного числа

Вектор, вращающийся в положительном направлении, т.е. против хода часовой стрелки, с угловой скоростью ω, может быть выражен следующим образом

где (

– комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0, рисунок 3.2). Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной гармонической функции.

Записывая комплексную функцию (3.1) в тригонометрической форме

заключаем, что гармоническая функция Acos( ω t+a) может рассматриваться как действительная часть комплексной функции (3.1), или, что то же, как проекция вращающегося век-тора на действительную ось.

Условно это записывается так:

Символ Re обозначает, что берется действительная часть комплексной функции. Например,

где – комплексная амплитуда.

Аналогично функция Asin( ω t+ ψ ) может быть в случае необходимости представлена как мнимая часть комплексной функции (3.1), взятая без множителя j, или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записывается так

где символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплексной функции. Например,

Другой способ представления гармонической функции с помощью комплексных величин основан на применении формул

Согласно (3.2) можно заключить, что функция Acos( ω t+ ψ ) равна геометрической сумме двух комплексно сопряженных векторов, имеющих модуль A/2 и вращающихся в противоположные стороны с одинаковой угловой скоростью ω.

В результате сложения таких двух векторов получается вектор, расположенный на действительной оси, т. е. для любого момента времени t получается действительная величина (рисунок 3.3, а).

Аналогично из (3.3) видно, что функция Asin(ωt+ ψ ) равна геометрической разности тех же двух вращающихся векторов, деленной на j. Разность этих векторов для любого момента времени t представляет мнимую величину (рисунок 3.3, б), и поэтому ее делят на j для получения действительной функции.

Вращение вектора в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки) связано с понятием отрицательной круговой частоты (– ω ), которое является чисто математическим понятием, вытекающим из вышеприведенных формул. Введение этого понятия в ряде случаев удобно для исследования процессов в электрических цепях. Из сравнения построения на рисунках 3.3, а и б, видно, что представление гармонических функций с помощью двух векторов, вращающихся в противоположные стороны, для функции вида Acos( ω t+ ψ ) проще, чем для функции Asin( ω t+ ψ ).

Источник

2. Сигналы в электрических цепях

2. Сигналы в электрических цепях

2.1. Гармонические сигналы

Токи и напряжения, действующие в электрических цепях как материальные носители информации называются сигналами.

По характеру изменения во времени различают гармонические, периодические, негармонические и непериодические сигналы.

Гармонические колебания можно представить различными способами: функциями времени; вращающимися векторами; комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами.

Временное представление гармонических сигналов. На рис. 2.1 показано изменение гармонических колебаний во времени

На основании рис.2.1 можно записать следующее выражение для гармонических напряжений и токов:

(2.1)

где -амплитуды, угловая частота и начальные фазы напряжения и тока.

Кроме перечисленных параметров гармонический сигнал характеризуется периодом повторения T и циклической частотой . Между параметрами имеется следующая связь:

; (2.2)

Период измеряется в секундах (с), циклическая частота – в герцах (Гц), угловая частота – в радианах в секунду (рад/с).

Часто гармонические колебания характеризуются не только мгновенными значениями (2.1), но и их действующим и средним значениями.

Действующие значения гармонических колебаний (2.1) определяются выражениями:

; (2.3)

Средние значения гармонического тока и напряжения за период T определяются выражениями:

(2.4)

Средние значения гармонического тока и напряжения за полпериода равны:

(2.5)

Временное представление гармонических колебаний в виде выражения (2.1) и рис.2.1. является наглядным, однако его использование при анализе цепей затруднительно, так как требует проведения громоздких тригонометрических преобразований. Поэтому в зависимости от характера решаемых задач гармонические колебания могут быть представлены вращающимися векторами (векторные диаграммы); комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами.

Векторное представление гармонических сигналов. На рис. 2.2. показано векторное представление двух гармонических токов:

(2.6)

Рис. 2.2. Векторная диаграмма гармонических сигналов.

На основании правила суммирования векторов запишем:

(2.7)

где и – амплитуда и фаза результирующего колебания, которые соответственно равны:

(2.8)

Представление гармонических сигналов в виде комплексных величин. Развитие алгебры потребовало ввести кроме положительных и отрицательных чисел комплексные числа. С помощью этих чисел облегчается процедура разыскания многих связей между действительными величинами. Комплексное число Z имеет вид:

, (2.9)

где и – действительные числа, а , или – мнимая единица. Числа и соответственно называются абсциссой и ординатой комплексного числа Z.

Запись комплексного числа в виде выражения (2.9) называется алгебраической формой записи. Кроме алгебраической формы записи комплексное число можно представить на комплексной плоскости, которая получается из плоскости XOY путём замены обозначений OX на (), а OY на (), как показано на рис. 2.3.

Изобразим комплексное число (2.9) на плоскости рис.2.3. Для этого на прямой действительных чисел () отложим отрезок равный числу , а на прямой мнимых чисел () отложим отрезок равный и получим точку М с координатами ().

Длина вектора называется модулем комплексного числа, а угол – его аргументом.

Из рис. 2.3. видно, что

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9) получим:

. (2.11)

Выражение (2.11) называется тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Учитывая формулу Эйлера

(2.12)

соотношение (2.11) можно записать в следующем виде

(2.13)

которое называется показательная форма записи комплексного числа.

Представим ток (2.1) на комплексной плоскости. Для этого изобразим амплитуду тока Im а комплексной плоскости с учётом начальной фазы (рис. 2.4).

Пусть вектор Im вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой . На основании рис.2.4. значение тока в любой момент времени в комплексной плоскости (комплексный гармонический ток) будет определяться комплексной величиной.

(2.14)

где , (2.15)

называется комплексной амплитудой тока.

Спектральное представление гармонических сигналов. Известно, что сложный сигнал состоит из множества гармонических колебаний (гармоник). Каждая гармоника имеет свою частоту, амплитуду и фазу. Следовательно, сложный сигнал можно представить в виде аналитического выражения и графика, которые показывают как распределены амплитуды и фазы гармоник по частоте. Представление сигналов в виде распределения амплитуд и фаз их гармоник по частоте называется спектральным представлением, а формулы и графики, показывающие такую зависимость, называются спектрами сигналов. На графиках амплитуды гармоник обозначаются в виде линейных отрезков, величины которых пропорциональны амплитудам гармоник на данной частоте.

Рис.2.5. Амплитудный (а) и частотный (б) спектры гармонического сигнала.

Пусть гармонический сигнал имеет амплитуду , угловую частоту и начальную фазу .Тогда спектральное (частотное) его представление состоит в задании распределения амплитуд и фаз по частоте (рис. 2.5).

Распределение амплитуд по частоте (рис. 2.5,а) называется амплитудно-частотным спектром (АЧС), а распределение фаз по частоте (рис. 2.5,б) – фазо-частотным спектром (ФЧС).

Источник

Гармонические колебания

На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.

АЧХ шума.

Лично мне после прочтения этих статей (например, этой ) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :).

Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.

Пару слов о матчасти

Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии

Гармонические колебания

Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:

где A — длина вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна:

ω=2 πf, где f — частота в Герцах.

Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.

Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал

Его сумма будет представлена следующей формулой:

Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:

Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:

Вектора рисуют пилу.

Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.

Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.

Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)

Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.

Переходим к практическим упражнениям!

Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).

Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.

Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно тут.
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.

Для формирования звукового файла был взят пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут

Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:

Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767).

В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу:

Чистый ламповый синус

Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра)

График спектра

Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять.

В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.

Мне, честно говоря, не очень нравится анализатор спектра в этой программе, поэтому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более, что это несложно.

Пишем свой анализатор спектра

Здесь может быть скучно, поэтому можете перейти сразу к следующей главе.

Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те, кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем, кому это неинтересно, будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.

Во-первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять, что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взят отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.

Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек вектора исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.
Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда.

Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.

Для начала алокируем массивы:

Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).

Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность , где fft_size=1

Источник