Квадратные уравнения с параметром 9 класс задания

Квадратные уравнения с параметром

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

Источник

Методика обучения решению квадратных уравнений с параметром

Разделы: Математика

Решение задач с параметром вызывает затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках недостаточно.

В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи (“параметр” с греческого “parametron” – отмеривающий)..

Если ставится задача для каждого значения параметра а из некоторого числового множества А решить уравнение F(х;а)= 0 относительно х, то это уравнение называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения параметра. Под областью определения уравнения F(х;а)=0 с параметром а понимаются такие системы значений х и а, при которых F(х;а) имеет смысл. Все значения параметра а, при которых F(х;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений. Под областью изменения параметра (если не сделано специальных оговорок) берется множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравнение F(х;а)=0 (с переменной х и параметром а) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного уравнения при всех действительных значениях параметра или установить, что решений нет.

В связи с тем, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но каждое уравнение семейства должно быть решено, следовательно, необходимо по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества, удобно пользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

В зависимости от типа задачи изменяется и вид ответа. В первом случае в решении и ответе должны быть рассмотрены все возможные значения параметров. Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.

Во втором случае в ответе перечисляются только те значения параметра, при которых выполнены условия задачи, а при решении подобных задач обычно решать заданное уравнение нет необходимости.

В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:

D > 0. Данное квадратное уравнение имеет два действительных корня

D=0. Данное уравнение имеет корень двойной кратности

№ 1.1. Определите все значения параметра а при которых уравнение ах 2 +2(а+1)х+а+3=0 имеет два неравных корня.

Если а?0, то уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант >0.

С учетом а=0, запишем ответ: а=-0,5, а=0, а=2.

Итак, а=0,2 не удовлетворяет условию задачи.

№ 1.4. Определите все значения параметра а при которых уравнение (2а-1)х 2 +ах+2а-3=0 имеет не более одного решения.

Итак, а=0,5 удовлетворяет условию задачи.

Если а 0,5, то квадратное уравнение имеет не более одного решения, если дискриминант квадратного уравнения D0.

С учетом а 0,5, имеем .

С учетом а=0,5, запишем ответ: .

2. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.

Квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а 0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.

Общая схема решения неполных квадратных уравнений с параметрами.

Следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.

ах 2 +с=0, где а0, в=0, с0. Если а0,то уравнение примет вид: следовательно, уравнение имеет корни, то они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; 2 +вх=0, где а0, в0, с=0. Если а0,то уравнение примет вид: х(а+в)=0,или Если а=0, то вх=0, х=0.

Оба корня квадратного уравнения равны нулю, когда

Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда 5а-3=0,а=0,6, но с учетом того, что имеем уравнение 2х 2 +1=0, х 2 =-0,5, которое корней не имеет. Ответ: .

№ 2.3. При каких значениях параметра а один из двух различных корней уравнения 3х 2 +х+2а-3=0 равен нулю?

Параметр должен удовлетворять условию: 2а-3=0, а=1,5. Ответ: а=1,5.

Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда:

Ответ: а=0.

Если 3а-1=0, а= ,то уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.

Если 3а-1 0. а>, то уравнение имеет два корня .

Ответ: при арешений нет; при а= х=0; при

3. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

№ 3.1. Исследовать и решить уравнение с параметром х 2 –2(а-1)х+2а+1=0.

D =0, а (а-4)=0, а=0, то х=а-1, х=0-1, х=-1, а=4,то х=а-1, х=4-1, х=3;

D 2 +2(а+1)х+а–2= 0.

1) При а-1=0, а=1 имеем линейное уравнение 4х-1=0, х=– единственное решение.

2) При а 1 уравнение является квадратным, найдем дискриминант:

D₁>0. 5а-1>0, а>, а 1, то уравнение имеет два корня .

D₁=0. 5а-1=0, а=, то уравнение имеет два равных корня .

х 2 +2х-8–ах+4а=0; х 2 +(2-а)х+4а-8=0. Уравнение является квадратным.

D=0. (а-18)(а-2)=0, а=2, то ; а=18, то ;

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

ах 2 +вх+с=0, где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, то

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема: Если числа p и q таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q. то эти числа являются корнями уравнения х 2 +px+q=0.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию _.

По теореме Виета: Используя соотношения между корнями и условие задачи, имеем:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Имеем: Ответ: при

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию х₁ =2 х_2. Заметим, что кратное сравнение выполняется только для положительных чисел.

По теореме Виета и условию задачи имеем систему:

Составим и решим уравнение:

Можно вычислить дискриминант данного уравнения, а затем проверить, удовлетворяет ли данное значение параметра а условию, что дискриминант неотрицателен, а так же, что корни положительны. Однако в данной задаче значительно проще сделать проверку, подставив это значение а в исходное уравнение.

При Корни отрицательны и кратно не сравниваются, поэтому задача решений не имеет. Ответ: решений нет.

№ 4.3. Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение (а+2)х 2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

При а+2=0, а=-2, то 2х+2=0, х=-1 – единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

При а-2. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию х₁ =1-у, х_2.=1+у, где у – некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

Решим первое уравнение системы: 2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

Данное значение а=-4 удовлетворяет полученным значениям. Ответ: а=-4.

Источник

“Решение квадратных уравнений с параметром с помощью теорем” (9 класс ) факультативное занятие

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

«Решение квадратных уравнений с параметром с помощью теорем»

(факультативное занятие по математике в 9 классе)

Цель: в ходе выполнения упражнений закрепить навыки решения квадратных уравнений с параметром с помощью теорем; формирование умений воспроизводить изученный материал в стандартных условиях; перенос приобретенных знаний в измененные условия.

1.Организационный момент (сообщается тема и цель занятия)

Сегодня на занятии мы будем решать задачи, в которых необходимо знать расположение корней квадратного трехчлена по отношению к некоторому числу или числам.

2. Актуализация необходимых знаний:

Прежде чем приступить к решению задач, давайте вспомним формулировки теорем, которые представлены в виде таблиц. (Учащиеся поочередно выходят к доске, формулируют теорему, объясняют выбор данных условий)

-Для того, чтобы один из корней уравнения был больше А, а второй меньше А, необходимо и достаточно выполнение следующих условий D >0, a * f ( A )

-Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежали внутри интервала образованного числами А и В необходимо и достаточно выполнение следующих условий: если а >0, то D >0, f ( A ) f ( B )>0; если а D >0, f ( A )>0, f ( B )

-Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежали внутри интервала образованного числами А и В необходимо и достаточно выполнение следующих условий: если а >0, то D >0, f ( A ) f ( B )>0; если а D >0, f ( A ) f ( B )>0; (Теорема 6)

-Для того, чтобы отрезок АВ целиком лежал внутри интервала образованного корнями Х1 и Х ₂ необходимо и достаточно выполнение следующих условий: если а >0, то D >0, f ( A ) f ( B ) а D >0, f ( A )>0, f ( B )>0; (Теорема 7)

3 . Закрепление пройденного материала.

Условие задачи соответствует Теореме 4. Составим систему, учитывая, что a >0,

(Решение задачи стирается, на доске остаются лишь системы неравенств)

Давайте посмотрим, как изменится решение задачи 1 если в ее условии изменить одно слово.

Возможны три случая расположения корней на числовой прямой.

Такое расположение корней соответствует Теореме 5. Составим систему:

(Для того, чтобы найти ответ данной задачи воспользуемся решением предыдущей задачи.)

Такое расположение корней соответствует Теореме 6. Составим систему:

Опишем данный случай:

Покажем расположение корней на координатной прямой

Данному расположению корней соответствует Теорема 3. Составим систему:

Источник

Занятие факультативного курса по математике в 9 классе по теме “Решение квадратных уравнений с параметрами”

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

ЗанятиЕ факультативного курса по математике в 9 классе

Тема: Решение квадратных уравнений с параметрами

Цель: – Отработать алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами с применением теоремы Вита;

Продолжить развитие логического мышления учащихся;

Привить интерес учащихся к решению уравнений с параметрами.

1) Какое квадратное уравнение называется приведенным?

2) Сформулировать теорему Виета.

3) Не выполняя вычислений корней уравнений, определить знаки корней уравнений:

1. х 2 – 6х – 7 = 0 2. х 2 – 2х + 3 = 0

3. х 2 + 2х – 21 = 0 4. х 2 + 4х + 2 = 0

5. х 2 – 5х + 1 = 0 6. 2х 2 – 23х + 6 = 0

7. х 2 + ах – 7 = 0 8. 3х 2 – 6х + 32 = 0

1) D = 36 + 28 = 64 > 0 – уравнение имеет два действительных корня.

– по теореме Виета. т.к. произведение корней отрицательно, то корни разных знаков (произведение двух чисел отрицательно, если множители разных знаков). Ответ: Корни разных знаков.

2) D = 4 –12 0 – квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет.

5) D = 25 – 4 = 21 > 0 – уравнение имеет два действительных корня.

– Произведение корней отрицательно  корни разных знаков. Ответ: корни разных знаков при любых значениях а.

1) Найдите значение а, при которых корни уравнения
х 2 – 2х(а + 1) + (а 2 + 2а – 3) = 0 положительны.

х 2 – 2х(а + 1) + (а 2 + 2а – 3) = 0 – приведенное квадратное уравнение по теореме Вита

Чтобы корни уравнения были положительны, необходимо, чтобы сумма корней была числом положительным при условии существования этих корней.

а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3 = 4 > 0  корни уравнения существуют при любом значении а.

а > 1

При а > 1 корни уравнения положительны.

х 2 + 3 mx – ( m –1,25) = 0 – приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Чтобы корни были отрицательны, необходимо, чтобы их сумма была отрицательным числом, а произведение положительным числом при условии, что эти корни существуют.

D = 9 m 2 + 4 m – 5 > 0 при m m >

б) 0 m

) Сопоставим полученные решения.

m

Ответ: при m

3) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х 2 – (2 + а)х + а = 0 будет наименьшей.

а) Определим значения а, при которых уравнение имеет корни:
D = (2 + а) 2 – 4а = 4 + 4а + а 2 – 4а = а 2 + 4 > 0 при любом значении а, т.к.
а 2  0  а 2 + 4 > 0.

б) Это уравнение приведенное квадратное  по теореме Виета . Отсюда найдем сумму квадратов корней данного уравнения.

г) Функция у = а 2 + 2а + 4 квадратичная, первый коэффициент равен 1 > 0  свое наименьшее значение функция принимает в вершине параболы: .

Ответ: при а = 1 сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

а) При каких значениях р корни уравнения х 2 + 6х + р + 3 = 0 будут отрицательны?

б) При каких значениях параметра р корни уравнения х 2 – 2рх + 2р 2 – 9 = 0 будут положительны?

в) При каких значениях k корни уравнения х 2 + ( k 2 – 4 k – 5) x + k = 0 равны по модулю?

Источник