Линейные неравенства с параметром примеры с решением

Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»

Окончание. Начало в № 1, 2

Рассмотрение данной темы следует начинать с краткого повторения решения линейных неравенств с одной переменной.

Упражнение 1. Решите линейное неравенство:

а) 2x > 22; б) –5x ≥ 30;
в) –0,1x ≤ 4; г) 0∙x 0; е) 0∙x ≤ 0;
ж) 0∙x ≥ –3; з) 2x – 4 > 5 – x;
и) к)
л) м) 3 – 2x 2 – 3 ≥ 9x(x + 2) – a
является решением неравенства
3x + a ≤ 2x + 1?
Решение. Решим первое неравенство:
9x 2 + 6x + 1 – 3 ≥ 9x 2 + 18x – a, 12x ≤ a – 2,
Решим второе неравенство: x ≤ 1 – a. Чтобы каждое решение первого неравенства являлось решением второго, необходимо, чтобы

Отсюда: a – 2 ≤ 12 – 12a,
Ответ: при

Упражнение 4. При каких значениях параметра a хотя бы одно решение неравенства

будет являться решением неравенства 3 – 0,5x > a?
Решение. Решив первое неравенство относительно x, получим: 8x – 8a – 12a – 12x ≤ 96,
x ≥ –5a – 24. Решив второе неравенство относительно x, получим: x –5a – 24. Откуда a > –10.
Ответ: при a > –10.

Далее разберем алгоритм решения линейных неравенств с параметрами:
1) решение линейных неравенств с одной переменной и положительным коэффициентом при этой переменной;
2) решение линейных неравенств с одной переменной и отрицательным коэффициентом при этой переменной;
3) решение неравенств с коэффициентом, равным нулю. Данный момент требует особенно пристального рассмотрения. Результат разбора полезно записать в виде таблицы.

Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной

Упражнение 5. Решите неравенство
(a – 1)x ≤ a 2 – 1
относительно переменной x.

Решение. Рассмотрим три случая.
1. a – 1 = 0. Тогда неравенство примет вид 0∙x ≤ 0, и его решением является любое значение переменной x.
2. a – 1 > 0. Тогда (a – 1)x ≤ a 2 – 1 ⇔ x ≤ a + 1.
3. a – 1 2 – 1 ⇔ x ≥ a + 1.

Ответ: при a = 1 x ∈ R;
при a > 1 x ≤ a + 1;
при a 2 x ≤ a 2 – 1
относительно переменной x.

Задание на дом
1. Решите неравенство (a – 2)x > a 2 – 4 относительно переменной x.
2. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства 0,3x – 6 –2,8. Целые решения данного неравенства: –2; –1; 0; 1; 2. Решив второе неравенство, получим x 2, то есть a > 4. С другой стороны, a не может быть больше 6 (полезно оговорить случай, когда 0,5a = 3), так как тогда система будет иметь более пяти целых решений. Значит, 0,5a ≤ 3, то есть a ≤ 6.

Ответ: при 4 1 – a. Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы (случай обсудить отдельно). Из последнего неравенства следует: a ≤ –0,2.

Ответ: при a ≤ –0,2 система не имеет решений.

Упражнение 5. При каких значениях параметра a решением системы уравнений является пара положительных значений x и y?

Решение. Решая систему способом сложения, получим:

откуда

так как x > 0 и y > 0, то получим систему неравенств

Ответ: при a > 3 решением системы является пара положительных чисел.

Упражнение 6. При каких значениях параметра b корень уравнения 6 – 3b + 4bx = 4b + 12x меньше 1?

Решение. 6 – 3b + 4bx = 4b + 12x,
(4b – 12)x = 7b – 6.
Если b = 3, то уравнение примет вид 0∙x = 15 и не будет иметь корней.
Если b ≠ 3, то
По условию Тогда
Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Поэтому
Решив обе системы, получим: –2 2.
Если a – 1 = 0, то решения первого неравенства — x ∈ R, а решения системы — x > 2.
Если a – 1 > 0, то Здесь возможны три случая: или Рассмотрим эти случаи.
1. Пусть тогда откуда
Имеем: 1 0. Решением первой системы является неравенство a > 1,5. В этом случае система также не имеет решений.

Ответ: при a ≤ 1 x > 2;
при 1 2 + y 2 2 – 4y 2 ≤ 0.

Решение. а) График уравнения y = 2| x | – 2 разбивает плоскость на две области. Возьмем «контрольную» точку, чтобы определить, в какой из областей выполняется неравенство. Например, при подстановке координат точки A(0; 0) в неравенство получаем: 0 > 2| 0 | – 2, что верно. Значит, точка A лежит в нужной нам области.

б) Графиком уравнения являются пересекающиеся прямые x = 1 и y = –2. Используя контрольные точки, проверим, какие из областей изображают решение неравенства.

A(0; 0): (0 – 1)(0 + 2) ≥ 0 — неверно;
B(2; 2): (2 – 1)(2 + 2) ≥ 0 — верно;
C(3; – 3): (3 –1)(–3 + 2) ≥ 0 — неверно;
E(–3; –3): (–3 – 1)(–3 + 2) ≥ 0 — верно.
Простейшей линией на плоскости является прямая, разбивающая плоскость на две полуплоскости. Ордината любой точки верхней полуплоскости больше ординаты соответствующей ей точки прямой y = kx + b. В этой полуплоскости выполняется неравенство y > kx + b. В полуплоскости, расположенной ниже прямой y = kx + b, выполняется неравенство y 2 + 1)x.
2. Найдите целочисленные решения системы неравенств

3. Решите неравенство x(x – a) 2 0 x ∈ (0; a).

Ответ: при a 0 x ∈ (0; a).
Далее учащиеся самостоятельно решают упражнение 4.

Упражнение 4. Решите неравенство:
а) (x – 2a)(x – a) 2 – x 2 ≥ (x + a)(4 – a);
в)

Ответ: при a 0 x ∈ (a; 2a).
б) Преобразуем данное неравенство
(a – x)(x + a) ≥ (x + a) (4 – a),
(a – x)(x + a) – (x + a)(4 – a) ≥ 0,
(x + a)(2a – x – 4) ≥ 0.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, соответствующих данному неравенству.

Чтобы определить координаты точки пересечения прямых, решим уравнение –x = 0,5x + 2, откуда
Тогда
Ответ:

в) Дробь если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поэтому

Изобразим множество точек, соответствующих неравенству

Решение. Построим график уравнения (x – a 2 )(x – | a |) = 0 в координатной плоскости Oxa, где горизонтальная ось — ось a, вертикальная — ось x, прямая a = α в этом случае будет перемещаться слева направо.

Из чертежа видно, что уравнение имеет два корня: x = a 2 и x = | a | при a 1, и один корень x = 1 при a = ±1 или x = 0 при a = 0.

Упражнение 7. Исследуйте количество решений системы уравнений

в зависимости от значений параметра m.

Решение. Решим уравнение

Тогда
(m – 4)(m + 1) = –2(m + 2), m 2 – 3m – 4 = –2m – 4, m 2 – m = 0, m = 0 или m = 1.
Рассмотрим пропорцию

При m = 0 получаем: — верно.
Значит, при m = 0 система имеет бесконечно много решений.
Если m = 1, то — неверно,
значит, при m = 1 система не имеет решений.

Ответ: при m = 0 — бесконечно много решений;
при m = 1 нет решений;
при m ≠ 0 и m ≠ 1 — единственное решение.

Упражнение 8. При каких значениях параметра a неравенство справедливо для всех x из промежутка [1; 2]?
Решение. Значение дроби отрицательно, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Тогда

Отсюда

Первая система имеет решения, если 2a + 1 > a, то есть при a > –1. Промежуток [1; 2] не входит во множество решений системы, если

Решением данной системы является промежуток (0,5; 1).
Вторая система имеет решения, если 2a + 1 2 (x – 2a) 2 (x – 2a) ≤ 0;
в) | x |(x – a) > 0;
г) | x + a |(x – 2) ≥ 0.

Решение. а) Так как (x – a) 2 ≥ 0 при любых значениях переменной, то неравенство
(x – a) 2 (x – 2a) 2 ≠ 0;
то есть при x a, то есть a > 0, то решение неравенства x ∈ (–∞; a) ∪(a; 2a).
Если a ≤ 0, то x ∈ (–∞; 2a).

б) Так как (x – a) 2 ≥ 0 при любых значениях переменной, то неравенство (x – a) 2 (x – 2a) ≤ 0 выполняется, если x – 2a ≤ 0 или (x – a) 2 = 0; то есть при x ≤ 2a или x = a. Если 2a ≥ a, то есть a ≥ 0,
то решение неравенства x ∈ (–∞; 2a], если a 0, если x > a, x ≠ 0. Если a ≥ 0, то x ∈ (a; +∞), если a –2, то x ∈ [2; +∞) ∪ <–a>, если
a ≤ –2, то x ∈ [2; +∞).

Упражнение 10. Решите систему неравенств

двумя способами (аналитическим и графическим с использованием системы координат Oxa).

Решение. Способ I (аналитический).

Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы

откуда a ≥ 1. Если a > 1, то

если a = 1, то x = 1. При a 1
при a = 1 x = 1; при a 2 общих точек нет.

Источник

Разработка урока по теме ” линейные неравенства с параметром”

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Учебный проект по теме:

«Линейные уравнения и неравенства с параметром»

В последние годы задачи с параметрами (и, прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, но и в контрольных и экзаменационных работах в школе. Задачи с параметрами для большинства учащихся являются непривычными, а для многих из них сложными. Школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. В этом заключается главная проблема, в которой мы постараемся разобраться. Мы решили создать проект по теме «Линейные уравнения и неравенства с параметром» и защитить его на районной научно – практической конференции школьников по теме «Мой первый научный проект».

Цели проекта: подобрать теоретический материал, связанный с параметрами, научиться решать линейные уравнения и неравенства с параметрами, привлечь внимание одноклассников к этим задачам и научить их решать.

Уметь находить и анализировать информацию.

Уметь выбирать необходимое, делать вывод и использовать полученные сведения и умения.

Впервые с параметрами мы столкнулись в 8 классе на факультативе. Тема оказалась для нас сложной, и мы решили изучить более подробно теорию «Решение линейных уравнений и неравенств». При решении уравнений и неравенств возник вопрос: «Существует ли алгоритм решения линейных уравнений и неравенств?»

Сначала рассмотрели несложные уравнения и неравенства:

1) Решите уравнение: ах = 1.

Решение: ах = 1, х =

Ответ: если а = 0, то корней нет; если а ≠0, то х = .

2) Решите уравнение: (а – 1) х = 12.

Решение: (а – 1) х = 12, х =

Ответ: если а = 1, то корней нет; если а ≠ 1, то х =

если а ≠ 0 и а ≠-1, то х = ,

если а = 0, то уравнение примет вид 0∙ x =1. Это уравнение не имеет корней,

если а = 1, то имеем уравнение 0∙ x : = 0, корнем которого может служить любое число.

4) Решите неравенство: ах

Решение: рассмотрим три случая: если а = 0, то х – любое число;

если а ; если а > 0, то х

Ответ: если а = 0, то х – любое число; если а ; если а > 0,

5) Решите неравенство: 3х – а > ах – 2

Решение: 3х – а > ах – 2;

Рассмотрим случаи: если а = 3, 0 * х > 1 решений нет

если а > 3, то х .

Ответ: если а = 3, то решений нет; если а > 3, то х

то х > .

Проанализировав решения, мы:

получили общую схему (алгоритм) решения уравнения

Если а = 0, b ≠ 0, то уравнение корней не имеет

Если а = 0, b = 0, то корнем уравнения является любое число

Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень х = .

общую схему (алгоритм) решения неравенства

Если а >0, то х >

Если а

Ввели понятие «параметр» и связанные с ним понятия: что значит, решить уравнение и неравенство с параметром

В большинстве уравнений и неравенств буквами обозначены переменные. Однако бывают случаи, когда буквами заменяют конкретные числа и решают уравнение или неравенство в общем виде. Буквы, заменяющие в уравнении или неравенстве конкретные числовые данные, называются параметрами.

Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определённым числовым множествам.

Со времён Декарта последними буквами латинского алфавита x , у и z обычно обозначают переменные, а первыми a , b и c – параметры. Это позволяет во многих случаях не указывать, какой буквой обозначен параметр, а какой – переменная.

Итак, всякая задача с параметром – это целая серия однотипных задач, которые соответствуют всем значениям параметра.

Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение или неравенство с параметром – значит:

указать, при каких значениях параметра есть решения;

выяснить, при каких значениях параметра решений нет.

То есть для каждого значения параметра нужно указать множество решений данного уравнения или неравенства.

Эта задача может формулироваться не только прямым указанием «для каждого значения параметра найти все решения уравнения (неравенства)», но и несколько закамуфлировано, например, «найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения (неравенства), удовлетворяет заданным условиям».

Задача исследования уравнения или неравенства с параметром, как правило, довольно трудна. Она всегда предполагает рассмотрение нескольких случаев, ни один из которых нельзя потерять. К тому же при решении можно «приобрести» так называемые посторонние корни, проверка которых для уравнения с параметром – задача весьма непростая.

Поэтому при решении крайне важно понимать, какие преобразования происходят – равносильные или нет, и применять по возможности равносильные.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.

Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, а остальные предлагаем для самостоятельного решения, из которых составили дидактический материал.

Пример 1 . При каком значении параметра а уравнение

а ( х – 1) = 2х + 5 не имеет корней?

Решение: Перепишем уравнение а ( х – 1) = 2х + 5 в виде

х(а – 2) = 5 + а. Если а = 2, то уравнение корней не имеет.

Решение: Оставим в левой части уравнения выражения с пере­менной, а константы перенесем в правую часть:

Если а ±1, то х = .

Пример 3. Определить количество корней в зависимости от значений параметра b :

b 2 х + 4 b + 4 = 4 х + 3b 2

Решение: Преобразуем уравнение:

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и пра­вой частях уравнения:

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при реше­нии примеров

1 и 2, получим ответ.

Пример 4. При каких целых значениях параметра а корень уравнения

Решение. Очевидно, при а 5 уравнение имеет корень х =.

Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5].

Для этого решим двойное неравенство 0 5:

0 5.

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Решение: Приведем оба уравнения к виду хр = q и решим их:

Последнее неравенство приводится к виду

Решаем это неравенство методом интервалов:

Ответ: а

Решение: Преобразуем неравенство:

-1 + Зах 6х + 10а,

3ах – 6х 10а + 1,

Если а = 2, то неравенство перепишется так: 0•х 21, то х- любое число.

Если а > 2,то х ; если а

то х;).

Пример 7. Решить неравенство ax + 4 > 2 x + a ².

Решение: ax + 4 > 2x + a² ;

если a = 2, неравенство 0 ∙ x > 0 решений не имеет;

если a > 2, ( a – 2) x >(a – 2) (a + 2);

Ответ: x > a + 2 при a > 2; x a + 2, при a a = 2.

Пример 8. При каких a неравенство 3 x – 2 a > 0 является следствием неравенства x – 1 + a > 0?

Решение. Неравенство 3 x – 2 a > 0 (1)

является следствием неравенства x – 1 + a > 0 (2)

Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

Решение: Сначала решим неравенство

Пусть а 0. Тогда решением неравенства будет интервал

то есть отрезок должен содержаться в интервале (а;8а). Это требование

равносильно системе из которой следует, что

удовлетворяет условию 2 х 4.

Ответ:

Решите уравнение (1-13).

(Ответ: Если а 2, то х =; если а = 2, то решений нет).

(Ответ: Если а0, то х = а + 2; если а = 0, то х — любое число).

6.

7.

(Ответ: Если m , m , то х = ; если m =0 или m = 3, то решений нет).

8.

(Ответ: Если а , то х = 2а+1; если а = 0, то решений нет).

9.

10.

11.

12.

(Ответ: Если а2, а, то х = ; если а = 2 или а = , то решений

13.

14. При каком значении параметра b уравнение bх = b + х + 1 не имеет корней?

(Ответ: Если а0,а 1,то х =; если а = 0, то х — любое число).

16. Найдите все значения р, при каждом из которых решение
уравнения

(Ответ: а) p (-2;3); б) p ;-3); в) p (-5;4)).

(Ответ: При любых а, кроме а =2, а =5).

а) в промежутке [-1; 3]; б) в промежутке [1; 4]?

(Ответ: а) а ;0]; б) а ;).

Решите неравенство (1-7).

(Ответ: x > при a > 1; x при a x є R при a = 1).

2.

(Ответ: Если m , то х ; если 0 m

х; если m = 2, то решений нет).

3.

х;

если а = 2, то х; если а >2, то х ).

4.

х ).

5.

х.

6.

х.

7.

х .

8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х промежутка 1.

Ответ. а .

9. При каких a неравенство ax +2 – a /3 x (1;2)?

(Ответ: a (2; 8)).

10. При каких a неравенство 5 x > a + 3 является следствием неравенства

(Ответ: a [1;2]).

выступление на научно – практической конференции школьников.

Источник