Линейные цепи с постоянными параметрами

1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.

2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения).

(3.3)

где – произвольное число.

Суть принципа суперпозиции: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности.

3. При сколь угодно сложном воздействий в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т.е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала) не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебания на выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на входе, изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т.д.

Линейные цепи с переменными параметрами

Одно или несколько параметров изменяются во времени (но не зависят от сигнала). Подобные цепи часто называются линейными параметрическими, свойства 1 и 2 (для линейных цепей с постоянными параметрами) справедливы и для линейных параметрических цепей. Однако, в отличие от предыдущего случая, даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной цепи с переменными параметрами сложное колебание, имеющие спектр частот.

Линейная цепь с переменными параметрами преобразует частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть использовано для некоторых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра.

Нелинейные цепи

Если условие (3.3) не выполняется, то говорят, что система является нелинейной.

Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, параметры которых зависят от уровня входного сигнала.

Все физические системы, с которыми имеет дело радиотехника, в той или иной степени нелинейные.

Нелинейные радиотехнические устройства содержать в себе обычно такие элементы, как полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие ВАХ сложного вида.

Рисунок 3.2 Вольт–амперная характеристика нелинейного элемента (диода)

Основные свойства нелинейных систем:

1. К нелинейным цепям принцип суперпозиции неприемлем. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт – амперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных элементов, нарушающей пропорциональность между током и напряжением. Например, для диода если напряжению U, соответствует ток i₁, а напряжению U₂ – ток i₂, то суммарному напряжению U₃= U₁+ U₂ будет соответствовать току i₃ отличный от суммы i₁+ i_2.

При анализе воздействия сложного сигнала на линейную цепь его нельзя разлагать на более простые, необходимо искать облик цепи на результирующий сигнал. Достоинством линейной цепи является, то что, по крайней мере, теоретически можно решить любую задачу о преобразовании входного сигнала такой системы.

2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармонического сигнала в цепи помимо колебаний основной частоты возникают гармоники с частотами, кратными основной частоте. При сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник возникают еще и колебания с комбинационными частотами, являющиеся результатами взаимодействия отдельных колебаний, входящих в состав сигнала.

Источник

Линейные цепи с постоянными параметрами

Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления перечисленных в § 1.2 преобразований сигналов и колебаний, можно разбить на следующие основные классы:

линейные цепи с постоянными параметрами;

линейные цепи с переменными параметрами;

Следует сразу же указать, что в реальных радиоустройствах четкое выделение линейных и нелинейных цепей и элементов не всегда возможно. Отнесение одних и тех же элементов к линейным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих на них сигналов.

Тем не менее приведенная выше классификация цепей необходима для понимания теории и техники обработки сигналов.

Сформулируем основные свойства этих цепей.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Можно исходить из следующих определений.

1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.

2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения).

В математической форме этот принцип выражается следующим равенством:

где L — оператор, характеризующий воздействие цепи на входной сигнал.

Суть принципа суперпозиции может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из силе отдельности. Можно использовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов от отдельных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.

Принцип наложения лежит в основе спектрального и операторного методов анализа переходных процессов в линейных цепях, а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через линейные цепи можно разложить на простые, более удобные для анализа (например, гармонические).

3. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебание на выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на входе; изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Разложив сигналы на гармонические колебания и подставив результаты разложения в (1.1), убедимся, что на выходе цепи могут существовать только колебания с частотами, входящими в состав входного сигнала.

Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, несвязанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д.

3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Имеются в виду цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени (но не зависят от входного сигнала). Подобные цепи часто называются линейными параметрическими.

Сформулированные в предыдущем пункте свойства 1 и 2 справедливы и для линейных параметрических цепей. Однако в отличие от предыдущего случая даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной цепи с переменными параметрами сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем примере. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется во времени по закону

приложена гармоническая ЭДС

Ток через сопротивление

Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами , которых нет в . Даже из этой простейшей модели ясно, что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование спектра входного сигнала.

Аналогичный результат, хотя и с более сложными математическими выкладками, можно получить для цепи с переменными параметрами, содержащей реактивные элементы — катушки индуктивности и конденсаторы. Этот вопрос рассматривается в гл. 10. Здесь лишь отметим, что линейная цепь с переменными параметрами преобразует частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть использована для некоторых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальнейшего будет также видно, что периодическое изменение во времени индуктивности или емкости колебательной цепи позволяет при некоторых условиях осуществить «накачку» энергии от вспомогательного устройства, изменяющего этот параметр («параметрические усилители» и «параметрические генераторы», гл. 10).

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, параметры которых зависят от уровня входного сигнала. Простейший нелинейный элемент — диод с вольт-амперной характеристикой, представленной на рис. 1.4.

Перечислим основные свойства нелинейных цепей.

1. К нелинейным цепям (и элементам) принцип суперпозиции неприменим. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт-амперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных элементов, нарушающей пропорциональность между током и напряжением. Например, для диода, если напряжению соответствует ток а напряжению — ток то суммарному напряжению будет соответствовать ток отличный от суммы (рис. 1.4).

Из этого простого примера видно, что при анализе воздействия сложного сигнала на нелинейную цепь его нельзя разлагать на более простые; необходимо искать отклик цепи на результирующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей принципа суперпозиции делает непригодными спектральный и иные методы анализа, основанные на разложении сложного сигнала на составляющие.

2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармонического сигнала в цепи помимо колебаний основной частоты возникают гармоники с частотами, кратными основной частоте (а в некоторых случаях и постоянная составляющая тока или напряжения). В дальнейшем будет показано, что при сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник возникают еще и колебания с комбинационными частотами, являющиеся результатом взаимодействия отдельных колебаний, входящих в состав сигнала.

С точки зрения преобразования спектра сигнала следует подчеркнуть принципиальное различие между линейными параметрическими и нелинейными цепями. В нелинейной цепи структура спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его амплитуды. В линейной параметрической цепи структура спектра от амплитуды сигнала не зависит.

Особенный интерес для радиотехники представляют свободные колебания в нелинейных цепях. Подобные колебания называются автоколебаними, поскольку они возникают и могут устойчиво существовать в отсутствие внешнего периодического воздействия. Расход энергии компенсируется источником энергии постоянного тока.

Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детектирование и преобразование частоты — сопровождаются трансформацией частотного спектра. Поэтому эти процессы можно осуществить с помощью либо нелинейных, либо линейных параметрических цепей. В некоторых случаях используются одновременно как нелинейные, так и линейные параметрические цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими выделение полезных компонентов преобразованного спектра. В связи с этим, как уже отмечалось в начале данного параграфа, деление цепей на линейные, нелинейные и линейные параметрические весьма условно. Обычно для описания поведения различных узлов одного и того же радиотехнического устройства приходится применять разнообразные математические методы — линейные и нелинейные.

Рис. 1.4. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента (диода)

Изложенные выше основные свойства цепей трех классов — линейных с постоянными параметрами, линейных параметрических и нелинейных — сохраняются при любых формах реализации цепей: с сосредоточенными параметрами, с распределенными параметрами (линии, излучающие устройства) и т. д. Эти свойства распространяются также и на устройства цифровой обработки сигналов.

Следует, однако, подчеркнуть, что положенный в основу деления цепей на линейные и нелинейные принцип суперпозиции сформулирован выше для операции суммирования сигналов на входе цепи [см. (1.1). Однако этой операцией не исчерпываются требования к современным системам обработки сигналов. Важным для практики является, например, случай, когда сигнал на входе цепи является произведением двух сигналов. Оказывается, что и для подобных сигналов можно осуществить обработку, подчиняющуюся принципу суперпозиции, однако эта обработка будет являться сочетанием специально подобранных нелинейных и линейных операций. Подобная обработка называется гомоморфной.

Синтез подобных устройств рассматривается в конце курса (см. гл. 16), после изучения линейных и нелинейных цепей, а также цифровой обработки сигналов, развитие которой и явилось толчком к широкому применению гомоморфной обработки.

Источник

Линейные цепи с постоянными параметрами

Классификация цепей

Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления преобразовании сигналов и колебаний (преобразование исходного сообщения в электрический сигнал и кодирование, генерация высокочастотных колебаний, управление колебаниями (модуляция), выделение сообщения из высокочастотного колебания (детектирование о декодирование)) можно разбить на следующие классы:

-линейные цепи с постоянными параметрами,

-линейные цепи с переменными параметрами,

В реальных радиоустройствах четкое выделение линейных и нелинейных цепей и элементов не всегда возможно. Отнесение одних и тех же элементов к линейным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих на них сигналов.

Система (системный оператор)

Радиотехническое устройство независимо от своего назначения и уровня сложности представляет собой систему, т.е. совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия.

На вход подается исходный сигнал, а с выхода снимается преобразованный сигнал.

1.Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.

2.Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения).

(10.1)

где – произвольное число.

Суть принципа суперпозиции: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности.

3.При сколь угодно сложном воздействий в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. ни одно из преобразовании сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т.е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала) не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебания на выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на входе, изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т.д.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Линейные цепи с постоянными параметрами

1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.

2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения).

(3.3)

где – произвольное число.

Суть принципа суперпозиции: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности.

3. При сколь угодно сложном воздействий в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т.е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала) не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебания на выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на входе, изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т.д.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Линейные электрические цепи

Электрической цепью называется совокупность элементов, образующих пути для прохождения электрического тока. Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.

Активными элементами считаются источники электрической энергии (источники напряжения и тока), к пассивным элементам относятся резисторы, катушки индуктивности, электрические конденсаторы.

Любой пассивный элемент реальной электрической цепи в той или иной степени обладает активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Однако, чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи и ее расчет, реальная цепь заменяется идеализированной, состоящей из отдельных пространственно разделенных элементов R, L, С.

Если сопротивление резистора R не зависит от тока, то линейная зависимость между падением напряжения и током выражается законом Ома ur = R х i_r, а вольт-амперная характеристика резистора (представляет собой прямую линию (рис. 1,а).

Если индуктивность катушки не зависит от величины (протекающего в ней тока, то потокосцепление самоиндукции катушки ψ прямо пропорционально этому току ψ = L х i_l (рис. 1,б).

Линейность сопротивления, индуктивности и емкости носит условный характер, так как в действительности все реальные элементы электрической цепи являются нелинейными. Так, при прохождении тока через резистор последний нагревается и его сопротивление изменяется.

Чрезмерное увеличение тока в катушке с ферромагнитным сердечником может несколько изменит ее индуктивность. В той или иной степени изменяется емкость конденсаторов с различными диэлектриками в зависимости от приложенного напряжения.

Однако в нормальном рабочем режиме элементов эти изменения обычно столь незначительны, что при расчетах могут не приниматься во внимание и такие элементы электрической цепи считаются линейными.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник