Любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения называется
Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки статистической гипотезы
Проверка статистических гипотез – это один из основных методов математической статистики, который используется в эконометрике.
С помощью методов математической статистики можно проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например, математического ожидания или дисперсии), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.
Предположим, что на основании имеющихся данных у исследователя есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений.
Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений.
Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.
Непараметрическими гипотезами называются гипотезы о виде распределения случайной величины.
Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе.
Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Противоречащая гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.
Нулевой, основной или проверяемой гипотезой называется первоначально выдвинутая гипотеза, которая обозначается Н0.
Конкурирующей или альтернативной гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н0 и обозначается Н1.
Например, основная гипотеза Н0 состоит в том, что математическое ожидание μ равно значению μ0. В этом случае конкурирующая гипотеза Н1 может состоять в предположении, что математическое ожидание μ не равно (больше или меньше) значения μ0:
состоит из множества простых гипотез вида:
где m – это люблое число, большее четырёх.
Статистическая проверка гипотез
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений. Предположим, что на основании имеющихся данных есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.
Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе. Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой, рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Альтернативная гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.
Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений. Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.
Непараметрическими гипотезами называются гипотезы о виде распределения случайной величины.
Конкурирующей или альтернативной гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н0 и обозначается Н1.
Например, основная гипотеза Н0 состоит в том, что математическое ожидание μ равно какому-то значению μ0. В этом случае конкурирующая гипотеза Н1 может состоять в предположении, что математическое ожидание μ не равно (больше или меньше) значения μ0:
α=0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях из 100)
α=0,05, тогда Р=0,95 ( в 5 случаях из 100)
α=0,01, тогда Р=0,99 (в 1 случае из 100) может быть отвергнута правильная гипотеза
Областью принятия гипотезы или областью допустимых значений называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза принимается. Если наблюдаемое значение статистического критерия, рассчитанное по данным выборочной совокупности, принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается. Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается.
Рассмотрим на примере:
Проверить правильность нулевой гипотезы
Любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения называется
1. Статистические гипотезы. Основные понятия.
2. Гипотезы о законе распределения.
3. Гипотезы о числовом значении генерального среднего и дисперсии.
1. Статистические гипотезы. Основные понятия.
В тех случаях, когда известен закон, но неизвестны значения его параметров (дисперсия или математическое ожидание) в конкретной ситуации, статистическую гипотезу называют параметрической.
Например, предположение об ожидаемом среднем доходе по акциям или разбросе дохода являются параметрическими гипотезами.
Когда закон распределения генеральной совокупности не известен, но есть основания предположить, каков его конкретный вид, выдвигаемые гипотезы о виде его распределения называются непараметрическими.
Например, можно выдвинуть гипотезу, что число дневных продаж в магазине или доход населения подчинены нормальному закону распределения.
По содержанию статистические гипотезы можно классифицировать:
1. Гипотезы о типе вероятностного закона распределения случайной величины, характеризующего явление или процесс.
2. Гипотезы об однородности двух или более обрабатываемых выборок. Изучаемое свойство исследуется с помощью двух или более генеральных совокупностей. Гипотеза в этом случае может заключаться в следующем: исследуемые выборочные характеристики различаются между собой статистически значимо или нет.
3. Гипотезы о свойствах числовых значений параметров исследуемой генеральной совокупности. Больше ли значения параметров некоторого заданного номинала или меньше и т.д.
4. Гипотезы о вероятностной зависимости двух или более признаков, характеризующих различные свойства рассматриваемого явления или процесса. При этом определяется характер этой зависимости.
Гипотезы бывают простые (содержащие одно предположение) и сложные (содержащие несколько предположений).
Под статистическим критерием понимают однозначно определенное правило, устанавливающее условие, при котором проверяемая гипотеза отвергается либо не отвергается.
Увеличение числа заболевших некоторым заболеванием дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии эпидемии. Для сравнения доли заболевших в обычных и экстремальных условиях используются статистические данные, на основании которых делается вывод о том, является ли данное массовое заболевание эпидемией. Предполагается, что существует некоторый критерий- уровень доли заболевших, критический для этого заболевания, который устанавливается по ранее имевшимся случаям.
Различают три вида критериев:
Проверка параметрических гипотез проводится на основе критериев значимости., а непараметрических- критериев согласия.
Задача проверки статистических гипотез сводится к исследованию генеральной совокупности по выборке. Множество возможных значений элементов выборки может быть разделено на два непересекающихся подмножества- критическую область и область принятия гипотезы.
Областью принятия гипотезы или областью допустимых значений Iдоп называют совокупность значений критерия, при которых эту гипотезу принимают.
Критической областью Iкр называют множество значений критерия, при котором гипотезу отвергают.
Наблюдаемые значения критерия (статистика) Kнабл называют такое значение критерия, которое находится по данным выборки.
С помощью уровня значимости определяются границы критической области.
Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение статистики критерия попадает (не попадает) в критическую область, то гипотеза H0 отвергается (принимается), а гипотеза H1 принимается (отвергается) в качестве одного из возможных решений с формулировкой «гипотеза H0 противоречит (не противоречит) выборочным данным на уровне значимости ».
В зависимости от содержания альтернативной гипотезы осуществляется выбор критической области: левосторонней, правосторонней, двусторонней. Если смысл исследования заключается в доказательстве конкретного изменения наблюдаемого параметра (его уменьшения или увеличения), то говорят об односторонней критической области. Если смысл исследования- выявить различия в изучаемых параметрах, но характер их отклонения от контрольных (или теоретических) не известен, то говорят о двусторонней критической области.
Однако, принятие той или иной гипотезы не дает оснований утверждать, что она верна. Результат проверки статистической гипотезы лишь устанавливают на определенном уровне значимости ее соответствие (несоответствие) результатам эксперимента.
При проверке статистических гипотез возможны следующие ошибки:
2. Отвергнута правильная альтернативная гипотеза H1 и принята неправильная нулевая гипотеза H0 – ошибка второго рода.
Можно доказать, что с уменьшением ошибок первого рода одновременно увеличиваются ошибки второго рода и наоборот. Поэтому, на практике пытаются подбирать значения параметров и опытным путем в целях минимизации суммарного эффекта от возможных ошибок. При принятии управленческих решений для одновременного уменьшения ошибок первого и второго рода самым действенным средством является увеличение объема выборки, что согласуется с законом больших чисел.
На бытовом уровне ошибки второго рода могут иметь более трагические последствия, чем ошибки первого рода.
2. Гипотеза о законе распределения. Критерий согласия Пирсона ( X 2 -критерий).
Критериями согласия называют критерии, в которых гипотеза определяет закон распределения либо полностью, либо с точностью до небольшого числа параметров.
Причины расхождения результатов эксперимента и теоретических характеристик могут быть вызваны малым объемом выборки, неудачным способом группировки наблюдений, ошибками в выборе гипотезы о виде распределения генеральной совокупности и др.
Рассмотрим универсальный критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о том, что эмпирическая частота мало отличается от соответствующей теоретической частоты, осуществляется с помощью величины X 2 – меры расхождения между ними.
Для произвольной выборки, когда распределение непрерывно или число различных вариант велико, все пространство наблюдаемых вариант делят на конечное число непересекающихся областей, в каждой из которых подсчитывают наблюдаемую частоту и теоретическую вероятность.
Для применения критерия согласия Пирсона необходимо:
Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике (12 стр.)
где h– это количество параметров, входящих в модель регрессии.
Если показатель среднеквадратической ошибки окажется меньше показателя среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений β(у), то модель регрессии можно считать качественной.
Показатель среднеквадратического отклонения наблюдаемых значений зависимой переменной от модельных значений рассчитывается по формуле:
5) показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:
Если величина данного показателя составляет менее 6-7%, то качество построенной модели регрессии считается хорошим. Максимально допустимым значением показателя средней ошибки аппроксимации считается 12-15 %.
19. Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки статистической гипотезы
Проверка статистических гипотез – это один из основных методов математической статистики, который используется в эконометрике.
С помощью методов математической статистики можно проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например, математического ожидания или дисперсии), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.
Предположим, что на основании имеющихся данных у исследователя есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений.
Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений.
Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.
Непараметрическими гипотезами называются гипотезы о виде распределения случайной величины.
Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе.
Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Противоречащая гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.
Нулевой, основной или проверяемой гипотезой называется первоначально выдвинутая гипотеза, которая обозначается Н0.
Конкурирующей или альтернативной гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н0 и обозначается Н1.
Например, основная гипотеза Н0 состоит в том, что математическое ожидание μ равно значению μ0. В этом случае конкурирующая гипотеза Н1 может состоять в предположении, что математическое ожидание μ не равно (больше или меньше) значения μ0:
состоит из множества простых гипотез вида:
где m – это люблое число, большее четырёх.
20. Ошибки первого и второго рода. Понятие о статистических критериях. Критическая область, критические точки
Проверка статистической гипотезы означает проверку согласования исходных выборочных данных с выдвинутой основной гипотезой. При этом возможно возникновение двух ситуаций – основная гипотеза может подтвердиться, а может и опровергнуться. Следовательно, при проверке статистических гипотез существует вероятность допустить ошибку, приняв или опровергнув верную гипотезу.
При проверке статистических гипотез можно допустить ошибки первого или второго рода
Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в опровержении верной гипотезы.
Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в принятии ложной гипотезы.
Уровнем значимостиа называется вероятность совершения ошибки первого рода.
Значение уровеня значимости а обычно задаётся близким к нулю (например, 0,05; 0,01;0,02 и т. д.), потому что чем меньше значение уровеня значимости, тем меньше вероятность совершения ошибки первого рода, состоящую в опровержении верной гипотезы Н0.
Вероятность совершения ошибки второго рода, т. е. принятия ложной гипотезы, обозначается β.
При проверке нулевой гипотезы Н0возможно возникновение следующих ситуаций:
Проверка справедливости сттатистическвх гипотез осуществляется с помощью различных статистических критериев.
Статистическим критерием называется случайная величина, которая используется с целью проверки нулевой гипотезы.
Статистические критерии называются соответственно тому закону распределения, которому они подчиняются, т. е. F-критерий подчиняется распределению Фишера-Снедекора, χ2-критерий подчиняется χ2-распределению, Т-критерий подчиняется распределению Стьюдента, U-критерий подчиняется нормальному распределению.
Наблюдаемым значением статистического критерия называется значение критерия, которое рассчитано по выборочной совокупности, подчиняющейся определённому закону распределения.
Множество всех возможных значений выбранного статистического критерия делится на два непересекающихся подмножества. Первое подмножество включает в себя те значения критерия, при которых основная гипотеза отвергается, а второе подмножество – те значения критерия, при которых основная гипотеза принимается.
Критической областью называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза отвергается.
Областью принятия гипотезы или областью допустимых значений называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза принимается.
Если наблюдаемое значение статистического критерия, рассчитанное по данным выборочной совокупности, принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается. Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается.
Критическими точками или квантилями называются точки, разграничивающие критическую область и область принятия гипотезы.
Критические области могут быть как односторонними, так и двусторонними.
21. Правосторонняя критическая область. Левосторонняя и двусторонняя критические области. Мощность критерия
При проверке статистических гипотез используют правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области.
Правосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:
где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки;
lкр, – это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.
Следовательно, для определения правосторонней критической области необходимо рассчитать положительное значение статистического критерия lкр.
Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L>lкр)=a.
Для каждого статистического критерия рассчитаны специальные таблицы, с помощью которых определяют критическую точку, удовлетворяющую заданному уровню значимости.
Левосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:
Проверка статистических гипотез о виде распределений
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений. Предположим, что на основании имеющихся данных есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.
Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе. Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой, рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Альтернативная гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.
Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений. Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.