Метод начальных параметров сопромат теория

Метод начальных параметров

Уравнения метода начальных параметров

Метод начальных параметров, как и метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки служит для определения прогибов и углов поворота.

Основным преимуществом метода начальных параметров является его доступность для определения перемещений в балках с несколькими участками.

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

$EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = M \cdot x + C$

$EI \cdot \varphi () = M \cdot + C = EI \cdot <\varphi _0>$

Таким образом, получена зависимость угла поворота на участке балки от действия изгибающего момента.

Проінтегруємо еще раз полученное уравнение.

Далее выполняем такие же преобразования, как и в предыдущем случае.

После аналогичных преобразований имеем

В общем случае (при любой комбинации нагрузок) уравнения углов поворота и прогибов запишутся так:

В полученные уравнения подставляются только те нагрузки, которые находятся слева от сечения, что рассматривается. Знаки слагаемых, входящих в уравнение, такие же, как и в уравнении изгибающих моментов.

Примеры определения перемещений методом начальных параметров

Консольная балка с силой на конце

В этом случае начальные параметры равны нулю, что очевидно из условий закрепления.

Уравнения углов поворота и прогибов запишутся так:

Шарнирная балка с силой посередине

Запищемо рівніння прогибов на правой опоре.

Прогиб посредине пролета (при x = l/2$)

Источник

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.10.2015 · Обновлено 15.05.2018

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, V O и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10 5 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см 4 ). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Определение перемещений. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

где у₀ и φ₀ – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (М_i, F_i, q_i) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

Задача

Найти прогиб конца консоли.

откуда А = q·2 + F = 10·2 + 20 = 40кН,

Реализуем эти условия с помощью универсальных формул:

при z = 4м

Знак «плюс» результата говорит о том, что прогиб конца консоли происходит в положительном направлении оси у, то есть вверх.

Для получения численного значения прогиба результат следует разделить на изгибную жёсткость балки ЕI, то есть

Источник

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров — это способ решения дифференциальных уравнений, при котором неизвестными параметрами являются значение функции и ее производных в начале координат. Для уравнения упругой линии это будут прогиб и угол поворота в начале координат на левом конце балки. Для балки с несколькими участками, для того чтобы произвольные постоянные интегрирования на всех участках были равны, надо, чтобы слагаемые уравнения изгибающих моментов не менялись при переходе от одного участка к другому. Для этого используют два приема:

Рассмотрим балку длиной /, нагруженную парой сил Л/₀, силой F и распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 7.14). Расстояния от левого конца балки до нагрузок Л/₀, F, q обозначим соответственно a_nr a_F, a_q — до начала распределенной нагрузки, Ь_{( <}— до конца распределенной нагрузки. Начало координат возьмем на левом конце балки. Для сечения, взятого на последнем участке балки, уравнение изгибающего момента имеет вид

Интегрируя это уравнение, получаем уравнение углов поворота сечений:

Уравнения для других участков, согласно определению изгибающего момента, должны включать только слагаемые от нагрузок, находящихся по одну сторону (слева) от рассматриваемого сечения.

Источник

Метод начальных параметров

Продифференцировав два раза уравнение (9.1) при EJ = const и использовав дифференциальные зависимости (7.6) при изгибе, получим

Последнее выражение является дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка

устанавливающим дифференциальную зависимость между прогибом и распределенной поперечной нагрузкой. При отсутствии последней уравнение (9.7) становится однородным:

Проинтегрируем уравнение (9.8). С учетом выражений (9.6) получим

Введем в начальном сечении балки при х = 0 следующие четыре величины:

Эти величины представляют собой значения прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в начальном сечении балки (рис. 9.8), причем и₀ и (р₀ называются кинематическими начальными параметрами, а М₀ и Q₀ — статическими начальными параметрами.

Выразим постоянные интегрирования С_р С₂, С₃ и С₄ в решениях (9.9) через начальные параметры. Положив в этих выражениях х = 0, получим

Подставив постоянные в последнее выражение из (9.9), получим решение однородного дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.8) в форме метода начальных параметров:

Продифференцировав уравнение (9.12), получим выражения для угла поворота и внутренних усилий в балке:

Отметим, что внутренние усилия М и Q не зависят от кинематических начальных параметров l> ₀ и ср₀.

Выражения (9.12) и (9.13) полностью определяют напряженное и деформированное состояния балки в том случае, когда распределенная поперечная нагрузка отсутствует, а функции и(х), ср(х), М(х) и Q(x) являются непрерывными. Рассмотрим случаи, когда эти функции имеют разрывы, и покажем, как учесть их влияние.

Внутренние усилия Q и М имеют скачки (разрывы) в сечениях, где приложены сосредоточенные силы и моменты. У кинематических величин ср и v разрывы отражают наличие промежуточных шарниров и так называемых параллелограммных механизмов.

В промежуточном шарнире изогнутая ось балки может иметь излом, что характеризует взаимный поворот Дф поперечных сечений (рис. 9.9). Следовательно, можно записать: х — а, п_пр = 1>_лев;

5 пр лев 5 *пр г лев

Если в каком-либо сечении балки х — а имеет место разрыв одной из четырех величин и, ф, М и Q, то он может оказать влияние на эти величины в сеченияхх > а. Для учета влияния разрывов можно воспользоваться методом наложения, вытекающим из принципа независимости действия сил. При этом к выражению (9.12) надо добавить член, равный произведению величины разрыва на функцию при соответствующем начальном параметре, вычисляемую для разности х — а.

Рассмотрим, например, действие сосредоточенной силы Р (рис. 9.11). В этом случае в сечении х = а функции и(х), (р(х) и М<х) остаются непрерывными, а поперечная сила Q имеет разрыв (скачок) на величину Р, то есть можно записать:

На первом участке балки прогиб зависит только от начальных параметров и определяется выражением (9.12). На втором участке к этому выражению надо добавить функцию v*(x), отражающую влияние разрыва AQ на прогиб балки за сечением х = а:

Таким образом, прогиб балки на первом и втором участках определяется по формуле

где, как и ранее, вертикальная черта с цифрой внизу соответствует границе участков (см. пример 9.2).

Аналогично можно учесть влияние на прогиб балки и других сосредоточенных факторов — сосредоточенного момента М и скачков угла поворота Д(р и прогиба Av.

Для учета влияния распределенной поперечной нагрузки ее надо представить как бесконечное множество элементарных сосредоточенных сил dP = q(t) dt (рис. 9.12), где t — новая переменная, изменяющаяся в пределахa Ь

Первый член в формуле (9.17) соответствует равномерно распределенной нагрузке, условно продолженной до конца балки. Второй член соответствует компенсирующей нагрузке на участке х > Ь, направленной в противоположную сторону. На рис. 9.13 эти взаимно уравновешенные нагрузки показаны пунктиром.

Аналогичным образом можно учесть влияние поперечной нагрузки, распределенной по линейному закону, распределенной моментной нагрузки и т.п. Функции, добавляемые к выражению для прогиба (9.12) для учета влияния наиболее распространенных статических и кинематических воздействий на балку, приведены в табл. 9.1.

С помощью данных табл. 9.1 запишем уравнение изогнутой оси балки с учетом начальных параметров и наиболее распространенных воздействий (рис. 9.14):

Формула (9.18) является аналитическим выражением для прогиба балки на всех показанных на рис. 9.14 участках, границы которых обозначены вертикальной чертой с номером участка. На первом участке выражение для прогиба ограничено вертикальной чертой с цифрой 1, на втором участке — вертикальной чертой с цифрой 2 и т.д. Если нагрузки имеют другое направление, чем на рис. 9.14, то у соответствующих функций в выражении (9.18) надо поменять знак на противоположный. При наличии нескольких однотипных воздействий (например, нескольких сосредоточенных сил и т.п.) в уравнение изогнутой оси надо ввести такое же количество соответствующих функций.

Продифференцировав уравнение изогнутой оси (9.18), можно записать выражение для углов поворота ср(х).

Получить уравнение изогнутой оси балки в форме метода начальных параметров можно также на основании дифференциального уравнения второго порядка (9.1). Для этого надо записать выражение для изгибающих моментов в произвольном сечении балки с учетом влияния статических начальных параметров М₀ и Q₀ и заданных нагрузок и произвести интегрирование.

Рассмотрим, например, балку, нагруженную распределенной нагрузкой, изменяющейся по линейному закону (рис. 9.15). Изгибающий момент в сечении х равен

где

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (9.1) и выполним интегрирование:

Положив в этих решениях х = О, выразим постоянные интегрирования Cj и С₂ через кинематические начальные параметры v_Q и ф₀:

Подставим С, и С₂ в полученное выше выражение для прогиба в пределах первого участка балки. Тогда получим

Это выражение является частным случаем уравнения (9.18). Учет влияния сосредоточенных воздействий, как и ранее, может быть произведен с помощью метода наложения.

Входящие в выражение (9.18) начальные параметры i>₀, ₀ = 0; М₀ = 0; С?₀ = R_A. Неизвестный начальный параметр ф₀ подлежит определению из граничного условиях = l,v = 0.

3. Свободный конец в начальном сечении (рис. 9.18).

В начале расчета известны два начальных параметра: М₀ = —М Q₀ = 0. Для определения о₀ и ф₀ можно использовать два граничных условия: х = а, о = 0; х = а + I, о = 0.

4. Балка с промежуточным шарниром (рис. 9.19).

В начальном сечении имеем: о₀ = 0; М₀= 0; Q₀ = R_A. Неизвестные величины ф₀ и Дф_д подлежат определению из граничных условий в заделке: х = / + а о = 0, ф = 0.

5. Статически неопределимая балка (рис. 9.20).

Для статически неопределимых балок предварительный статический расчет невозможен, так как число искомых статических величин превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для их определения. Следовательно, в начале расчета таких балок могут быть неизвестны как кинематические, так и статические начальные параметры. Неизвестные величины подлежат определению из кинематических и статических граничных условий. Последние ставятся относительно изгибающих моментов и поперечных сил.

Например, балка на рис. 9.20 статически неопределима, поскольку трех уравнений равновесия недостаточно для определения четырех опорных реакций. В начальном сечении балки имеем: п₀ = 0; ф₀ = 0. Для определения неизвестных начальных параметров M_Q и Q₀ можно использовать следующие граничные условия: х = I; и = 0; М = М (смешанные граничные условия).

Использовав граничные условия, можно получить необходимое число уравнений относительно всех неизвестных величин. После их определения можно с помощью уравнения (9.18) записать окончательные выражения для прогибов и углов поворота в балке, а для статически неопределимых балок — построить также эпюры (9 и М.

Вычислив значения v и ср в характерных сечениях балки, можно построить эпюры этих величин. Для правильного построения и контроля эпюр Q, М, ср и v надо использовать дифференциальные соотношения при изгибе:

Соотношения (9.19), а также характер внешней нагрузки позволяют установить наличие особенностей в эпюрах Q, М, ф и и, а именно скачков, изломов, экстремумов и точек перегиба (см. § 7.4). Рассмотрим примеры использования метода начальных параметров.

Пример 9.3. Для балки с промежуточным шарниром (рис. 9.21, а) запишем с помощью метода начальных параметров выражения для ф и v, вычислим значения этих величин в характерных сечениях и построим эпюры Q, М, ф и и.

Данная балка статически определима. Ее можно представить состоящей из несущей и несомой частей (балок), соответственно ВС и АВ. Определим значение опорной реакции R_A и построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил:

Эпюры Q и М приведены на рис. 9.21, б, в. Начальные параметры равны

Учитывая значения начальных параметров и характер нагрузки, запишем с помощью уравнения (9.18) выражения для прогибов и углов поворота в пределах трех характерных участков балки:

В этих выражениях неизвестными величинами являются начальный параметр ср₀ и взаимный угол поворота Аср₅ в промежуточном шарнире. Для их определения используем граничные условия в заделке С:

Получили систему двух уравнений относительно неизвестных величин ср₀ и Д(р_в:

решив которую находим

Запишем окончательные выражения для v и (р и вычислим значения этих величин в характерных сечениях балки:

Построим эпюры v и ср и отметим их особенности на основании дифференциальных соотношений (9.19).

Эпюра ср в сечении х = 4м (промежуточный шарнир) имеет скачок (разрыв). В сечении под сосредоточенной силой на эпюре ф имеет место точка перегиба (смена знака кривизны), поскольку в этом сечении изменяется знак поперечной силы. В сеченияхх = О и х = 4 м касательные к эпюре ф параллельны оси, поскольку в этих сечениях изгибающий момент равен нулю. В пределах второго участка изменяется знак угла поворота. Определим координату сечения х₀ где угол поворота обращается в нуль:

На эпюре v в сечении В имеют место излом и смена знака кривизны. В сечении С (заделка) касательная к эпюре v совпадает с осью балки, поскольку в этом сечении ф = 0. В сечении х =х₀ прогиб имеет экстремум, значение которого равно

Эпюры v и ф приведены на рис. 9.21, г, д.

Пример 9.4. Для балки на рис. 9.22, а построим эпюры Q и М и вычислим значение прогиба в сечении, где приложен сосредоточенный момент.

Данная балка статически неопределима, поскольку для определения четырех опорных реакций R_a, Н_а, М _а и R_b можно составить только три уравнения равновесия.

В начальном сечении балки имеем: и₀ =0; ср₀ = 0; M_Q = М_А, Q₀ = R_a Запишем с помощью (9.18) выражение для прогиба в пределах двух характерных участков:

Для определения неизвестных статических начальных параметров М₀ и Q₀ используем граничные условия на опоре В:

Решая систему двух уравнений

находим значения статических начальных параметров:

Изгибающий момент M_Q вызывает растяжение верхних волокон балки (его направление показано на рис. 9.22, а пунктиром). Дальнейший статический расчет балки прост и не требует пояснений.

Определим экстремальное значение изгибающего момента на втором участке:

Эпюры Q и М приведены на рис. 9.22, б, в. Прогиб балки в сечении, где приложен сосредоточенный момент, равен

В заключение приведем формулы для прогибов и углов поворота в консольных и шарнирно-опертых балках при простых нагрузках (табл. 9.2).

Источник