Метод областей при решении неравенств с параметрами
Презентация «Метод областей в задачах с параметрами»
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Описание презентации по отдельным слайдам:
«МЕТОД ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ». Выполнила Тамбашева Алена, 10 Б класс, НМОУ «Гимназия № 44» Руководитель: Белокрылова И. В., учитель математики.
ПРИМЕР 1. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству Построим границы (графики функций) Проверим знак одной из областей. Возьмем точку (1;0)
Пример 2. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству: Построим границы Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.
Преобразуем неравенство: ПРИМЕР 3. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству: Построим границы Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.
Алгоритм решения задач с параметром методом областей. Задачу с параметром можно рассматривать как функцию
1. На плоскости хОа строим границу 2. Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства
1. На плоскости хОа строим границу 2. Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства 5. Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет решение равно 3. Так же для второго неравенства 4. Ограничим область решения системы неравенств.
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Номер материала: ДA-017747
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Минобрнауки предлагает дифференцированный подход к аккредитации вузов
Время чтения: 1 минута
Студентов МГУ обязали проходить курс по искусственному интеллекту
Время чтения: 1 минута
В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов
Время чтения: 2 минуты
ЕГЭ в 2022 году может пройти в допандемийном формате
Время чтения: 1 минута
Всероссийская олимпиада школьников начнется 13 сентября
Время чтения: 2 минуты
Избыток свободного времени вредит здоровью
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Урок на тему «Метод областей». 11-й класс
Класс: 11
Презентация к уроку
«Считай несчастным тот день и тот час,
вк оторый ты не усвоил ничего нового и ничего
не прибавил к своему образованию».
Я.А Коменский
Тип урока: урок-обобщения и систематизации знаний учащихся.
Цели урока:
Задачи:
Оборудование:
Методы обучения:
План урока.
План урока рассчитан на 2 учебных часа (90 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие учащихся.Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.Формулируется тема и цели урока. Знакомство с этапами урока.
II. Вступительное слово учителя
Для успешного исследования многих задач повышенной сложности полезно уметь строить не только графики функций, но и множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей. Это весьма полезный прием можно назвать обобщающим методом интервалов.
Метод областей особенно полезен при решении уравнений или неравенств с параметром. Применение метода интервалов в таких случаях затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. В этой ситуации нам может помочь метод областей.
III. Повторение теории
Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости.
Точка х=а разбивает числовую прямую на два множества, задаваемые неравенствами x a
Всякая действительная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением F(x;y)=0 разбивает координатную плоскость на конечное число областей, в каждой из которых для всех точек области выполняется только одно из неравенств: F(x;y)>0 или F(x;y) kx+p или y c
Решением системы неравенств с двумя переменными являются координаты точек пересечения множеств, удовлетворяющих одному из неравенств системы
Уравнение y= k(x-x0) + y0 задает множество прямых, проходящих через точку с координатами (x0,y0).
При изменении значений параметра прямые y= k(x-x0) + y0 «поворачиваются» вокруг данной точки. При увеличении параметра прямая поворачивается «против часовой стрелки», при уменьшении – «по часовой стрелке».
Уравнение y=kx+p при фиксированном значении параметра k = k0 задает семейство прямых, параллельных прямой y=kx+p проходящей через начало координат
Задача
Пусть M – множество точек плоскости с координатами (x; y) таких, что числа x, y, 6-2x являются сторонами некоторого треугольника. Найдите его площадь.
Если три числа являются сторонами некоторого треугольника, то это числа положительные и каждое из них меньше суммы двух других чисел. Поэтому, координаты точек, удовлетворяющих условию задачи, будут задаваться системой линейных неравенств с двумя переменными:
Геометрическое место точек на плоскости
Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью.
Уравнением окружности называется уравнение вида
Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством
Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством
Геометрическое место точек на плоскости
Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение
Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой.
Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена
Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством
, а вторая – 
Метод областей при решении задач с параметрами
1. Свойства функций
2. Графический прием
Параметр – «равноправная» переменная Þ отведем ему координатную ось, т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f(x ;a) >0
Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод:
Обобщенный метод областей («переход» метода интервалов с прямой на плоскость)
Неравенства с одной переменной
Неравенства с двумя переменной
IV. Решение неравенств
Пример №1
Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства
Применим обобщенный метод областей.
1. Построим граничные линии
2. Определяем знаки в полученных областях и получаем решение 1 неравенства
3. Из полученного множества исключим решение 
Пример № 2
При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решений.
1. Рассмотрим 1 неравенство и получаем
2. Рассмотрим 2 неравенство и получаем
3. Заметим, что исходная система неравенств равносильна системе:
4. Изобразим систему неравенств в виде плоской фигуры на координатной плоскости. Для этого введём параметрическую плоскость Oax
5. Мы получили плоскую фигуру, множество точек которой является решением системы.
Таким образом, отвечая на вопрос задачи, решений системы нет при
Пример №3
При каких положительных значениях параметраа система уравнений имеет ровно 4 решения.
1. Запишем систему в следующем виде:
2. Построим график 1 уравнения.
3. Построим график 2 уравнения – семейство окружностей с центром в точке (2; 0) и радиусом а.
Ответ: при 
V. Самостоятельная работа с самопроверкой
На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству
1. ОДЗ: 
2. Строим граничные линии:
3. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение.
Ответ: заштрихованная область на рисунке
На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
Ответ: заштрихованная область на рисунке
VI. Итог урока
(подвожу итог, комментирую работу учащихся, сообщаю оценки за урок.)
VII. Рефлексия.
Ребята. На этом урок окончен. Спасибо за урок!
Литература.
Решение уравнений и неравенств с параметрами методом областей. 11 класс
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Описание презентации по отдельным слайдам:
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ОБЛАСТЕЙ Выполнили: Безматерных Анастасия, Борисова Анастасия Учащиеся 11 «Б» класса Научный руководитель: Головко В. В. Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение «Гимназия №3 г. Горно-Алтайска»
«Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству». Ж. А. Лагранж
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ определяется включением подобных задач в ЕГЭ. ПРОБЛЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ: возможность применения координатного метода при решении задач с параметрами. ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: классы неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих параметры и методы их решения.
«МЕТОД ОБЛАСТЕЙ» один из частных случаев координатного метода. Идея «МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению совокупности более простых задач в каждой из областей, из которых составляется исходная область. Применение «МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ» при решении неравенств с параметрами аналогично применению «МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ» для решения неравенств с одной переменной.
ПРИМЕР 1. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству Построим границы (графики функций) Проверим знак одной из областей. Возьмем точку (1;0)
Таким образом, при решении неравенств «методом областей» необходимо: разложить данное неравенство на множители; найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих координатную плоскость на«частичные области»; определить знак неравенства в каждой из получившихся областей; ответить на заданный вопрос.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Рассмотрен способ решения уравнений и неравенств с параметрами с помощью графической модели. Этот способ позволяет решить уравнения и неравенства с параметрами более рационально, быстро получить ответ на поставленный вопрос.Этот метод помогает в подготовке заданий данного типа к ЕГЭ. Этот метод является менее коротким. Материал может быть использован учителями на уроках подготовке к ЕГЭ и факультативах.
Номер материала: ДБ-685745
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Избыток свободного времени вредит здоровью
Время чтения: 2 минуты
ЕГЭ в 2022 году может пройти в допандемийном формате
Время чтения: 1 минута
В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов
Время чтения: 2 минуты
Всероссийская олимпиада школьников начнется 13 сентября
Время чтения: 2 минуты
Учитель математики из Казани вышел в финал Международной премии для учителей
Время чтения: 1 минута
До конца года построят и отремонтируют более 780 школьных дорог
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Метод областей
2.Неравенства с двумя неизвестными………………………………………4-5
4.Применение метода областей при решении
неравенств с двумя неизвестными ……………………………………….6-8
5.Применение метода областей для нахождения площади фигуры,
6.Применение метода областей при решении задач с параметром ………12-15
Тема работы посвящена одному из разделов алгебры«Неравенствас двумя неизвестными».
1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе алгебры свойств;
2. Приобретение опыта решения задач с использованием метода областей помогает повысить уровень логической культуры;
3. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и ЕГЭ.
Овладение методами решения задач, связанных с применением «метода областей».
1. Систематизировать теоретически материал по следующим проблемам:
-неравенства с двумя неизвестными;
-системы неравенств с двумя неизвестными.
2. Научиться решать задачи на нахождение:
-множества точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют данному неравенству;
-площади фигуры ограниченной неравенством;
Неравенства с двумя неизвестными.
Остановимся на самых простейших неравенствах с двумя неизвестными.
Для того, чтобы убедиться, где находится нужное множество точек, под прямой или над прямой, удобно вычислить значение функции в точке (0,0).
Заметим, что граница (сама линия, при которой неравенство обращается в уравнение) принадлежит решению лишь в случае, когда неравенство нестрогое. Если неравенство строгое, то граница изображается пунктирной линией, т.е. её точки не входят в область решения неравенства.
3. На следующих рисунках приведены примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя неизвестными.
Решением системы неравенств с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому неравенству этой системы.
Для графического изображения решения системы неравенств находят сначала множество Х1точек плоскости, на котором выполняется первое неравенство, потом множество Х2 точек плоскости, где выполняется второе неравенство, и, наконец берут пересечение этих множеств (т.е. их общую часть).
Пример2.. Изобразите графически решение системы неравенств
П ример3. Изобразите графически решение системы неравенств
Решение. Множество решений каждого из неравенств системы есть полуплоскость. Границы первых двух неравенств системы попарно параллельные прямые (их угловые коэффициенты равны), прямые также параллельны. Следовательно, решением данной системы является параллелограмм, изображенный на рисунке.
Применение метода областей
при решении неравенств с двумя неизвестными.
Метод интервалов без существенных изменений переносится с числовой оси на координатную плоскость. При этом роль критических точек на координатной плоскости играют критические линии, а роль промежутков – области. Эти линии делят область определения функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой из которых непрерывная функция сохраняет знак.
Для нахождения этого знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь отдельную «удобную» точку и найти знак функции в выбранной точке, который сохраняется во всей области. При переходе через критические (граничные) линии, знак функции, как правило, не меняется. Случаи, когда знак не меняется, аналогичны случаям критических точек четной кратности.
Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной методом интервалов.
Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами
О твет: закрашенные области на рисунке.
Решение. Нарисуем граничные линии
Прих = 1, у = 0 левая часть неравенства имеет знак плюс, в соответствии, с чем её знаки распределяются по областям так, как на рисунке.
Ответ: закрашенные области на рисунке.
Прих = 0, у = 1 и в соответствующей области дробь имеет знак плюс, который меняется при переходе через граничные линии. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при у = 0, неравенство выполняется.
Ответ: закрашенные области на рисунке.
Ответ: закрашенные области на рисунке.
Решение. Нарисовав график функции
Ответ: закрашенные области на рисунке.
Применение метода областей, при решении задач на нахождение площади фигуры ограниченной неравенством.
Вданном разделе представлены задачи, в которых требуется найти площадь фигуры, ограниченной неравенством.
Пример10. Найти площадь фигуры ограниченную неравенством
Решение. Преобразуем данное неравенство
Площадь, полученной фигуры найдем как удвоенную площадь сегмента. Для этого из площади сектора ОАВ вычтем площадь треугольника ОАВ и удвоим полученный результат.
Найдем площадь треугольника ОАВ:.
Так как у нас два равных сегмента, то площадь искомой фигуры находится по формуле:
П ример15. Найдите площадь фигуры ограниченную системой неравенств
Заметим, что площадь фигуры ограниченную заданной системой неравенств, можно найти как сумму площадей полукруга с радиусом R = 2 и треугольника АВС.
Площадь этой фигуры находим как сумму площадей трех квадратов со стороной равной 1.
Применение метода областей для решения заданий с параметром.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). казалось бы такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора буквх и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Конечно, далеко не все задачи с параметрами можно решить графическим способом. Выделим самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод: в задаче фигурирует лишь один параметр а и одна переменная х, они констатируют некоторые аналитические выражения и т.д., графики уравнений строятся в системе координат (х; а) несложно. Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «читаем» нужную информацию.
П ример17. Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.
Все решения этой системы (пары вида ) образуют область, показанную на рисунке штриховкой.
Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.
Пример18. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня?
График этой совокупности – объединение уголка и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трех точках.
Пример19. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
Р ешение.Данное уравнение решаем аналогично предыдущему. Оно равносильно совокупности следующих двух уравнений:
Построим в прямоугольной системе координат графики функций, входящих в совокупность. График этой совокупности – объединение уголка и параболы.
еслии, то четыре корня.
П ример20. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
Решение. Запишем это уравнение как квадратное относительно а:. Найдем корни и получим следующую совокупность
Пример21. Найти все значения а, при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух.
П ример22. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства.
Решение неравенства на рисунке показано штриховкой.
Решение. Перепишем данное неравенство в виде:. Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:
П ример24. При каких значениях параметра а, уравнение имеет единственное решение?
Для успешного освоения предлагаемого материала от учащихся требуется: умение хорошо знать графики элементарных функций, уметь «работать с модулем», решать стандартные уравнения и неравенства, а так же иметь навыки вычисления выражений при конкретных значениях переменной.
Значимость данной работы:
При решении задач мы пришли к выводу, что:
метод областей, есть не что иное, как перенос метода интервалов с прямой на плоскость, он позволяет увидеть красоту математических выкладок и эстетику графического подхода к решению неравенств с двумя переменными;
наша работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному экзамену.
Севрюков П.Ф. «Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие Изд. 2 доп. М. : Илекса;Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2010. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»)»
Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть 1: учебно-методическое пособие / Под ред. Д.А.Мальцева. – Ростов н/Д:Издатель Мальцев Д.А.; М.:НИИ школьных технологий, 2010.
П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 кл.: учебное пособие / С.А.Гомонов. – 2-е изд., стереотип. –М.: Дрофа, 2006.(Элективные курсы).