Метод переменных параметров упругости биргера

Расчет нелинейно-упругой балки методом переменных параметров упругости

Метод переменных параметров упругости (МППУ) предложен И.А. Биргером [61, 62] для решения задач теории пластичности и ползучести. Для применения этого метода необходимо иметь дифференциальное уравнение решаемой задачи и соответствующие граничные условия.

Алгоритм применения этого метода рассмотрим на примере задачи изгиба балки из нелинейно-упругого материала. При использовании теории малых упругопластических деформаций дифференциальное уравнение изгиба балки из нелинейно-деформируемого материала (4.2) имеет вид:

В соответствии с методом переменных параметров упругости расставляем в (4.72) номера последовательных итераций следующем образом:

Решению этого уравнения на рис. 4.3 соответствует точка пересечения касательной в начале координат к нелинейной зависимости q-W с горизонтальной прямой q_pac4 = const. Это решение считаем начальным приближением решаемой задачи. Для получения решения нелинейной задачи строится следующий итерационный процесс.

Зная величину прогиба W_x, можно скорректировать жесткость

Затем уравнение (4.73) решается при п-2

и определяется уточненный прогиб балки W₂. Уравнение (4.75) представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, которое решается численными методами.

На рис. 4.3 значению W₂ соответствует точка на пересечении скорректированной секущей, проходящей через начало координат, с горизонтальной линией q-const. Полагая далее п равным трем, четырем и так далее, получим все более точные приближения решаемой задачи. На каждой итерации переменная жесткость (нам) известна из предыдущего решения. Жирными точками на пунктирной линии q=const (рис. 4.3) показан процесс последовательного уточнения решения. Итерационный процесс заканчивается при достижении точности вычислений

Данные, приведенные в табл. 4.3, показывают, что итерационный процесс метода переменных параметров упругости Биргера сходится устойчиво и быстро. Отметим, что для достижения относительной точности результатов порядка е = 10‘ 5 необходимо выполнить четыре итерации, результаты третьей итерации метода Биргера точнее данных третьей итерации метода упругих решений, что свидетельствует о более быстрой сходимости метода Биргера по сравнению с методом упругих решений. Сопоставление результатов, полученных методом Биргера, с результатами метода конечных разностей показало достаточно высокую точность предлагаемой методики расчета нелинейно-упругих балок. Напомним, что данная методика выделения главной части решения основана на построении функции распределения прогиба методом начальных параметров для линейно-упругой балки.

Уравнение (4.70) линейное, но с переменными коэффициентами общего вида, и для его решения необходимо применять численные или вариационные методы. Как показано в работе [64] итерационный процесс метода переменных параметров упругости Биргера сходится к решению с линейной скоростью.

Для выделения главной части решения поступим так же, как и в методе упругих решений, а именно: на каждой итерации будем решать уравнение (4.70) методом Бубнова-Галеркина в первом приближении.

Рассмотрим балку (рис. 4.1). За аппроксимирующую функцию принимаем прогиб упругой балки, полученный методом начальных параметров. В этом случае функция Х(х) в выражении W_n(x) = K_n Х(х), построенная методом начальных параметров, имеет вид (4.27).

Применяя к уравнению метода переменных параметров упругости (4.72) вариационное уравнение метода Бубнова-Галеркина в первом приближении, получим:

После интегрирования получим линейное алгебраическое уравнение относительно амплитуды прогиба К_п.

Заменяя прогиб выражением W_n__<п__х Х(х), после интегрирования получим

где коэффициенты а, /3 и Q не зависят от номера итерации и определяются по формулам

Эти формулы в точности совпадают с формулами (4.72), полученными при решении задачи сочетанием метода упругих решений с методом Бубнова- Галеркина. Однако, сравнивая формулы (4.70) и (4.79), видим, что структура этих рекуррентных формул различна.

Таким образом, сочетание двух методов: итерационного метода переменных параметров упругости и вариационного метода Бубнова- Галеркина позволяет в результате получить рекуррентную формулу (4.79), с помощью которой осуществляется процесс последовательного уточнения приближенного решения нелинейной задачи и выделения главной части решения. Необходимо отметить, что при уточнении решения конфигурация прогиба балки остается постоянной. Нелинейность проявляется в зависимости «нагрузка-амплитуда прогиба» и, следовательно, в других параметрах напряженно-деформированного состояния.

Применение алгоритма выделения главной части решения сводится к выполнению следующей последовательности действий. Рассчитываем упругую балку с заданными условиями опирания и заданной нагрузкой. Решение задачи для упругой балки строим методом начальных параметров и определяем аппроксимирующую функцию Х(х). Прогиб нелинейноупругой балки ищем в виде КХ(х). Подставляя аппроксимирующую функцию в выражения (4.80), после интегрирования (рекомендуется определенные интегралы вычислять численным методом) определяем коэффициенты a, (3,Q и по рекуррентной формуле (4.79) подсчитываем амплитуду прогиба балки К с требуемой точностью. После этого по известным из курса «Сопротивление материалов» формулам определяем напряженно- деформированное состояние опасных сечений балки.

Такой достаточно простой алгоритм решения является следствием аппроксимации диаграммы деформирования кубической параболой. Если диаграмму деформирования необходимо аппроксимировать другим аналитическим выражением, то по изложенному алгоритму также можно получить аналитический вид коэффициентов (4.80).

Источник

Метод переменных параметров упругости в теории упрочнения

Рассмотрим применение разработанного И. А. Биргером [8, 10) метода переменных параметров упругости для решения задач не- установившейся ползучести по теории упрочнения. При этом в отличии от предыдущего примем, что приращения полных деформаций dejj складываются из приращений упругих деформаций defy, приращений мгновенных пластических деформаций defy и приращений деформаций ползучести def,-:

В общем случае наличия температурных деформаций и с учетом влияния температуры на модули упругости приращения упругих деформаций могут быть представлены в форме

где для изотропного тела

—тензор упругих постоянных; Е—модуль упругости; р— коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения. Поскольку влияние изменения коэффициента Пуассона на распределение напряжений незначительно, он предполагается постоянным, не зависящим от температуры.

Приращения пластической деформации по теории пластического течения с изотропным упрочнением могут быть представлены в виде (81

где о, — интенсивность напряжений; s,y — компоненты девиа- тора напряжений.

Функции пластического деформирования F_a и F$ определяются соотношениями [9]

при простом растяжении; р= —, — коэффициент

температурной податливости, который определяется в результате испытаний при постоянном напряжении. В работе [10] указан приближенный способ определения коэффициента Р на основе кривых растяжения при различных температурах. По этому способу

Приращения деформаций ползучести по теории упрочнения на основании соотношений (3.22) и (3.27)

где | с ц — тензор скоростей деформаций ползучести;

ef* — | dz c _< — параметр Удквиста.

Подставив выражения (5.60)—(5.62) в соотношение (5.59), получим гдё

Уравнение (5.63) может рассматриваться как уравнение для упругого анизотропного тела с заданными деформациями, которые связаны с приращениями скалярных величин д и t и не зависят от приращения напряжений.

Проинтегрировав уравнение (5.63) по времени этапа нагружения от tk_i до tk и использовав теорему о среднем, найдем

где (Cliki) — среднее значение переменных параметров упругости в начале и конце нагружения;

Расчет проводится методом последовательных приближений. В первом приближении принимается = (С?/н)_т_i- Далее

проводится расчет и по напряженному и деформированному состояниям в конце этапа определяется величина С1;ы? Если принятая для расчета и полученная из выражения (5.64) величины оказываются близкими, расчет заканчивается, в противном случае повторяется. На каждом этапе проверяется условие возникновения пластических деформаций

где е?* = J de? — параметр Удквиста.

Решение упругой задачи приходится проводить в предположении, что параметры упругости переменны (неоднородное тело). Однако в ряде случаев, особенно при использовании кинематических гипотез (гипотезы плоских сечений, прямолинейных нормалей), решение таких задач может быть выполнено.

Источник

Метод переменных параметров упругости биргера

Уравнения пластичности, связывающие деформации и напряжения, при нелинейны. Если в пределах упругих деформаций увеличение напряжений в к раз вызывает такое же увеличение деформаций, то при появлении лластических деформаций пропорциональность нарушается. Нелинейность уравнений Генки — Ильюшина отчетливо проявляется в их записи в форме (79). Нелинейность физических уравнений теории пластичности создает большие трудности при решении практических задач (нарушается принцип независимости действия отдельных нагрузок и т. п.).

Метод переменных параметров упругости сводит решение задач деформационной теории пластичности к решению последовательности обычных задач упругости, что существенно облегчает расчеты.

Уравнения пластичности Генки — Ильюшина (зависимости (40)) спачала запишем формально в виде уравнений упругости. Например, соотношение

с учетом зависимости (33) будет таким:

Продолжая преобразования, представим уравнения пластичности в виде

Здесь переменные параметры упругости и равны

где E — модуль упругости, — коэффициент Пуассона (в упругой области), — параметр пластичности.

Параметры Е и называются переменными параметрами упругости, так как они зависят от напряженного состояния в точке (параметра пластичности ). В упругой области .

Для несжимаемого тела (коэффициент Пуассона )

Принимая в качестве обобщенной кривой деформирования кривую деформирования при растяжении, получим для параметра пластичности из соотношений (75) и (77) следующее выражение;

где — секущий модуль.

Теперь из соотношений (82), (83) и (86) вытекают основные формулы метода переменных параметров упругости:

Уравнения деформационной теории пластичности можно представить как уравнения теории упругости, если модуль упругости в них заменить секущим модулем (рис. 5.13). Менее существенной является поправка значения коэффициента Пуассона по формуле (88).

Замечание. Влияние коэффициента Пуассона на распределение напряжений обычно невелико, и часто проводят расчеты при т. е. для несжимаемого материала.

Использование простых равенств (87) и (88) не требует каких-либо предположений относительно величины коэффициента Пуассона.

Соотношения (87) и (88) можно получить более простым путем, если представить уравнения (79) в виде зависимости

что соответствует одной из форм закона Гука (см. уравнение (23)). Будем иметь

Используя эквивалентные значения находим

В силу соотношения (80) приходим к равенствам (87), (88).

Запись уравнений пластичности в форме уравнений упругости еще не продвигает дело, так как значения секущего модуля и коэффициента Пуассона заранее неизвестны. Решение задачи находят методом последовательных приближений.

Рис. 5.13. Схема расчета по методу переменных параметров упругости

В первом приближении (см. рис. 5.13) материал считается упругим и решается обычная задача упругости. В результате определяются интенсивность напряжений упругом теле и соответствующее значение эквивалентной деформации

По величине определяются по кривой деформирования величина и секущий модуль

Во втором приближении полагают

и снова решают задачу упругости при полученных значениях параметров упругости.

В результате получают значения и новое значение секущего модуля

Процесс считается законченным, если для приближения

где — принятая точность сходимости приближений, — принятая точность расчета.

В плоскости эквивалентных напряжений и деформаций (см. рис. 5.13) точки «упругого расчета» стремятся к кривой деформирования. Не останавливаясь на доказательстве сходимости процесса, отметим, что обычно необходимая точность достигается после нескольких приближений. Условия (91) гарантируют сходимость и точность решения.

На рис. 5.14 дана иллюстрация метода переменных параметров для простейшей задачи — определить деформацию при растяжении с заданным напряжением . Решение задачи соответствует пересечению линии с кривой деформирования. Последовательные приближения показаны точками

Рис. 5.14. Определение деформации растяжения при заданном напряжении по методу переменных параметров упругости

Замечание. Метод последовательных приближений является одним из наиболее общих математических методов. Для решения задачи разрабатывается процедура (алгоритм), при которой в каждом последующем шаге учитываются результаты предыдущего шага (предыдущего приближения). Метод является строгим, если доказаны сходимость последовательных приближений к точному решению и независимость результата от выбора исходного приближения.

В технических задачах доказательство сходимости, как правило, несущественно — ее наличие или отсутствие видно уже после первых шагов. Важно иметь возможность проверки правильности полученного результата.

Источник

7 4 Метод переменных параметров упругости

7.4. Метод переменных параметров упругости

Запишем формально уравнения пластичности (7.10) в виде уравнений упругости. Подставив в первую из формул (7.10)  согласно (7.7) получим

Продолжая преобразования, представим уравнения пластичности в виде закона Гука

Параметры и называются переменными параметрами упругости. Они зависят от параметра пластичности  и, тем самым, от напряженного состояния в рассматриваемой точке тела. Следовательно, физические зависимости (7.17) – нелинейные.

Из зависимостей (7.18) и (7.19) вытекают основные формулы для определения переменных параметров упругости

Т аким образом, метод переменных параметров упругости позволяет свести решение задачи деформационной теории пластичности при активном нагружении к решению задачи теории упругости, если модуль упругости заменить секущим модулем. Менее существенной является поправка коэффициента Пуасcона (7.21).

Рис. 7.3

Поскольку значения секущего модуля и коэффициента заранее неизвестны, то задача решается методом последовательных приближений. В первом приближении (рис. 7.3) материал считается упругим и решается обычная задача упругости. В результате определяют интенсивность напряжений в упругом теле и соответствующее значение эквивалентной деформации

По величине определяется по кривой деформирования величина и секущий модуль

Во втором приближении полагают

где – принятая точность сходимости приближений, – принятая точность расчета.

В плоскости эквивалентных напряжений и деформаций (7.16) точки упругого расчета стремятся к кривой деформирования. Метод является строгим, если доказана сходимость последовательных приближений к точному решению. В технических задачах доказательство сходимости, как правило, несущественно – ее наличие или отсутствие видно уже на первых итерациях. Важно иметь возможность проверки правильности результата, например, экспериментальную.

Лежащие в основной модели пластичности уравнения (7.10) хорошо описывают процесс простого нагружения. При простом нагружении соотношение между внешними нагрузками остается неизменным. Компоненты напряжения возрастают пропорционально одному параметру; направления главных осей не могут существенно изменяться. Если нагружение существенно отличается от простого, следует обратиться к теории пластического течения.

7.5. Теория пластического течения

Полные приращения составляющих деформаций складываются из приращений составляющих упругой деформации и пластической деформации

Приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука

где – символ Кронекера.

Девиатор напряжения и девиатор приращения пластической деформации пропорциональны, т.е.

где – малый скалярный множитель. Это положение обобщает результаты опытов по сложному нагружению.

Согласно экспериментам приращения составляющих пластической деформации пропорциональны напряжениям в данный момент времени. Другими словами, напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации. Так как из (7.26) вытекают соотношения

Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, находим:

где Т – интенсивность касательных напряжений.

Возьмем теперь в качестве дополнительного соотношения условие изотропного упрочнения

В областях упругой деформации тела справедлив закон Гука; поля напряжений и деформаций описываются системой уравнений теории упругости. В областях пластической деформации имеют место уравнения деформационной теории пластичности или теории пластического течения.

Решение задач теории пластичности сводится к решению последовательности линейных задач теории упругости (метод упругих решений). Один из вариантов метода упругих решений – метод переменных параметров упругости рассмотрен в п. 7.4. Метод дополнительных нагрузок применяется в случае решения задачи в перемещениях. Уравнения равновесия (2.21) приобретают в правой части дополнительные объемные и поверхности силы, связанные с развитием пластических деформаций. В случае решения задачи в напряжениях уравнения сплошности (2.23) будут содержать дополнительные слагаемые, которые можно интерпретировать как дополнительные деформации и определять их последовательными приближениями – метод дополнительных деформаций.

В теории пластического течения, при решении частных задач, обычно применяют различные приемы численного интегрирования, прослеживая шаг за шагом развитие пластического состояния при последовательных малых приращениях нагрузки. На каждом шаге необходимо решить соответствующую задачу для упругого анизотропного тела с переменными параметрами упругости, осложненную возможными областями разгрузки. Являясь более совершенной, эта модель пластичности значительно сложнее.

7.6. Задача пластического деформирования тонкостенной трубы

В качестве примера, иллюстрирующего свойства приведенных выше уравнений пластичности, рассмотрим симметричную деформацию круглой тонкостенной трубы при действии крутящего момента М и растягивающей силы Р (рис. 7.4, (а))

q = 0,224 ( q = 0,333) q = 0,909 ( q = 0,707)

s = 0,975 ( s = 0,943) s = 0,417 ( s = 0,707)

Источник