Методика решения задач с параметром
Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач
Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.
Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.
В HeadHunter объяснили рост популярности колледжей среди россиян
Более половины российских девятиклассников (60%) выбирают колледжи для продолжения обучения. Об этом говорилось на пресс-конференции в МИА «Россия сегодня», участники которой обсудили итоги первого этапа приемной кампании в учреждения среднего профессионального образования. По данным Минпросвещения, на одно бюджетное место в колледже в среднем приходилось 2,5 заявления абитуриента. Приемная кампания продлится до 1 декабря 2021 года.
В Минцифры заявили, что число бюджетных мест на IT-направлении к 2024 году увеличат вдвое
Российские вузы к 2024 году увеличат набор абитуриентов по IT-специальностям на бюджетные места до 120 тыс., сообщил министр цифрового развития, связи и массовых коммуникаций РФ Максут Шадаев на встрече с представителями IT-сообщества в Ульяновске. Это вдвое больше, чем сейчас.
Первая часть ЕГЭ-2022 по математике
5 вариантов в новом формате ЕГЭ-2022 по материалам открытого банка ФИПИ.
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18
И знать здесь действительно нужно много.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!
Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»
Разделы: Математика
Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.
Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.
Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:
Методы решений задач с параметрами.
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).
Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения 
.
Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций 
и y = a.
График функции 
показан на рис.1.
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a 25/4 – два решения.
3. Метод решения относительно параметра.
При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.
1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.
Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.
Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение 
не имеет корней?
Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:
содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.
Преобразуем обе части неравенства.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия: 
Рис.4
При a > 6 множество решений неравенства: 
.
Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).
Это 
Задача № 3. В области определения функции 
взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
1) Графиком дробно-линейной функции 
является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь 
монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства 
. При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Все о задачах с параметрами! Способы, лайфхаки, видео от Анны Малковой
Давайте вспомним, какие методы решения задач с параметрами вы знаете.
Видео на тему «Параметры».
Больше задач с параметрами – на мастер-классах в субботу и воскресенье. Также в воскресенье состоится важнейший мастер-класс по русскому.
Все мы знаем, что задачи 18 и 19 в варианте Профильного ЕГЭ по математике – это высший пилотаж.
Каждая оценивается в 4 первичных балла (8-9 тестовых). Сегодня поговорим о параметрах.
Задачи с параметрами
Все о задачах с параметрами – здесь.
Да, такой подборки статей вы больше нигде не найдете.
Элементарные функции и графики. Преобразования графиков. Без этого задачи с параметрами не решаются.
И еще: Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями. Уравнения окружности, полуокружности, круга, ромбика, полуплоскости, отрезка и других фигур. И многое другое.
Давайте вспомним, какие методы решения задач с параметрами вы знаете.
2. Условия касания – например, чтобы найти, при каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение. Для функции y=f(x) и прямой y=kx+b условие касания в точке x0 будет таким:
3. Для квадратных уравнений и неравенств с параметрами – свои способы решения. Например, знаете ли вы, что формулу корней квадратного уравнения в задаче №18 мы используем редко. Намного чаще пользуемся теоремой Виета.
4. Если в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов – используем метод оценки.
5. Геометрический метод. Факты, теоремы, свойства геометрических фигур отлично применяются в задачах с параметрами.
6. Параметр как переменная. Решение графически в координатах (х; а)
7. Метод областей – двумерный аналог метода интервалов.
8. Использование четности функций и симметрии уравнений.
9. Использование свойств функций – непрерывности, монотонности, нечетности, периодичности.
Помню, что на Мастер-классе в воскресенье я называла 10 способов решения задач с параметрами. Но какой же был десятый? Напишите нам на почту online@ege-study.ru
И смотрите на моем канале видео на тему «Параметры».
— Задача с параметром. Использование свойств функций https://youtu.be/wx6rUi6o0LY
— Интересный параметр из сборника Ященко: https://youtu.be/4YqdY-YUvQ0
Больше задач с параметрами – на мастер-классах в субботу и воскресенье, входящих в наш Онлайн-курс. В субботу покажу участникам курса на 100 баллов новые и замысловатые задачи. А занятие в воскресенье посвящено использованию четности функций и использованию симметрии уравнений. Заодно выучите красивое слово «инвариантность».
Также в воскресенье состоится важнейший мастер-класс по русскому
Будем заниматься смысловой и композиционной целостностью текста. Поговорим о типах речи. Разберемся (наконец! А то их все путают!), чем тире отличается от дефиса, а также в тонкостях постановки двоеточия и тире в простом предложении. В программе мастер-класса по русскому – задания 16-22.
Школы закрылись на непредвиденные каникулы. Однако никто не мешает учиться онлайн! Пока у нас есть возможность – мы ведем трансляции из нашей студии. И одновременно отрабатываем систему онлайн-занятий с мини-группами, а в следующем году добавим этот формат к нашему онлайн-курсу.
Готовьтесь с профессионалами!
Курс «11 класс, 100 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс «11 класс, 80 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 54 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 3 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс для преподавателей
— Вся теория профильного ЕГЭ, все задачи.
— 4 онлайн занятия в месяц (70 ч.).
— Мастер-классы по методике преподавания раз в месяц (18 ч.).
Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор
 Лектор, методолог, автор учебных материалов и пособий |
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.