Методом максимального правдоподобия найти оценку неизвестного параметра
Метод максимального правдоподобия с примерами
Вы будете перенаправлены на Автор24
Методы нахождения оценок
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
К примеру, по методу постановки оценка математического ожидания – это выборочное среднее, а оценка дисперсии – это выборочная дисперсия.
Все полученные по методу подстановки оценки являются состоятельными, но не гарантирована их эффективность и несмещенность. Пример смещенной оценки – выборочная дисперсия.
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Как и при методе подстановок, все оценки, найденные по методу моментов, характеризуются как состоятельные, но не гарантируется их эффективность и несмещенность.
Точечные оценки, найденные при помощи метода моментов, носят название ММ-оценки.
Метод наибольшего правдоподобия рассмотрим в следующем пункте.
Сущность метода максимального правдоподобия
Под методом максимального правдоподобия в математической статистике понимается метод оценки неизвестного параметра посредством максимизации функции правдоподобия. Основой данного метода является предположение о том, что все данные о статистической выборке содержатся в функции правдоподобия. Описываемый метод был проанализирован Р. Фишером в начале 20-го века, который в дальнейшем его рекомендовал и популяризировал.
Оценка наибольшего правдоподобия – это достаточно популярный статистический метод, используемый с целью построения статистической модели на основе информации и обеспечения оценки всех параметров модели.
Метод наибольшего правдоподобия соответствует многим популярным методам статистической оценки. К примеру, вы рассматриваете такой антропометрический параметр, как рост жителей данной страны. Допустим, что вы располагаете данными о росте определенного количества людей, но не всего населения. Помимо этого, допускается, что рост – это нормально распределенная величина со средним значением и неизвестной дисперсией. Дисперсия роста и среднее значение в выборке будут являться максимально правдоподобными к дисперсии и среднему значению всего населения.
Используя фиксированный набор данных и базовой модели вероятностей в расчетах с помощью метода правдоподобия, будут получены такие значения параметров, которые будут делать данные «наиболее приближенные» к реальным. Метод максимального правдоподобия является уникальным и простым способом определения решения при нормальном распределении.
Метод наибольшего правдоподобия используются во многих статистических моделях:
Метод наибольшего правдоподобия заключается в том, что оценкой вектора неизвестных параметров
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
который доставляет максимум функции правдоподобия:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Точечные оценки, получаемые при методе наибольшего правдоподобия, носят название МП-оценки.
Пример использования метода максимального правдоподобия
Пусть необходимо найти при помощи метода максимально правдоподобия оценку заданного параметра p биноминального распределения
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо составить функцию правдоподобия:
Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Затем следует отыскать логарифмическую функцию:
Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На следующем этапе определяется первая производная p:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найденную производную необходимо приравнять к нулю, тем самым записав уравнение правдоподобия.
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После относительного решения полученного уравнения находим значение критической точки:
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данной точке вторая производная будет отрицательной, а, следовательно, данная точка является максимумом. Таким образом найденная точка принимается в качестве оценки по методу максимального правдоподобия неизвестной вероятности p биноминального распределения.
Методом максимального правдоподобия найти оценку неизвестного параметра
еУМЙ ЦЕ ЙНЕЕФ БВУПМАФОП ОЕРТЕТЩЧОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ, ФП ЕУФШ РТЙЧЩЮОБС РМПФОПУФШ ПФОПУЙФЕМШОП НЕТЩ мЕВЕЗБ :
жХОЛГЙС (УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ РТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООПН )
ОБЪЩЧБЕФУС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЕК РТБЧДПРПДПВЙС.
рПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС НПОПФПООБ, ФП ФПЮЛЙ НБЛУЙНХНБ Й УПЧРБДБАФ. рПЬФПНХ ПГЕОЛПК НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС (пнр) НПЦОП ОБЪЩЧБФШ ФПЮЛХ НБЛУЙНХНБ (РП ) ЖХОЛГЙЙ :
оБРПНОЙН, ЮФП ФПЮЛЙ ЬЛУФТЕНХНБ ЖХОЛГЙЙ ЬФП МЙВП ФПЮЛЙ, Ч ЛПФПТЩИ РТПЙЪЧПДОБС ПВТБЭБЕФУС Ч ОХМШ, МЙВП ФПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ/РТПЙЪЧПДОПК, МЙВП ЛТБКОЙЕ ФПЮЛЙ ПВМБУФЙ ПРТЕДЕМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ.
1) хВЕДЙФШУС, ЮФП ФПЮЛБ НБЛУЙНХНБ, Б ОЕ НЙОЙНХНБ.
2) хВЕДЙФШУС, ЮФП УПЧРБДБЕФ У ПДОПК ЙЪ ПГЕОПЛ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ. РП ЛБЛПНХ НПНЕОФХ?
чЩРЙЫЕН РМПФОПУФШ, ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС Й МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС. рМПФОПУФШ:
МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ЖХОЛГЙС РТБЧДПРПДПВЙС:
ч ФПЮЛЕ ЬЛУФТЕНХНБ (РП ) ЗМБДЛПК ЖХОЛГЙЙ ПВТБЭБАФУС Ч ОХМШ ПВЕ ЮБУФОЩЕ РТПЙЪЧПДОЩЕ:
пГЕОЛБ НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС ДМС ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК
тЕЫБС, РПМХЮЙН ИПТПЫП ЪОБЛПНЩЕ ПГЕОЛЙ:
2) хВЕДЙФШУС, ЮФП ЬФЙ ПГЕОЛЙ УПЧРБДБАФ У ОЕЛПФПТЩНЙ ПГЕОЛБНЙ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ.
чЩРЙЫЕН РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС Й ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС. рМПФОПУФШ:
мАВБС ФПЮЛБ НПЦЕФ УМХЦЙФШ ПГЕОЛПК НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС. рПМХЮБЕН ВПМЕЕ ЮЕН УЮЕФОПЕ ЮЙУМП ПГЕОПЛ ЧЙДБ
1) хВЕДЙФШУС, ЮФП ПФТЕЪПЛ ОЕ РХУФ.