Минимальное число независимых параметров необходимых для определения положения всех точек системы

07.07.202217.07.2022 admin 0 Comments

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАнна Талалыкина

Презентация на тему: » Лекция 2 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ. Внешняя нагрузка может вызвать значительные перемещения элементов сооружения, в результате чего оно может перестать.» — Транскрипт:

1 Лекция 2 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ

2 Внешняя нагрузка может вызвать значительные перемещения элементов сооружения, в результате чего оно может перестать служить своему предназначению. Поэтому ставится требование: «перемещения сооружения должны быть малыми». Решением этой задачи на начальном этапе проектирования занимается специальный раздел строительной механики – кинематический анализ. Кинематический анализ – это анализ геометрической структуры сооружения с целью исключения больших перемещений. При кинематическом анализе внешняя нагрузка не рассматривается, а элементы системы считаются достаточно жесткими. Кинематический анализ рассматривает три типа расчетных схем: 1) неизменяемые, 2) изменяемые, 3) мгновенно изменяемые системы.

3 Геометрически неизменяемая система (ГНС) – это система, перемещения которой возможны только при деформации его элементов. Простейшая ГНС шарнирный треугольник (рис а). Геометрически изменяемая система (ГИС) – это система, элементы которой могут получать перемещения даже без их деформаций. Например, ГИС является шарнирный четырехугольник (рис. б). Мгновенно изменяемая система (МИС) – система, способная получать лишь мгновенные перемещения (рис. в).

4 1. Степень свободы. Кинематические связи Количественная оценка кинематических свойств системы основана на понятии степени свободы как направления возможного независимого перемещения. Число степеней свободы (W) – это минимальное число независимых параметров, необходимых для определения положения всех точек системы. Такими параметрами могут быть перемещения отдельных точек, углы поворота элементов и др. Число степеней свободы простых систем можно определять путем задания ее элементам возможных перемещений (рис. а, б, в):

5 Для изучения более сложных случаев введем понятия: диск (Д) – неизменяемая часть системы, состоящая из одного или нескольких жестко связанных элементов (рис. а); шарнир (Ш) – связь, дающая возможность взаимного поворота соседним дискам (рис. б); припайка (П) – связь, жестко закрепляющая соседние диски (рис. в); стержень (С) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении (рис. г); опорная связь (С 0 ) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении по отношению к земле (рис. д).

6 Определим число степеней свободы точки (рис. а) и диска с различными кинематическими связями (рис. б-д): Следовательно, стержень или опорная связь уменьшают число степеней свободы на единицу, шарниры – на два, припайки – на три. Кинематические связи должны обеспечивать неподвижность системы относительно земли (основания), а также неизменяемость ее внутренней структуры. Если при удалении одной связи из неизменяемой системы она становится изменяемой, то эта связь называется необходимой. Если после этого система остается неизменяемой, то связь называется избыточной. Связь, соединяющая систему с землей, называется внешней, а находящаяся внутри – внутренней связью.

7 Шарнир, объединяющий два диска называется простым шарниром (рис. а). Если шарнир объединяет несколько дисков, то он называется кратным шарниром. Кратный шарнир эквивалентен нескольким простым шарнирам. Кратность шарнира определяется по формуле n Ш =n Д –1. Здесь n Д – число дисков, объединяемых шарниром.

8 Рассматривая расчетную схему сооружения как систему дисков объединенных связями, получаем ее дисковый аналог. 2. Число степеней свободы стержневой системы

9 Число степеней свободы плоской стержневой системы определяется по основной формулой кинематического анализа: W = 3n Д – 2n Ш – n C – – 3n П, где n Д – число дисков в дисковом аналоге n Ш – число простых шарниров n С – число стержней – число опорных связей; n П – число припаек. Например, для арки имеем: W=3 2 – 2 1 – 0 – 4 –3 0 =0. При расчете ферм можно использовать формулу W = 2n У – n C –, где n У – число узлов фермы (узлом считается любой шарнир, связывающий стержни фермы). Для фермы имеем: W = 2 4 – 5 – 3 = 0.

0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W» title=»После расчета по этим формулам возможны три случая: 1) W>0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W» > 10 После расчета по этим формулам возможны три случая: 1) W>0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W 0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W»> 0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W»> 0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W» title=»После расчета по этим формулам возможны три случая: 1) W>0 – такая система ГИС, т.е. геометрически изменяема; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если эти связи введены правильно, система неизменяема и статически определима; 3) W»>

11 3. Способы образования неизменяемых систем Выполнение условия W 0 необходимо, но не достаточно. Например, у систем на рис. а, б W=0, но первая из них ГИС, а другая ГНС. Причиной изменяемости системы а) является неправильная установка связей. Чтобы она стала неизменяемой, одну связь нужно переставить (рис. б). То же самое имеет место и для систем на рис. б и г.

12 Из этих примеров следует, что для полной уверенности в неизменяемости системы нужна дополнительная проверка – проверка геометрической структуры. Ее суть заключается в проверке способов объединения элементов между собой и с землей. Для такой проверки необходимо: – выделить в системе неизменяемые фигуры – диски; – последовательно объединять эти диски между собой, используя способы образования неизменяемых систем.

13 Простейшие способы образования неизменяемых систем: 1. Новый узел к диску добавляется способом диады (рис. а). 2. Два диска объединяются: – одним шарниром и одной связью (рис. б); – способом триады (рис. в). 3. Три диска объединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. г). Шарниры могут быть условными (рис. д).

14 4. Понятие о мгновенно изменяемых системах Мгновенная изменяемость часто возникает при неправильной установке связей (рис. а, г, д, е). Обнаружить мгновенную изменяемость очень важно уже на этапе кинематического анализа, так как позволяет вносить коррективы в расчетную схему сооружения.

15 Для этого можно использовать метод нулевой нагрузки. Суть этого метода: – удалить все силы, действующие на систему; – вычислить внутренние усилия. Если они все (включая и опорные реакции) будут равны нулю, то система неизменяема. Если же хотя бы одно усилие будет неопределенным (типа 0/0), то данная система является мгновенно изменяемой. Общие выводы Расчетная схема сооружения должна быть геометрически неизменяемой. С целью проверки геометрической неизменяемости проводится кинематический анализ, состоящий из двух этапов: 1) количественный анализ – проводится по основной формуле кинематического анализа; должно выполняться условие W 0; 2) качественный анализ – проводится с использованием принципов образования геометрически неизменяемых систем.

16 В о п р о с ы 1. Какие системы называются геометрически не изменяемыми, изменяемыми и мгновенно изменяемыми? 2. Что такое число степеней свободы? 3. Как пишется основная формула кинематического анализа? 4. Как классифицируются системы по степени свободы? 5. В чем заключается необходимое условие геометрической неизменяемости системы? 6. Как проверяется геометрическая структура системы? 7. Какие способы образования неизменяемых систем знаете? 8. Каков порядок кинематического анализа? 9. Что такое метод нулевой нагрузки?

Источник

Степень свободы. Кинематические связи

Количественная оценка кинематических свойств системы основана на определении ее степеней свободы как направлений возможных независимых перемещений. Число степеней свободы (W) – это минимальное число независимых параметров, необходимых для определения положения всех точек системы. Такими параметрами могут быть перемещения отдельных точек, углы поворота элементов и др.

Число степеней свободы простых систем можно определять путем задания ее элементам возможных перемещений (рис. 2.2 а, б, в).

Для изучения более сложных случаев введем следующие понятия:

диск (Д) – неизменяемая часть системы, состоящая из одного или нескольких жестко связанных элементов (рис. 2.3 а);

шарнир (Ш) – связь, дающая возможность взаимного поворота соседним дискам (рис. 2.3 б);

припайка (П) – связь, жестко закрепляющая соседние диски (рис. 2.3 в);

стержень (С) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении (рис. 2.3 г);

опорная связь (С₀) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении по отношению к земле (рис. 2.3 д).

Определим число степеней свободы точки (рис. 2.4 а) и диска с различными кинематическими связями (рис. 2.4 б-д):

Как видим, стержень или опорная связь уменьшают число степеней свободы на единицу, шарниры – на два, припайки – на три.

Кинематические связи должны обеспечивать неподвижность системы относительно земли (основания), а также неизменяемость ее внутренней структуры. Если при удалении одной связи из неизменяемой системы она становится изменяемой, то эта связь называется необходимой. Если после этого система остается неизменяемой, то связь называется избыточной. Связь, соединяющая систему с землей, называется внешней, а находящаяся внутри – внутренней связью.

Шарнир, объединяющий два диска, называется простым шарниром (рис. 2.5 а). Если шарнир объединяет несколько дисков, то он называется кратным шарниром. Кратный шарнир эквивалентен нескольким простым шарнирам. Кратность шарнира определяется по формуле n_Ш=n_Д –1, где n_Д – число дисков, объединяемых шарниром.

Источник

Степень свободы. Кинематические связи

Для изучения более сложных случаев введем следующие понятия:

шарнир (Ш) – связь, дающая возможность взаимного поворота соседним дискам (рис. 2.3 б);

припайка (П) – связь, жестко закрепляющая соседние диски (рис. 2.3 в);

стержень (С) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении (рис. 2.3 г);

Определим число степеней свободы точки (рис. 2.4 а) и диска с различными кинематическими связями (рис. 2.4 б-д):

Источник

Степени свободы

Сте́пени свобо́ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы. Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений, полностью описывающих динамику системы.

Содержание

Состояние физической системы

Подавляющее большинство физических систем может находиться не в одном, а во многих состояниях, описываемых как непрерывными (например, координаты тела), так и дискретными (например, квантовые числа электрона в атоме) переменными. Независимые «направления», переменные, характеризующие состояния системы, называются степенями свободы.

При этом важно отметить, что число степеней свободы равно минимальному количеству таких переменных, необходимому для полного описания состояния системы. Например, положение математического маятника можно характеризовать как углом его поворота вокруг оси, так и двумя координатами положения материальной точки относительно оси. Однако у такого маятника всего лишь одна степень свободы, а не две (как может показаться во втором случае), поскольку одного только угла поворота достаточно для описания положения этой системы в любой момент времени.

Примеры

Обобщённые координаты

Понятие степени свободы связано с таким понятием, как размерность. В математике размерность — это количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или, другими словами, для определения его положения в неком абстрактном пространстве.

При математическом описании состояния физической системы N степеням свободы отвечают N независимых переменных, называемых обобщёнными координатами.

В случае непрерывных степеней свободы соответствующие обобщённые координаты принимают непрерывный ряд значений. Однако можно рассматривать и дискретные степени свободы.

Примеры

См. также

Смотреть что такое «Степени свободы» в других словарях:

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — (1) в механике независимые возможные виды движения твёрдого тела, количество которых определяется числом наложенных механических связей () для данной системы. Наложение связей приводит к уменьшению числа степеней свободы системы. Напр. свободная… … Большая политехническая энциклопедия

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — независимые возможные изменения состояния (в частности, положения) физ. системы, обусловленные вариациями её параметров. В механике С. с. соответствуют независимым перемещениям механич. системы, число к рых определяется числом образующих систему… … Физическая энциклопедия

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — 1) в механике независимые между собой возможные перемещения механической системы. Число степеней свободы зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Так, свободное… … Большой Энциклопедический словарь

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — (degrees of freedom) Число независимых переменных в каком либо множестве. Например, если N переменных xi (i=1, 2. N) должны иметь среднее, равное m, тогда существует только N–1 степеней свободы, поскольку, если N–1 переменных выбраны… … Экономический словарь

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — англ. freedom, degree of; нем. Freiheitsgrade. В статист, вычислениях максимальное число значений переменной (или переменных), к рые могут свободно изменяться при данном наборе условий. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

Степени свободы — [degrees of freedom] 1. В анализе систем линейных уравнений разность между числом независимых уравнений и числом неизвестных. Если число С. с. равно нулю, то система имеет единственное решение. 2. В математической статистике числа, показывающие… … Экономико-математический словарь

степени свободы — 1) в механике независимые между собой возможные перемещения механической системы. Число степеней свободы зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Так, свободное… … Энциклопедический словарь

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ (DF) — Математическое понятие, используемое для выражения того факта, что в статистических операциях имеются пределы значений, которые каждый свободен выбрать, накладывающие определенные ограничения на ситуацию. Предел определяется числом имеющихся… … Толковый словарь по психологии

степени свободы — термодинамические степени свободы; степени свободы Независимые термодинамические параметры фаз системы, находящейся в равновесии, изменение которых в определенных пределах не вызывает исчезновения одних и образования других фаз … Политехнический терминологический толковый словарь

степени свободы — laisvės laipsniai statusas T sritis augalininkystė apibrėžtis Laisvai varijuojančių pasirinktos visumos duomenų, kurie charakterizuojami jų aritmetiniu vidurkiu, skaičius (df). atitikmenys: angl. degree of freedom rus. степени свободы … Žemės ūkio augalų selekcijos ir sėklininkystės terminų žodynas

Источник

Лекция 4. Идеальные жесткие связи. При соприкосновении тел возникают силы взаимодействия, которые можно описать

Идеальные жесткие связи. При соприкосновении тел возникают силы взаимодействия, которые можно описать, пользуясь кинематическим понятием абсолютно жестких идеальных связей. Такие связи вынуждают точки механической системы двигаться по определенным поверхностям. Если, например, две материальные точки скреплены жесткой нерастяжимой связью, вынуждающей их находиться на неизменном взаимном расстоянии, то любая из них движется по сфере, в центре которой находится другая точка.

Ограничения, налагаемые, связями, в общем случае вынуждают тела двигаться криволинейно. Такое движение всегда ускоренное. Ускорение можно формально приписать силам, которые называются реакциями жестких связей. Эти силы заранее не заданы как функции положения точек. Интегрируя уравнения типа(1.1) при дополнительных ограничениях, налагаемых связями определяют силы реакции. В следующем параграфе будет рассмотрен способ, позволяющий обойтись вообще без определения сил реакций при решении уравнений движения.

Движение по твердой поверхности приводит не только к возникновению сил реакции, но и сил трения. Их значение в прикладной механике исключительно велико. Но при трении движение сообщается не только самому телу как целому, а и составляющим его молекулам. Взаимодействие между трущимися поверхностями очень сложное и только в результате усреднения по отдельным молекулам получает вид некоторой силы взаимодействия.

В этом разделе мы будем рассматривать элементарные законы, относящиеся к отдельным материальным точкам (частицам), а не к большим совокупностям молекул. Поэтому силы трения будут вообще оставлены в стороне. Они изучаются подробно в курсах технической механики.

Степени свободы механической системы. Чтобы осуществить желаемый переход от прямоугольных координат к другим, более удобным для решения некоторых механических задач, сформулируем сначала необходимые общие определения.

Степенью свободы механической системы называется всякий независимый параметр из числа тех, которые задают положение системы в пространстве. Число таких независимых параметров называется числом степеней свободы системы.

Положение одной материальной точки в пространстве задается с помощью трех независимых параметров (ее координат), измеренных относительно некоторой системы отсчета. Положение N материальных точек, не скрепленных жесткими связями, определяется ЗN независимыми параметрами.

Положение твердого тела в пространстве полностью определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такие три точки, как только что было показано, задаются шестью параметрами. Следовательно, произвольное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При этом рассматриваются только такие движения твердого тела, при которых оно не деформируется, например вращение волчка.

Обобщенные координаты. Как было видно из примера точек, скрепленных связями, не всегда удобно задавать положение системы в декартовых координатах. При этом требуется выписывать дополнительные условия, обусловленные связями. Выбор параметров, необходимых для фиксирования положения всех точек механической системы, должен определяться прежде всего целесообразностью. Так, если силы зависят только от расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстояния в уравнения динамики в явном виде, а не через посредство декартовых координат.

Механическую систему можно описать с помощью таких параметров, число которых равно числу степеней свободы. Эти параметры могут иногда совпадать с декартовыми координатами тех или иных точек. Например, в системе из двух точек, скрепленных жесткой связью, параметры можно выбрать так: задать положение одной из точек в декартовых координатах, после чего другая точка непременно будет находиться на шаре, имеющем центром первую точку. Положение второй точки на шаре будет известно, если дана ее долгота и широта. Вместе с тремя декартовыми координатами первой точки долгота и широта второй точки полностью определяют положение данной системы в пространстве.

Для трех жестко скрепленных точек надо задать только что описанным способом положение одной стороны треугольника и угол поворота третьей вершины вокруг этой стороны.

Независимые параметры, определяющие положение механической системы в пространстве, называются ее обобщенными координатами. Мы будем обозначать их символами q_a, где нижний индекс а принимает столько значений, сколько степеней свободы у данной системы.

— жесткая связь, система жесткой связи

Длина отрезка из двух точек, связанных жесткой связью:

Количество координат, необходимых для описания положения системы в пространстве, называется степенью свободы.

— функционал.

2.Уравнения Лагранжа

(1.1)

было записано в декартовой системе координат. Но любая система координат есть результат свободного выбора. Описывая в ней некоторый закон природы, мы тем самым вносим в наше описание определенный элемент произвола. Кроме выбора координатной системы, имеется еще свобода в отношении системы отсчета. Скорости материальных частиц относительно разных систем отсчета различны. Между тем желательно так формулировать законы природы, чтобы в них по возможности не входили величины, по определению относящиеся к наблюдателю (например, координаты), иначе говоря, исключить элемент произвола в описании.

Для этого надо перейти от дифференциального закона (1.1) к интегральному. Значение интеграла не зависит от переменных, в которых он вычислен (например, площадь некоторой фигуры одинакова при вычислении в любых координатах: прямоугольных, полярных и т.д.)

Поэтому можно надеяться так сформулировать законы механического движения, чтобы они сводились к высказываниям об интегральных выражениях, описывающих некоторый участок движения.

Это оказывается осуществимым при следующих условиях:

1. Связи идеально жесткие, т. е. сил трения нет.

2. Силы взаимодействия между материальными точками могут быть представлены в виде

, (2.1)

Гдеиндекс i относится к частице, а производная по векторной величине r_i сама представляет собой вектор с составляющими

, , .

Величина U одна и та же для всей механической системы. О ее значении будет сказано ниже.

Принцип Гамильтона. Условие (2.1) не столь ограничительно, как может показаться. Под него подпадают силы тяжести, электростатические силы, упругие силы, т. е. как раз такие, к которым применяется механика Ньютона. В дальнейшем, будем выражать силы в форме (2.1). Для простоты последующих формул будем считать, что имеется только одна жесткая связь. Это ограничение не имеет существенного значения, так как переход к случаю нескольких связей производится непосредственно. Запишем условие связи в виде уравнения:

Рассмотрим теперь некоторое изменение координат материальных точек системы δr_i, которое будем считать бесконечно малым. Это изменение обязано не движению точек, а может рассматриваться как чисто умозрительная операция. Оно, однако, не должно нарушать условия (2.2), т. е. мыслится совместимым с наложенной на систему связью. Например, если точки вынуждены двигаться по поверхности, то изменения δr_i, берутся вдоль поверхности, а в остальном совершенно произвольны. Но если точки в результате смещений остались на поверхности, определяемой уравнением (2.2), то смещения удовлетворяют очевидному условию:

(2.3)

Здесь было использовано то обстоятельство, что величины δr_i,бесконечно малые, так что функция F разлагалась в ряд Тейлора до первых производных включительно.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.1) при дополнительном условии (2.2). Это условие означает, что не все переменные r_i независимы. Чтобы сделать число независимых переменных системы равным числу уравнений, умножим каждое уравнение на соответствующую величину δr* и сложим их.

Силу F_i разобьем на два слагаемых:

Первое слагаемое обусловлено взаимодействием между материальными точками, второе описывает силы, возникающие вследствие действия связей.

Теперь надо воспользоваться тем условием, что связи идеальные. Начнем с простейшего случая гладкой неизменяемой поверхности, по которой движется материальная точка. Тогда сила реакции должна быть перпендикулярна поверхности, т. е. скалярное произведение векторов F’_i и δr_i равно, нулю. Ведь это произведение означает не что иное, как работу перемещения точки по поверхности, т. е. работу сил трения, которые мы заранее исключили, считая связь идеальной.

И в случае двух или вообще нескольких точек каждое слагае F’_i δr_i в отдельности может и не обращаться в нуль, потому что точки могут совершать работу друг над другом.

Например, если две точки скреплены жесткой нерастяжимой связью и одна из них как-либо ускорена, она потянет за собой другую, т. е. совершит над ней работу. Следовательно, в системе из нескольких материальпых точек, скрепленных жесткими связями, на силы реакций связей накладывается условие:

причем перемещения подчинены равенству (2.3).

Но тогда из уравнений (1.1) и (2.4) следует, что должно выполняться такое равенство:

(2.5)

Для всех перемещений точек, совместимых со связями, т. е. удовлетворяющих равенству(2.3). Из этого уравнения можно исключить какое-либо изперемещений δr_i и подставить его в (2.5), после чего все остальные перемещения, очевидно, становятся независимыми.

Более удобно использовать метод неопределенных множителей, так как он позволяетсохранить симметрию формул относительно всех δr_i. Умножим равенство (2.3) на некоторый множитель α и прибавим его к (2.5):

(2.6)

Поскольку α произвольно, мы ввели в уравнение лишний параметр и благодаря этому можем считать все перемещения совершении независящими одно oт другого. Следовательно, возможно положить равными нулю все

δr_к (k ≠ i), кроме одного δr_i. Тогда остается

Вектор δr_i теперь считается совершенно произвольным, благодаряпараметру α на δr_i больше не накладывается никаких связующихусловий. Но тогда возможно положить равными нулю любые, две составляющие вектора r_i, например у_i, и z_iа не равную нулю составляющую δx_i сократить. Для этой составляющей получим:

Тем же способом получим аналогичное уравнение для любой составляющей. В векторной форме уравнение выглядит так:

(2.8)

причем значок i нумерует все материальные точки механической системы. Вместе с уравнением (2.2) уравнения (2.8) позволяют определить все r_i (как функции времени) и параметр α. Заметим, что произведения суть не что иное, как силы реакций связей, согласно (2.3).

Перейдем теперь к формулировке интегрального принципа. С этой целью преобразуем по частям первое слагаемое равенства(2.5):

(ограничимся пока одним членом). Заметим, что δr_i означает разность двух радиус-векторов, взятых в один и тот же момент времени. Производная от разности равна разности производных, так что

Пользуясь тем, что знак δ относится к бесконечно малой разности, перепишем получившееся равенство так:

Будем суммировать получившееся выражение по материальным точкам, т. е. по i. Сумма

Собирая отдельные члены равенства (2.5), преобразованные описанным способом, и вынося символ δ за знак суммы, получим:

(2.9)

Допустим теперь, что система перемещается, следуя законам механики, из некоторого заданного начального положения, которое она занимала в момент времени t = t₀, в другое, тоже заданное положение в момент t₁. Для этих положений, так как они заданы, надо положить все δr_i равными нулю:

Проинтегрируем выражение, стоящее в левой части (2.9), от момента времени t₀ до момента t₁. Полная производная по времени сведется при этом к разности значений дифференцируемой величины на пределах:

—

Но на пределах δr_i, как было указано, обращаются в нуль. Кроме того, символ δ, означающий разность значений функции для одного и того же момента времени, может быть переставлен с интегралом по времени по той же причине, по которой δ переставляется с производной по времени. Обозначая теперь сам интеграл буквой S, приходим к следующему равенству:

Вариация имеет совсем иной смысл, чем дифференциал. Последний относится к изменению величины вдоль траектории движения системы, тогда как вариация отвечает переходу с траектории на другую, близкую к ней и допустимую наложенными на систему условиями связи. Дифференциал определяется из уравнений движения, а вариация подчинена только связям и в остальном произвольна.

Равенство (2.12) показывает, что интеграл S, взятый вдоль истинной траектории системы, имеет экстремум, так как он не изменяется при переходе к любой близкой траектории. Подобно этому, функция вблизи экстремума не меняет значения при изменении аргумента.

Вместо уравнения (1.1) можно исходить из равенства (2.12) как основного положения механики. Такой подход может показаться искусственным. На самом деле, как мы вскоре увидим, в этом лежит путь к очень широким обобщениям. Кроме того, уравнения движения, которые выводятся из условия (2.12) как исходного принципа механики, могут оказаться гораздо удобнее в приложениях, чем исходная система уравнений (1.1). Величина S называется действием механической системы, а утверждение об экстремальности S вдоль истинной траектории — принципом Гамильтона. В некоторых случаях этот принцип допускает более простую формулировку и тогда называется принципом наименьшего действия.