Моделирование радиосигналов со случайными параметрами

Моделирование радиосигналов со случайными параметрами

Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и различных комбинаций сигналов и помех являются, вообще говоря, случайные функции времени (случайные процессы), которые можно представить в следующем достаточно общем виде:

, (1.1)

где — непрерывное или дискретное время; — функции со случайными параметрами; — случайные процессы (шумы) с заданными свойствами; — символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени.

Реализации (выборочные функции) случайного процесса являются детерминированными функциями

,

где — реализации соответствующих случайных величин и случайных процессов; — номер реализации.

Функции со случайными параметрами являются разновидностью случайных процессов, отличающихся способом их задания. В дальнейшем будем их называть параметрически заданными случайными процессами в отличие от случайных процессов заданных другими способами, например с помощью многомерных распределений, и называемых просто случайными процессами. Параметрически заданные случайные процессы, у которых случайные параметры статистически независимы между собой, будем называть непосредственно заданными случайными процессами.

Параметры могут быть как непрерывными, так и дискретными случайными величинами; предполагается, что статистические характеристики их известны, т. е. известны плотности распределения вероятностей , в дальнейшем называемые также функциями плотности.

Преобразование включает в себя операции, осуществляемые при различных видах модуляции, операции, описывающие взаимодействие сигналов и помех, например суммирование в случае аддитивной смеси, и т. д.

Практически любое колебание, наблюдаемое в некоторой точке радиотракта, может быть представлено в форме (1.1).

Целью моделирования радиосигналов и радиопомех является воспроизведение на ЦВМ случайных процессов вида (1.1), математически описывающих радиосигналы и радиопомехи.

Воспроизведение на ЦВМ случайных процессов с дискретным временем означает получение значений этих процессов, относящихся к соответствующим дискретным моментам времени.

Воспроизведение на ЦВМ процессов с непрерывным временем, строго говоря, невозможно ввиду дискретной природы цифровой машины. Однако процесс с непрерывным временем можно с любой наперед заданной точностью заменить соответствующим процессом с дискретным временем (рис. 1.1), где — определенный, разумно выбранный, шаг дискретизации процесса; — целочисленный аргумент. В результате случайному процессу будет поставлена в соответствие случайная последовательность , а его непрерывным реализациям — дискретные реализации

Случайную последовательность , порождаемую случайным процессом с непрерывным временем или же непосредственно изображающую случайный процесс и с дискретным временем, будем называть дискретной (цифровой) моделью сигналов, помех или их комбинаций.

Задачу моделирования сигналов и помех сформулируем как задачу отыскания алгоритмов, позволяющих формировать на ЦВМ их дискретные реализации.

Следует более подробно пояснить смысл этой задачи. Как уже отмечалось, сигналы и помехи являются случайными процессами, следовательно, задача их цифрового моделирования сводится к нахождению способов формирования на ЦВМ дискретных реализаций соответствующих случайных процессов. В современных электронных цифровых вычислительных машинах источником случайности являются датчики случайных чисел, позволяющие вырабатывать реализации независимых случайных чисел с одинаковым, обычно равномерным или нормальным, распределением. Последовательное обращение к такому датчику можно рассматривать как процесс формирования реализации стационарной последовательности независимых случайных чисел или, другими словами, реализации дискретного белого шума. Система независимых одинаково распределенных случайных величин и дискретный белый шум — это те две (а по существу, одна) довольно элементарные модели случайных процессов, реализации которых можно в настоящее время формировать на ЦВМ непосредственно. Для формирования на ЦВМ дискретных реализаций более сложных случайных процессов, входящих в математические модели радиосигналов и радиопомех, требуется разработка специальных алгоритмов, которые выражают дискретные реализации моделируемых процессов в виде некоторого доступного для осуществления на ЦВМ преобразования реализаций независимых случайных величин.

Таким образом, задача моделирования случайных сигналов и помех состоит в переходе от обычной формы задания случайных процессов (например, с помощью многомерных распределений) к такой форме задания, при которой дискретные реализации случайных процессов выражаются в явном (по возможности наиболее простом) виде через реализации независимых случайных величин (реализации дискретного белого шума). По-другому задачу моделирования случайных процессов, изображающих сигналы и помехи, можно сформулировать как задачу нахождения для этих процессов эквивалентных непосредственно заданных случайных процессов. Именно в этом смысле понимается в дальнейшем задача моделирования случайных процессов.

Ниже рассматриваются возможные способы решения этой задачи.

Источник

Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем

Оглавление (содержание)

1. Математическое моделирование радиосигналов и помех

1.1. Моделирование непрерывных детерминированных сигналов

1.2. Моделирование радиосигналов со случайными параметрами

1.2.1. Методы генерации случайных величин с равномерным на интервале [0,1] законом распределения

1.2.2. Методы генерации случайных величин с произвольным законом распределения

1.2.3. Методы генерации случайных векторов

1.3. Моделирование случайный процессов

1.3.1. Моделирование гауссовских случайных процессов с заданными корреляционными свойствами

1.3.2. Моделирование марковских случайных процессов

1.3.3. Моделирование стационарных негауссовских процессов

2. Моделирование процессов преобразования сигналов и помех линейными и нелинейными звеньями

2.1. Моделирование линейных звеньев

2.1.1. Метод инвариантности импульсной характеристики

2.1.2. Метод билинейного преобразования

2.1.3. Метод замены дифференциалов

2.1.4. Расчет КИХ фильтров

2.2. Моделирование нелинейных систем

2.2.1. Моделирование безынерционных нелинейных звеньев

2.2.2. Моделирование замкнутых инерционных нелинейных звеньев

2.2.3. Системы, заданные нелинейными дифференциальными уравнениями

3. Обработка результатов математического моделирования

3.1. Оценка закона распределения вероятностей

3.2. Проверка соответствия выбранной модели распределения данным эксперимента

3.2.1. Критерий Пирсона

3.2.2. Критерий Колмогорова

3.2.3. Критерий Крамера–Мизеса

3.3. Оценка моментов распределения

3.4. Оценка корреляционной функции случайного процесса

3.5. Оценка спектральной плотности мощности случайных процессов

3.5.1. Метод коррелограмм

3.5.2. Метод периодограмм

4. Примеры математических моделей радиотехнических систем и устройств

4.1. Математическая модель следящего моноимпульсного амплитудного суммарно разностного пеленгатора

4.2. Математическая модель системы автоматической регулировки усиления

4.3. Математическая модель контура самонаведения управляемого снаряда на цель

Источник

Моделируем алгоритм MUSIC для задач определения направления прихода электромагнитной волны

Предисловие

Начну своё вступление издалека. Давным-давно, в далеких 2016-2017 годах вашему покорному слуге удалось съездить на полугодовое обучение в далекий город Ильменау (Германия), где он успешно (в общем и целом) закончил магистерскую программу Communications and Signal processing. Программа оказалась не из простых, однако сейчас о ней вспоминать даже приятно. Иногда.

Так вот, по окончании этого обучения, кроме диплома, у меня на руках осталось довольно много различных материалов, не поделиться которыми мне показалось неправильным.

Один из таких материалов перед вами.

Какие цели я преследовал, пока готовил семинар:

Что рассмотрим:

> Пример по диаграммообразованию и методу MVDR можно найти по ссылке (если по дополнительному материалу будут вопросы или предложения, то обсуждение можно продолжить на Github.Gist).

UPD 21.11.2020: вынес краткое описание метода MVDR в Приложение 1. Пример диаграммообразования можно посмотреть по другой ссылке.

Как я уже сказал выше, использовать мы будем Python, а именно:

Почему не MATLAB, один из самых популярных и удобных кандидатов для моделирования с использованием линейной алгебры, спросите вы? Потому что, мне хочется показать, что подобную работу можно сделать и на Python, а сфера применения Python куда шире, чем у MATLAB. Поэтому быть знакомым с синтаксисом Python — дело, на мой взгляд, полезное.

Формулы подготовлены через https://upmath.me/. Спасибо создателям за прекрасный инструмент!

Постановка задачи

Допустим, имеется линейная антенная решетка, состоящая из некоторого количества элементов, разнесенных друг от друга на расстояние (шаг антенной решетки), где — длина несущей электромагнитной (ЭМ) волны.

На данную антенную решетку с разных направлений падают электромагнитные волны.

Как видно из рисунка, антенная решетка рассматривается, как адаптивный фильтр.

Собственно говоря, нахождение оптимального вектора коэффициентов () и есть основная задача адаптивных антенных решеток с математической точки зрения.

Изначально мы не знаем, с каких именно направлений приходят сигналы и сколько их. Именно для разрешения данного противоречия мы и будем применять алгоритм MUSIC — алгоритм оценки пространственных частот с высоким разрешением.

Моделирование принятого сигнала

Модель принятого сигнала мы можем представить через формулу:

где — матрица сканирующих векторов (steering vectors) антенной решетки (, , — количество элементов антенной решетки, — количество источников ЭМ волн, — угол направление прихода ЭМ волны), — матрица передаваемых символов, а — матрица аддитивных шумов.

Рис. 2. Ненаправленная линейная антенная решетка (ULAA — uniform linear anntenna array) [1, с. 32].

Переосмыслим данную формулу в «бытовом» ключе: на нашу решетку мы получаем некоторую «кашу» из различных сигналов, которую мы обозначаем через . Мы не получаем в явном виде информацию о количестве источников и направлениях, однако, информация об этом всё же содержится в принятом сигнале.

Для этого обычно переходят к манипуляциям не с самими матрицами комплексных амплитуд сигналов, а с их ковариациями (т.е., по сути, с мощностями):

Условия

Введем важное условие к рассмотрению: ограничение углового распознавания по Рэлею (Rayleigh angle resolution limit):

где — это длина линейной решетки.

Переопределим угол прихода электромагнитной волны через понятие пространственной частоты:

где — есть стандартная ширина главного лепестка ДН (standard beamwidth).

Чтобы проверить насколько наш метод эффективен и при каких условиях, введем некоторые заданные значения для углового разделения:

— разделение в одну ширину луча;

— разделение в одну вторую ширины луча;

— разделение в три десятых ширины луча.

Определим входные параметры:

Немного теории о самом методе

Прежде всего отметим, что прародителем метода MUSIC является метод Писаренко (1973). Рассматриваемая задача метода Писаренко заключалась в оценке частот суммы комплексных экспонент в белом шуме. В. Ф. Писаренко продемонстрировал, что частоты можно найти из собственных векторов, соответствующих минимальному собственному значению автокорреляционной матрицы. Впоследствии этот метод стал особым случаем метода MUSIC. [2, c. 459]

Шмидт со своими коллегами предложил алгоритм классификации множественных сигналов (MUSIC) в 1979 году [4]. Основным подходом этого алгоритма является разложение матрицы ковариации принятого сигнала на собственные значения. Поскольку этот алгоритм учитывает некоррелированный шум, порожденная ковариационная матрица имеет диагональный вид. Здесь подпространства сигнала и шума вычисляются с использованием линейной алгебры, и являются ортогональными друг другу. Поэтому алгоритм использует свойство ортогональности для выделения сигнальных и шумовых подпространств [5].

Обобщенный алгоритм MUSIC можно определить следующим образом:

где — вектор экспонент для частоты ω, лежащей в некотором заданном диапазоне, а — i-ый собственный вектор (eigen vector) ковариационной матрицы (1), соответствующие шумовому подпространству матрицы (1) — отсюда и индексация с ( — ранг матрицы (1)).

Как нетрудно догадаться из названия статьи, MUSIC также является классическим методом оценки направления приема с высоким разрешением. Алгоритм вычисления псевдоспектров в данном контексте приведем ниже:

находим ковариационную матрицу принятого сигнала;

находим нулевое подпространство :

где

Связь между спектральным анализом и анализом углов прихода (DoA — direction of arriaval) ЭМ волн описана в таблице 1.

Таблица 1 Связь между приложениями MUSIC: Обработка массива сигналов и Гармонический поиск [6].

В общем и целом, процесс приема через массивы (решетки) можно сравнить с процессом классической дискретизации, т.к. в сущности каждый сенсор, принимая волну с определенной задержкой фазы (т.е. с определенной временной задержкой), выполняет функции дискретизирующего дельта импульса. Количеству реализаций (экспериментов) классического спектрального анализа будет соответствовать количество временных отрезков (snapshots). Каждому источнику будет соответствовать свой волновой фронт, что эквивалентно количеству уникальных синусоид сигнала в случае спектрального анализа.

А теперь вернемся к моменту вычисления собственных векторов. Мы уже упомянули выше, что вектора , где ортогональны шумовому подпространству ковариационной матрицы, т.е.:

Собственно говоря, мы видим систему уравнений, решая которую мы можем найти корни — собственные вектора. Такой метод в отличие от числовых алгоритмов (к которым, как мы отметили выше, относится и EVD) позволяет получить настоящие, а не приближенные собственные значения. Именно поэтому данный подход позволяет получить не псевдоспектр, а спектр. Эта же идея легла в основу алгоритма Root MUSIC.

Моделирование

Фуф! Наконец-то все формулы описаны и сколько-то объяснены. Можем приступать к моделированию.

Как мы можем заметить, MUSIC обладает большей разрешающей способностью и позволяет добиться, в целом, лучших результатов, чем, например, позволяет MVDR — такой же представитель параметрических методов спектрального анализа.

Однако нужно учитывать, что при использовании MUSIC мы задействуем более дорогие в вычислительном плане алгоритмы, такие как EVD или SVD, что является некоторой ценой за большую точность.

Список использованной литературы:

Приложение 1: MVDR

Метод MVDR (Minimum Variance Distortionless Response) был разработан Джеком Кэпоном в 1969 году:

Capon, Jack. «High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis.» Proceedings of the IEEE 57, no. 8 (1969): 1408-1418.

в качестве адаптации метода максимального правдоподобия для целей анализа двумерных распределений мощностных спектров. Собственно, у Монсона Хейса MVDR и рассматривается как один из методов спектрального анализа:

Hayes M. H. Statistical digital signal processing and modeling. – John Wiley & Sons, 2009. — 419 — 422

Однако, MVDR нашел в том числе свое применение и в рамках тематики распознавания углов прихода электромагнитных волн:

Haykin, Simon, and KJ Ray Liu. Handbook on array processing and sensor networks. Vol. 63. John Wiley & Sons, 2010. — pp. 102-104

Предлагаю кратко пройтись по основным теоретическим составляющим данного метода.

Во-первых, еще раз отметим, что мы рассматриваем адаптивные антенные решетки, адаптивность которых заключается в подборе оптимальных коэффициентов КИХ фильтра (рис. 1). Распишем выход такого фильтра:

где — это вектор весовых коэффициентов фильтра, а — это вектор входных отсчетов (в общем случае такой вектор формируется задержками, а в случае антенных решеток каждое значение вектора приходит с одного из элементов антенны).

Мощность соответственно рассчитывается по формуле:

Чтобы фильтр не вносил изменения в мощностные характеристики, нужно ввести следущее ограничение:

где — это порядок фильтра, — это i-ая частота.

Далее, исходя из двух представленных выше формул составляется оптимизационная задача, подробно разобранная здесь:

Haykin, Simon S. Adaptive filter theory. Pearson Education India, 2008. — pp. 422-427

где — это множитель Лагранжа, а N — общее число отсчетов.

Дальше по классике: вычисляется вектор градиента, котторый приравнивается к нулю. В итоге, получаем следующий вид вектора оптимальных весовых коэффициентов:

где — это вектор сканирования (вектор экспонент), рассматривавшийся в том числе выше в статье.

Далее просто подставляем полученное в формулу выходной мощности и получаем значение спектра MVDR:

Источник