Найдите наименьшее значение параметра a при котором достигается наименьшее значение выражения
Задача 11786 Найдите наименьшее значение выражения.
Условие
Найдите наименьшее значение выражения
sqrt(106+log^2_(a)cosax+log(a)cos^(10)ax) + sqrt(58+log^2_(a)sinax-log(a)sin^6ax) + sqrt(5+log^2_(a)tgax+log(a)tg^2ax)
и все пары (a, x), при которых оно достигается.
Решение
Замена переменной
log_(a)cosax=v;
log_(a)sinax=u;
log_(a)tgax=log_(a)sinax-log_(a)cosax=u-v.
Преобразуем каждое подкоренное выражение
106+log^2_(a)cosax+log_(a)cos^(10)ax=
=106+log^2_(a)cosax+10log_(a)cos^(10)ax=
=v^2+10v+106=(v+5)^2+9^2
58+log^2_(a)sinax–log_(a)sin^(6)ax=
=58+log^2_(a)sinax–6log_(a)sinax=
=u^2-6u+58=(u-3)^2+7^2
5+log^2_(a)tgax+log_(a)tg^2ax=
=5+log^2_(a)tgax+2log_(a)tgax=
=(u-v+1)^2+2^2
Данное выражение принимает вид
sqrt((v+5)^2+9^2)+sqrt((u-3)^2+7^2)+sqrt((u-v+1)^2+2^2)-
каждое слагаемое можно рассматривать как длину вектора с соответствующими координатами.
Пусть
vector=(v+5;9)
vector
vector
Сумма длин векторов больше или равна длины суммы этих векторов.
vector+vector
(9;18)
Так как (u-3)^2=(-u+3)^2, то теперь должно быть понятно, почему первая координата вектора c выбрана с противоположными знаками.
Равенство суммы длин векторов длине суммы возможно лишь при условии, что векторы сонаправлены.
При этом координаты пропорциональны.
Составляем пропорции:
(v+5)/(-u+3)=9/7;
(-u+3)/(u-v+1)=7/2.
Из системы уравнений
<7v+9u+8=0
<-7v+9u+1=0
Складываем
18u+9=0
u=-1/2
v=-1/2
log_(a)cosax=-1/2 ⇒ cosax=1/sqrt(a)
log_(a)sinax=-1/2 ⇒ sinax=1/sqrt(a)
a∈(0;1)U(1;+ бесконечность)
cos^2ax+sin^ax=2/a
1=2/a ⇒ a=2
При а=2
cos2x=1/sqrt(2) и sin2x=1/sqrt(2)
С учетом ОДЗ:
2x=(π/4)+2πk, k∈Z.
x=(π/8)+πk, k∈Z.
При (2;(π/8)+πk) k∈Z достигается наименьшее значение и оно равно 9sqrt(5)
О т в е т. 9sqrt(5) при (2;(π/8)+πk) k∈Z
Найдите наименьшее значение параметра a при котором достигается наименьшее значение выражения
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции 
не меньше 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения 
при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве 
не менее 6.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения при каждом из которых функция
имеет более двух точек экстремума.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра при каждом из которых неравенство
имеет единственное целое решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра при каждом из которых среди значений функции 
есть ровно одно целое число.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции 
содержит отрезок 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых график функции
пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения при каждом из которых график функции
пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
меньше 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все а, при каждом из которых функция 
имеет ровно два экстремума на промежутке (−2; 3).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции 
содержит промежуток 
При каждом таком а укажите множество значений функции 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
График функции 
пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых функция
является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все а, при каждом из которых функция
будет убывающей на всей области определения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра 
при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке 
принимает наименьшее значение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два неотрицательных решения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции 
содержит отрезок 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все a, при каждом из которых уравнение 
имеет 4 решения, где f — четная периодическая функция с периодом 
определенная на всей числовой прямой, причем 
если 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых для любой пары 
действительных чисел u и \upsilon выполнено неравенство 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких значениях параметра a область значений функции
содержит отрезок [1; 2]?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых функция 
имеет не более двух экстремумов на промежутке 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра, при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке [−1; 0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения 
не больше расстояния между точками экстремума функции 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите, при каких неотрицательных значениях a функция 
на отрезке [−1; 1] имеет ровно одну точку минимума.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей