Найдите все параметры а при которых система уравнений имеет четыре решения

07.07.202218.07.2022 admin 0 Comments

Найдите все параметры а при которых система уравнений имеет четыре решения

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

При a = 1 первое уравнение системы задаёт прямую а при пару параллельных прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями и соответственно.

Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке (0; 0).

Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда и окружность ω пересекается с каждой из прямых l₁ и l₂ в двух точках.

Число точек пересечения окружности ω с прямой l₁ равно числу корней квадратного уравнения: Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте: откуда

Число точек пересечения окружности ω с прямой l₂ равно числу корней квадратного уравнения: Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте: откуда

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения

при

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек и/или	3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a , но неверно определены промежутки значений a получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток или два промежутка и , возможно, с включением граничных точек задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 520807: 520883 520919 520857 Все

Источник

Найдите все параметры а при которых система уравнений имеет четыре решения

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

При a = 1 первое уравнение системы задаёт прямую а при пару параллельных прямых l₁ и l₁, заданных уравнениями и соответственно.

Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 4 с центром в точке (0; 0).

Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда и окружность ω пересекается с каждой из прямых l₁ и l₁ в двух точках.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Ответ:

Аналоги к заданию № 520807: 520883 520919 520857 Все

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке (0; 0).

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения

при

Ответ:

Аналоги к заданию № 520807: 520883 520919 520857 Все

Источник

Найдите все параметры а при которых система уравнений имеет четыре решения

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 4 с центром в точке (0; 0).

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , , и/или	3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a , но неверно определены промежутки значений a получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток или два промежутка и , возможно, с включением граничных точек задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 520807: 520883 520919 520857 Все

Источник

Найдите все параметры а при которых система уравнений имеет четыре решения

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Прибавим левую часть второго уравнения (равную нулю) к каждому из подкоренных выражений в первом уравнении.

То есть сумма расстояний от точки до точек и равна Но и расстояние между точками и равно Итак, точка лежит на отрезке, соединяющем точки и Значит, причем То есть или причем Более того, поэтому

Итак, задача свелась к такой — когда уравнения и имеют вместе ровно два корня на отрезке

Разберем сразу случай, когда то есть Тогда и первое уравнение имеет корень (не лежит на нужном промежутке), а второе — корень (подходит).

Итак, есть ровно два корня, поэтому подходит. В остальных случаях корни этих двух уравнений совпадать не могут.

Второе уравнение дает Оно не имеет корней при имеет один корень при имеет два корня при имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при и не имеет подходящих корней при

Первое уравнение дает Оно не имеет корней при имеет один корень при имеет два корня при имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при и не имеет подходящих корней при

Совмещая эти ответы, получаем,что два корня есть когда или

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет ровно два различных решения.

Решим первое уравнение:

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

Так как то при корней нет, при получаем один корень при получаем два различных корня. У параболы — ветви вверх, абсцисса вершины равна

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда с учётом из получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ:

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Можете объяснить, как мы из yx^2+y^2-2y-63+7x^2=0 получили (y+7)(y+x^2-9)=0 Всё никак не удаётся преобразовать к такому виду.

Найдите все значения параметра при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Уравнение означает, что сумма расстояний от точки до точек и равна но эта сумма расстояний всегда больше, чем если только точка не лежит на отрезке с концами и Значит, множество решений при — это отрезок с концами и При множество решений — это

Множество решений неравенства — круг на плоскости с координатами с центром в начале координат и радиусом Отсюда получаем необходимое условие существование единственного решения — отрезок с концами и должен пересекаться с данным кругом в единственной точке. Это возможно при (когда отрезок превращается в точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметрии точка касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до начала координат равно В случае касания это расстояние должно совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение Таким образом, система имеет единственное решение при и

Ответ:

Аналоги к заданию № 516405: 516385 Все

Найдите все значения параметра при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет не более двух решений.

Первое уравнение дает второе — Выразим из первого уравнения y и подставим во второе. Полученное уравнение на x должно будет иметь не более двух решений (поскольку по каждому x будет однозначно определяться y). Имеем: Очевидно подходит. Попробуем выделить множитель :

В (*) если можно взять любое x и корней бесконечно много. Если нет — поделим на a

Это уравнение должно иметь либо менее двух корней, либо два корня, один из которых равен 1. Разберем случаи.

Если и уравнение не квадратное, то оно примет вид имеет корень и поэтому такие a подходят.

Если подходит в уравнение, то

невозможно.

Если дискриминант меньше нуля, то

откуда (напомним, что

Если дискриминант равен нулю, то

откуда

Итак, ответ

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Выделим в уравнении системы полные квадраты:

Ещё раз выделим полный квадрат:

Уравнение определяет окружность с центром и радиусом Неравенство определяет вертикальную полосу

На рисунке видно, что единственное решение получается в двух случаях.

1. Окружность касается полосы внешним образом. Это происходит тогда и только тогда, когда центр расположен вне полосы, а её радиус равен расстоянию от центра до ближайшей границы полосы:

или

Первая система имеет решение Вторая система имеет решение

2. Окружность превращается в точку и при этом принадлежит полосе:

откуда

Ответ:

Аналоги к заданию № 555972: 556034 Все

Найдите все a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Умножая последнее уравнение на и складывая его со вторым, получим С учетом этого первое неравенство можно переписать в виде или

Отметим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие этим условиям. Это точки гиперболы лежащие в круге радиуса 5 с центром в точке Нарисовав этот круг и гиперболу, мы увидим, что они имеют 4 точки пересечения (координаты легко угадываются).

Уравнение задает прямую, проходящую через точку с переменным угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через точки пересечения окружности и гиперболы при соответственно.

Найдём при каких значениях прямая касается гиперболы.

Случай касания соответствует дискриминанту равному нулю:

Прямая пересекает дуги гиперболы, лежащие в круге, при но при точек пересечения будет две, что не подходит.

Единственность точки пересечения со второй ветвью гиперболы очевидна из картинки.

Таким образом система имеет единственное решение при

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].

Первое неравенство задаёт на плоскости хОа квадрат, ограниченный отрезками прямых и а неравенство задаёт часть плоскости выше параболы с вершиной (−4; −4), ветви которой направлены вверх. Найдём координаты точки A пересечения параболы с прямой

Меньший корень соответствует точке пересечения, лежащей во второй четверти. Для большего корня справедливы неравенства:

поэтому абсцисса точки A лежит на отрезке [−1; 0], а сама точка лежит внутри вертикальной полосы, ограниченной прямыми x = −1 и х = 0. Тогда искомыми являются значения параметра, большие ординаты точки A, но не большие 4. Имеем:

Итак, система будет иметь решения при

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно шесть решений.

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.

Если a = 0, то получаем систему которая имеет единственное решение

Рассмотрим случай Имеем

Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при Заметим, что при любых положительных значениях эти две прямые лежат ниже прямой Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому

При этом условии гипербола пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).

Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений

одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:

Учитывая, что приходим к ответу.

Ответ:

Найдите все значения при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение системы может быть единственным в двух случаях.

1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

Если то а значит, При этом значении система принимает вид:

Единственное решение

Если то и Система принимает вид:

При этом значении система имеет бесконечно много решений.

2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.

Первое неравенство имеет единственное решение при

При этом первое неравенство имеет единственное решение которое удовлетворяет второму неравенству.

Второе неравенство имеет единственное решение при

При этом второе неравенство имеет единственное решение которое не удовлетворяет первому неравенству.

Ответ:

Найдите все значения при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение системы может быть единственным в двух случаях.

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

Если то а значит, При этом значении система принимает вид:

Единственное решение

Если то и Система принимает вид:

При этом значении система имеет бесконечно много решений.

2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.

Первое неравенство имеет единственное решение при

При этом первое неравенство имеет единственное решение которое удовлетворяет второму неравенству при

Второе неравенство имеет единственное решение при

При этом второе неравенство имеет единственное решение которое не удовлетворяет первому неравенству при

Ответ:

Аналоги к заданию № 510132: 509346 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка лежит на дуге ω₂ и прямая OC перпендикулярна прямой O₁O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 Ответ:

Аналоги к заданию № 510104: 509973 513110 Все

Как вы находите координаты точек? (например, точка С) и аналогично, значения параметра?

Это достаточно очевидно. C(x, y) — вершина прямоугольного треугольника, с гипотенузой , катетами x и -y и тангенсом угла при вершине равным 0,5.

Как вы определили тангенс угла? Объясните подробнее.

Для прямой угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона этой прямой

Почему вы взяли дуги, а не окружности?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₂(0; 0) и радиусом

Заметим, что точка лежит на дуге ω₂ и прямая O₂C перпендикулярна прямой O₁O₂.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O₂ или совпадающую с ней.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

Аналогично, при прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При −5 Ответ:

Аналоги к заданию № 509952: 510111 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Рассмотрим два случая:

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом

2) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках и лежащих на прямой поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках A и B, во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.

При прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При прямая m перпендикулярна прямой O₁B, угловой коэффициент которой равен значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При a = 8 прямая m перпендикулярна прямой O₂B, угловой коэффициент которой равен значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг и в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

При прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при

Ответ:

Аналоги к заданию № 510104: 509973 513110 Все

Здравствуйте, я не совсем понимаю, как вы получили точки пересечения окружностей, объясните, пожалуйста.

Выразите одну из переменных из и подставьте в любое из уравнений окружностей.

Или можно по “клеточкам” увидеть точки пересечения и проверить их.

В пояснении указано,что при а=1/5 система имеет два решения, по условию задачи именно это и требуется. Но в ответе нет этого значения.

В ответе есть это значение

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Преобразуем первое уравнение системы.

Подставим в него значение у (второе уравнение системы).

Переформулируем исходную задачу так:

“Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

на множестве имеет ровно один корень.”

Уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений:

1. Уравнение (2) на имело ровно один корень, а уравнение (3) на этом множестве корней не имело.

2. Уравнение (3) на имело ровно один корень, а у уравнения (2) на этом множестве корней не было.

Рассмотрим требование 1.

Уравнение (2) на имеет ровно один корень, если будет выполнено условие: меньший его корень меньше 3, а больший – не меньше 3. Необходимое и достаточное условие: где

Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству Очевидно, таковыми будут элементы множества

Уравнение (3) не будет иметь подходящих корней в двух случаях:

а) дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.

Множество с множеством общих элементов не имеет.

б) дискриминант неотрицателен, но оба корня строго меньше 3.

Необходимое и достаточное условия:

Решим систему неравенств:

Пересекая полученные результаты, будем иметь: Это — первая часть решения исходной системы.

Рассмотрим требование 2.

Уравнение (2) не имеет подходящих корней в двух случаях:

а) если

б) но оба корня строго меньше 3. Необходимое и достаточное условия: Решим систему неравенств:

Уравнение (3) имеет ровно один подходящий корень, если будет выполнено хотя бы одно из двух условий:

а) дискриминант равен нулю, т. е.

б) дискриминант больше нуля, но меньший корень меньше 3, больший корень не меньше 3. Необходимое и достаточное условие:

Т.е.

Таким образом, требованию 2 удовлетворяют лишь значения а, равные и 0.

Это — вторая часть искомого решения.

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Преобразуем первое уравнение системы:

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг и окружностей радиуса с центрами в точках и лежащих ниже и выше прямой соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках и Заметим, что точка касания лежит на дуге и прямая перпендикулярна прямой поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.