Найдите все значения параметра при которых график функции лежит выше прямой

не должно иметь корней (Дискриминант должен быть отрицательным)

Друзья, пожалуйста, помогите срочно?

Друзья, пожалуйста, помогите срочно!

Скажите, как найти значения переменной х, при которых график функции расположен выше оси Ох.

Здравствуите помогите пожалуйста

Найдите все значения параметра c, при которых график функции лежит выше прямой y = 2?

Найдите все значения параметра c, при которых график функции лежит выше прямой y = 2.

Пожалуйста, помогите?

Ничего не смыслю в алгебре( Постройте график линейной функции y = 1, 5x + 3.

С помощью графику определите : а) значения переменной х, при которых график функции лежит выше оси Ох ; б) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0 ; 4].

Постройте график функции (во вложении) и найдите, при каких значениях параметра К прямая y = 5k имеет с графиком хотя бы одну общую точку?

Постройте график функции (во вложении) и найдите, при каких значениях параметра К прямая y = 5k имеет с графиком хотя бы одну общую точку.

Найти первоначальную функции для графика которой прямая есть касательной?

Найти первоначальную функции для графика которой прямая есть касательной.

При каких значениях параметра а прямая у = а не имеет ни одной обшей точки с графиком функции у = (ctg ^ 2x + 6) / (4ctgx + 2)?

При каких значениях параметра а прямая у = а не имеет ни одной обшей точки с графиком функции у = (ctg ^ 2x + 6) / (4ctgx + 2).

Источник

Задачи с параметром для подготовки учащихся к ГИА в 9 классе

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Задачи с параметрами из сборника

«Алгебра-9 класс, итоговая аттестация (в новой форме)»

(под редакцией Ф.Ф.Лысенко), 2004 г.

Все рассматриваемые задачи расположены в сборнике под № 5 в части 2.

Выясним, при каких значениях m окружность и прямая имеют общие точки, решив систему:

х 2 +у 2 =10,

у =10- m х,

m є (-∞;-3][3;+∞)

Тогда уравнение, а значит и система, не имеет решений при m є (-3; 3)

Вершина параболы будет лежать «выше» прямой у=х, если у _в >х _{в .}

х _в = ; у _в = = = = ( 8 – a 2 )

Парабола и прямая имеют единственную общую точку, если система y = x 2 – x +1,

x + my -1=0 имеет единственное решение.

Выясним, при каких m это возможно:

x=1-my,

Преобразуем второе уравнение системы:

m 2 y 2 – (1+ m ) y +1=0.

Очевидно, что рассматриваемая система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственное решение.

Если m =0, то уравнение примет вид: у+1=0, которое имеет единственное решение и условие задачи выполняется.

Если m ≠ 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение, если его D =0

m =1; m = .

ОТВЕТ: ; 0; 1.

При каких a наименьшее значение функции у=х 2 -2ах+43 на [-2;+∞) равно 7.

Ветви параболы у=х 2 -2ах+43 направлены вверх, значит свое наименьшее значение функция достигает в точке х _в

х _в = = а

По условию х є [-2;+∞), значит возможны 2 случая:

При каких а число 3 заключено между корнями уравнения х 2 -2ах+а 2 -1=0?

Ветви параболы у=х 2 -2ах+а 2 -1 направлены вверх.

Т.к. по условию корни уравнения находятся по разные стороны от числа 3, то нули параболы также находятся по разные стороны от 3. Тогда:

1) уравнение имеет 2 корня, т.е. D > 0;

Итак, 4а 2 -4(а 2 -1)>0,

4а 2 -4а 2 +4>0,

При каких а оба корня уравнения х 2 -6ах+9а 2 -2а+2=0 больше 3?

Ветви параболы у=х 2 -6ах+9а 2 -2а+2 направлены вверх, а нули функции по условию должны быть больше 3. Тогда:

Уравнение имеет 2 корня, т.е. D >0;

Итак, 36а 2 -4(9а 2 -2а+2) >0 ,

9-18а+9а 2 -2а+2 >0 ;

а>1,

9(а-1)(а- )>0;

а> , т.е. а> .

ОТВЕТ: (1; +∞).

При каких значениях m вершина параболы у= mx 2 -7 x +4 m лежит во второй четверти?

х _в = ; у _в =

По условию вершина параболы лежит во II четверти, значит

х _в

у _в >0,т.е.

>0 ;

m є ( ;0)

При каких целых значениях параметра с уравнение + = с имеет хотя бы один корень?

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х-2+7-х+2= с 2 ,

с ≥ ;

Уравнение (*) имеет хотя бы один корень, если D ≥ 0, значит

с ≥ ;

(-с)(+с) ≥ 0,

с ≥ ;

–

– С

Итак, с є [; ], целые значения: с = 3

Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых 3х+ау+1=0 и 2х-3у-4=0 находится в третьей координатной четверти.

Пусть (х ₀ ;у ₀ )- точка пересечения прямых, причем по условию х _{0 0}

Найдем координаты точки пересечения прямых из системы:

х=1,5у+2,

х=1,5у +2,

Определите уравнение касательных к окружности х 2 + у 2 =5, проходящих через точку М(3;1).

Пусть уравнение касательной у = кх+в.

Тогда уравнение касательной имеет вид: у=кх+(1-3к)

Очевидно, что касательная с окружностью имеет одну общую точку, значит система

имеет единственное решение.

Т.к. 1+к 2 ≠ 0, то данное уравнение является квадратным, и имеет единственное решение, если D = 0

Итак, при к = 2 у = 2х+1-6 или у =2х-5;

Найдите все значения а, при которых множество значений функции

Т.к. ветви параболы направлены вверх, то множеством значений функции является промежуток [у _{в ;} +∞), значит у _в =1,5.

Найдем а из уравнения:

у=ах 2 +2х-а+2 пересекает ось Ох в одной точке.

1)Если а =0, то у=2х+2 —линейная функции, графиком которой является прямая, пересекающая ось Ох в одной точке, т.к. к=2≠0

Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения прямых у=2х+3 и у=2а-3х лежит выше прямой у = х.

Найдем абсциссу точки пересечения графиков из уравнения:

Тогда ордината точки пересечения графиков равна:

По условию точка (х ₀ ;у ₀ ) должна лежать выше прямой у = х, значит у ₀ >х ₀

Найдите все значения параметра а, при которых точки А(1; 2), В(3; а +1), С( а; 4) лежат на одной прямой.

Пусть точки А, В, С лежат на прямой у = кх+в,

тогда координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой:

2=к•1+в,

к+в=2,

в=2-к,

в=2-к,

в=2-к,

в=2-к,

к=±1,

Задачи для самостоятельного решения.

у = х 2 +ах-2 лежит ниже прямой у = 2х

Найдите все значения m , при которых парабола у=х 2 +х+1 имеет с прямой m у-х-1=0 одну единственную общую точку.

При каких целых значениях параметра с уравнение

2(√х+3)+(√11-4х) = с имеет хотя бы один корень?

Источник

Найдите все значения параметра при которых график функции лежит выше прямой

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

имеет хотя бы одно решение.

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

имеет ровно три решения.

Источник

Построение графиков функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник