Найти все значения параметра а при котором уравнение имеет два решения

07.07.202218.07.2022 admin 0 Comments

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения

Источник

Найти все значения параметра а при котором уравнение имеет два решения

В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,03 · 0,03 = 0,0009.

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0009 = 0,9991.

В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 3 человека из 15 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 3 человек, равна 3 : 15 = 0,2.

В классе 21 шестиклассник, среди них два друга — Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся одноклассников, а остальные 14 будут в других группах. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 14 человек, равна 14 : 20 = 0,7.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.

Для погоды на 15, 16 и 17 октября есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Для погоды на 6, 7 и 8 апреля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,9·0,9·0,1 = 0,081;

P(XOO) = 0,9·0,1·0,9 = 0,081;

P(OXO) = 0,1·0,1·0,1 = 0,001;

P(OOO) = 0,1·0,9·0,9 = 0,081.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,081 + 0,081 + 0,001 + 0,081 = 0,244.

P(XXO) = 0,9·0,9·0,1 = 0,081;

P(XOO) = 0,9·0,1·0,9 = 0,081;

P(OXO) = 0,1·0,1·0,1 = 0,001;

P(OOO) = 0,1·0,9·0,9 = 0,081;

P(XXX) = 0,9*0,9*0,9 = 0,729 ;

P(XOX) = 0,9*0,1*0,1 = 0,009 ;

P(ООХ) = 0,1*0,9*0,1 = 0,009 ;

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Полученная вероятность является ошибочной ибо она больше 1.

Наше решение верное.

Вы ошиблись при вычислении Р(OXX) = 0,1*0,1*0,9 = 0,009

И тогда 0,081+0,081+0,001+0,081+0,729+0,009+0,009+0,009 = 1

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.

В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе.

В классе 9 учащихся. Три равные группы — это группы по 3 человека. Пусть Михаил находится в одной из трех групп. Тогда для Андрея в группе Михаила остается 2 места из 8 возможных. Таким образом, вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе:

За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна

Приведём другое решение.

Рассмотрим сидящую за столом девочку. Вероятность того, что на одно из двух мест справа или слева рядом с ней сядет мальчик, равна 199/200. Вероятность того, что рядом с этим мальчиком сядет ещё одна девочка, равна 1/199. По правилу произведения получаем:

Приведём ещё одно решение.

Всего способов рассадить 201 человек на 201 стул равно Из них благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит девочка (на это есть два варианта), через один стул справа от неё сидит девочка (один вариант), а на остальных ста девяноста девяти стульях произвольно рассажены мальчики (199! вариантов). Всего благоприятных исхода. Так как «первым» стулом может быть любой из двухсот одного стула (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 201. Таким образом, вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна

В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Учащихся случайным образом разбивают на 7 равных групп. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

Изложим решение иначе.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Нина может занять любое из оставшихся 20 мест в любой из оставшихся групп. Ровно два места будут в группе с Аней. Поэтому искомая вероятность равна 2 : 20 = 0,1.

Приведем комбинаторное решение.

Всего способов выбрать 3 учащихся из 21 учащегося класса равно Выбрать пару «Аня и Нина» и поместить их в одну из семи групп можно способами. Добавить в эту группу еще одного из оставшихся 19 учащихся можно способами. Поэтому вероятность того, что девочки окажутся в одной группе равна

Приведем еще одно решение.

Рассмотрим первую группу. Вероятность того, что Аня окажется в ней, равна Если Аня уже находится в первой группе, то вероятность того, что Нина окажется в этой же группе равна Поскольку все семь групп равноправны, вероятность того, что подруги окажутся в одной группе, равна

Решение задачи противоречит примеру 1 (выбор из урны, содержащей M белых и N черных шаров), решенному в курсе теории вероятностей В. П. Чистякова на странице 30 (Пример №1 главы №2)

О чем в книге не знаем, у нас верно.

Задача 320192 про двух братьев-близнецов аналогична, однако, если я решаю тем же методом, что и в этой задаче (2*13\26*12\25), мой ответ не сходится с правильным

2*13/26*12/25 = 12/25 = 0,48

Все-таки решение с ошибкой. Всего элементарных исходов C из 21 по 3, т.е. 1330. Из них благоприятные исходы легко перебрать: пронумеруем учеников класса как 1, 2, 3, …, 21 и пусть Ане и Нине соответствуют, например, номера 1 и 2. Тогда элементарные исходы, благоприятствующие нашему событию (подмножества, состоящие из трех учеников, в том числе Ани и Нины, и отличающиеся только составом элементов): 1, 2, 3; 1,2,4; 1, 2, 5; … 1, 2, 21. Всего их 19. Таким образом, ответ: (С из 2 по 2) * (С из 19 по 1)/(С из 21 по 3) = 19/1330 = 1/70. Это задача о выборке, описанная, например у В.Е.Гмурмана

Вы решили другую задачу.

Вы не делили класс на СЕМЬ групп, а выбрали ОДНУ группу.

Если выбирать из двадцати одного человека трех, то два конкретных окажутся в этой группе с вероятностью 1/70.

Вероятность оказаться в любой из семи групп одинакова, поэтому вероятность оказаться в одной группе равна 7 · 1/70 = 0,1

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

Наверно вопрос должен звучать так: Какова вероятность, что чайник прослужит ровно два года.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна

Приведём другое решение (перестановки).

Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равно Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна

Приведём другое решение (круговые перестановки).

Напомним, что число способов, которыми можно расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам равно (n − 1)! Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно 8! способами. Объединим двух девочек в пару, это можно сделать двумя способами; рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами. Тем самым, посадить детей требуемым образом можно 2 · 7! способами, поэтому искомая вероятность равна

Рассуждая аналогично, получим, что в общем случае для n девочек и m мальчиков, сидящих девочки с девочками, а мальчики с мальчиками, количество способов занять места за круговым столом равно n!m!, а вероятность случайной рассадки требуемым образом равна

Источник

Найти все значения параметра а при котором уравнение имеет два решения

Найдите все значения a, при каждом из которых любое число x из отрезка [3; 4] является решением уравнения

Если то уравнение решений не имеет.

Пусть a = −3. Тогда уравнение имеет вид и ни одно число из отрезка [3; 4] не является его решением.

Пусть a > −3. Запишем уравнение в виде

При a > −3 верно неравенство и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка поскольку длина этого отрезка равна и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна

Осталось выбрать те значения а, при каждом из которых отрезок содержит отрезок [3; 4]. Это выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Аналоги к заданию № 526595: 526603 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет семь или восемь решений.

Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём

Следовательно, если уравнение имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.

Заметим, что это уравнение имеет два решения: при любом значении а. При эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет или семь, или восемь решений.

Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём

Ответ:

Аналоги к заданию № 556619: 556626 Все

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и F_a, а их центры — О и О_а.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и F_a имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = −1 полуокружности F и F_a совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.

При a > −1, т. е. точка О_а расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и F_a имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности F_a имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка О_а имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и F_a не имеют общих точек. Таким образом, все значения являются искомыми.

При a Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Произведём замену переменной получим:

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от до При t

1) При a ≥ 0 получаем

решений нет.

Ответ:

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.

При и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

Ответ:

В дано написано найдите 3 решения

Решение соответствует заданному вопросу. Читайте внимательнее

Было бы замечательно, если бы в решении было уточнено, как находились значения параметра а=2√2 и а=1-√2

Вы можете найти их любым доступным Вам путём, хоть через производную, хоть через формулу расстояния от точки до прямой, хоть из геометрических соображений. (есть и другие варианты)

Можете написать, как именно называется способ нахождения через производную? Ничего не могу найти в интернете

при а=2 три решения и эта точка тоже должна быть включена в ответ.

при а=2 два решения: х=-2; х=0

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Прямые m проходят через точки B, O и A при и соответственно.

При и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при или имеет две общие точки с дугой при

Ответ:

Аналоги к заданию № 514524: 514740 514552 514559 Все

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 2) и радиусом 2.

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 4.

Таким образом, в первом случае получаем дугу окружности с концами в точках O и A(0; 4), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу окружности с концами в точках A и B(0; −4) (см. рисунок).