Урок “Решение неравенств с модулем, содержащих параметр”
Разделы: Математика
Тема: Решение неравенств с модулем, содержащих параметр.
Цели урока:
ТСО: Проектор, компьютер. Дискета со приложениями №1,№2. Переносная доска.
Наглядность: таблица с формулами
Ход урока:
I. Актуализация знаний и проверка домашнегозадания.
Вступительное слово учителя.
Задачи с параметром встречаются на ЕГЭ в группе «С» под номерами 3 и 5. Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение неравенств с модулем». Назовите идею решения неравенств, записанных на доске и решите их:
Ответы.
Ученик.
На переносной доске работает Клинов А. Решить неравенство: Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?
Ответ: графический. Приложение 1. Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения. Решить неравенство : Соловцов: – строим графики функций Отмечаем точку пересечения графиков А. Знак > понимаем так, что 1 график выше графика 2 и пишем ответ: X 5
Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?
Вывод: Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.
Домашнее задание: Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.
Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:
Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.
Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)
Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности § 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль § 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами § 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением
Творческая работа “Методы решения уравнений и неравенств с модулями и параметрами”
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Школа №2» города Алушты
«Методы решения уравнений с модулем и параметрами»
Пихидчук Ирина Анатольевна
Известно, что в разное время вопросами мышления занимались ученые-психологи различных школ и направлений. Как процесс репродуктивный, процесс, в результате которого не возникает ничего принципиально нового, а происходит лишь перекомбинация исходных элементов, рассматривали мышление ассоцианисты (А. Бен, Д. Гартли). В настоящее время этот подход нашел свое выражение в бихевиоризме (А. Вейс, Б. Скиннер). Выразителями другого подхода к мышлению как к чисто продуктивному процессу являлись представители гештальтпсихологии (М. Вертгаймер, В. Келлер, К. Кофка и др.). В трудах советских психологов продуктивность выступает как наиболее характерная, специфическая черта мышления, отличающая его от других психических процессов, и в то же время рассматривается противоречивая связь её с репродукцией. Идеи о творческом характере мышления разрабатывались в трудах Б. Г. Ананьева, П. Я. Гальперина, А. В. Запорожеца, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской и многих других. Среди работ, посвященных вопросам развития продуктивного (творческого) мышления при обучении математике следует отметить работы В. А. Крутецкого, Д. Пойа, Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого. После анализа литературы по интересующему нас вопросу формируется глубокое убеждение, что развить творческое мышление на уроках математики, заинтересовать детей математикой, привести к открытию математических фактов возможно только при условии использования на уроках задач нестандартных, задач, требующих известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности и изобретательности.
Развитие продуктивного мышления учащихся можно проследить на примере неравенств с модулем и параметрами, которые требуют нестандартных приемов решения. Данная проблема очень актуальна в связи с использованием данных неравенств в открытой части ВНО.
Цель работы: систематизация знаний о способах решения неравенств с модулем через систему заданий, применение этих способов при решении линейных неравенств с модулем и параметрами.
Задачи работы: оказать методическую помощь учителям математики школы при работе над решением неравенств с модулем, способствовать развитию алгоритмического и продуктивного мышления учащихся, формированию познавательного интереса к математике.
Задачи с модулем (абсолютной величиной) числа все чаще встречаются в вариантах вступительных экзаменов по математике в высшие учебные заведения Украины и нередко вызывают огромные проблемы при решении у учащихся школы 3 ступени. Для успешного их решения необходимо не столько интуиция и способности, сколько специальная подготовка. Она состоит из знакомства, глубокого изучения и усвоения методов решения таких задач.
С модулем числа и его свойствами согласно действующей программе и базовым учебникам учащиеся впервые знакомятся в шестом классе. Способ решения линейных уравнений с модулем рассматривается в седьмом классе. Рассматривается абсолютная погрешность приближенного вычисления, изучение свойства корня квадратного, предел последовательности, уравнения, неравенства системы, графики функций с модулем, задачи с параметрами. Но должного внимания к решению заданий на данные темы катастрофически не хватает в силу объективных и субъективных причин. Базовые учебники содержат лишь отдельные задачи на модуль числа.
Усвоение понятия модуля числа необходимо не только для овладения алгоритмами арифметических действий с положительными и отрицательными числами. Оно способствует формированию у учащихся абстрактного и алгоритмического видов мышления; логического мышления ( при использовании алгебраического смысла модуля); научно-образного мышления ( при использовании геометрической интерпретации модуля); поисково-эвристической деятельности ( при поиске рациональных способов решения). Решение задач с модулем приводит учащихся к необходимости использования классификации и усвоения навыков исследования и готовит к решению задач с параметрами, вызывающих определенные трудности.
Тем временем в учебной литературе чувствуется дефицит сборников, посвященных задачам с модулем. Поэтому подбор и классификация таких задач, безусловно, необходимы.
В работе методического объединения учителей математики Алуштинской общеобразовательной школы ступеней №2 проблемой «Способов решения линейных уравнений с модулем и параметрами» занимался учитель-методист Бородин Александр Иванович. В его работе представлены методические рекомендации и теоретическая часть к урокам, посвященным определению модуля числа, его свойств, способам решения линейных уравнений с модулем, уравнений, содержащих знак модуля под знаком модуля, геометрическому смыслу модуля.
Основные моменты этой работы можно представить в виде опорных конспектов.
Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.
Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)
Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.
Что уже нужно знать
Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:
Начнём со второго пункта.
Определение модуля
Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:
Записывается это так:
Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.
Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).
Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:
Графическое определение модуля
Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.
Решение неравенств. Метод интервалов
Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.
На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):
Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:)
1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»
Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:
Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:
Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.
Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:
\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]
Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму:
Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.
Поскольку дальше нужно решить каждое неравенство отдельно, пора переходить к системе (можно было сделать это и раньше, но тогда решение получится чуть более громоздким):
Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:
Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо:
Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму:
А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева:
Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве:
Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее:
Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве:
Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета:
Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго):
Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:
Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим.
2. Неравенства вида «Модуль больше функции»
Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:
Другими словами, мы рассматриваем два случая:
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.
Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются. Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!
Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:
Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман):
Разница между пересечением и объединением множеств
В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.
Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
Решение. Действуем по схеме:
Решаем каждое неравенство совокупности:
\[\left[ \begin & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end \right.\]
Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:
Объединение множеств
Задача. Решите неравенство:
Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств:
Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч:
Во втором неравенстве тоже немного дичи:
Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо.
Поэтому давайте сравнивать:
Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат:
Случай некрасивых корней
Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.
Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше.
3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»
Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида:
\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]
Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения:
\[f \gt g,\quad f\ge 0,g\ge 0\]
Что делать с этими задачами? Просто помните:
В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.
Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни:
Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата:
Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Решение. Сразу заметим две вещи:
Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов:
Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов. Только аккуратно:
Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению:
Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое!
Избавление от знака модуля
Ну вот и всё. Задача решена.
Задача. Решите неравенство:
Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.
Возводим в квадрат:
Всего один корень на числовой прямой:
Ответ — целый интервал
Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.
Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:)
4. Метод перебора вариантов
А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?
Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:
Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:
И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением:
Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом.
Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:
Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона.
Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами.
Разработка занятия “Решение неравенств с модулем, содержащие параметр”, Элективный курс
« Решение неравенств с модулем, содержащих параметр»
Тема урока Решение неравенств с модулем, содержащих параметр
Тип урока урок изучения новой темы
Оборудование компьютер, проектор
Программное обеспечение Power Point
Цифровые ресурсы презентация «графический способ решения неравенств с модулем, параметром»
Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Мордкович А.Г.
Наглядность: таблица с формулами
Вступительное слово учителя.
Задачи с параметром встречаются на ЕГЭ во второй части в заданиях №18.
Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение неравенств с модулем».
Назовите идею решения неравенств, записанных на доске, и решите их:
1) 1) Фёдоров С.
2) 2)Свиршевская М.
3) 3) Васильева А.
4) 4) Михеев А.
На переносной доске работает Клинов А.
Решить неравенство:
Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?
Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения.
Решить неравенство :
Соловцов: – строим графики функций
Отмечаем точку пересечения графиков точку А. Знак > понимаем так, что график 1 выше графика 2 и пишем ответ: .
Повторим алгоритм решения линейных неравенств с параметром:
Клинов А. объясняет решение на переносной доске.
если
если
если
Учитель: рассмотрим методы решения типовых примеров.
1 тип
2 тип
В числовых неравенствах заменив число на букву, получим неравенство с параметром.
Рассмотрим методы решения этих неравенств. Они аналогичны рассмотренным способам решения неравенств с модулем.
Т.к. знак модуля определён, т.е.
Решение зависит от выражения а+1
1)
если а+1 0, ,
Учитель: решим следующее неравенство:
Если ;
Если
Учитель: Решим 3 пример.
Какими способами можно решить неравенство, если бы вместо буквы а стояло число?
Ответ: возведение обеих частей неравенства в квадрат, методом «промежутков».
Те же способы применяются и для неравенства с параметром.
Методом «промежутков» пойдет решать Семенова Д.
Методом возведения в квадрат- Федоров С.
,
,
Если ,
если
если
Проверили решения данного примера.
Каким еще способом можно решить данное неравенство?
Показывается слайд №2.
1.Строим графики функций
Найдем те значения переменной Х, когда первый график лежит выше второго.
Возможны варианты, когда а 5
Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?
Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.
Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.
§ 2. Как решать задачу 18: графический подход 
§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля 
§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов 
Графическое определение модуля
Пересечение множеств
Разница между пересечением и объединением множеств
Объединение множеств
Случай некрасивых корней
Избавление от знака модуля
Ответ — целый интервал
Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций
1) 
Фёдоров С.
2)
Свиршевская М.
3) 
Васильева А.
4) 
Михеев А.
.
,
;
,
,
,
