Неравенства с параметром метод интервалов

Муниципальное задачи с параметрами

Решение неравенств с параметрами методом интервалов

Данная интерпретация позволяет составить общую эвристическую схему решения неравенств с параметрами;

1) определение области допустимых значений для переменной х и параметра а (с учетом всех ограничений, сформулированных в условии задачи);

2) Решение уравнения относительно х или а ;

3) изображение графика функции или с учетом ограничений, накладываемых на х и а условием задачи;

4) анализ информации, которую подсказывает геометрический образ уравнения ; выдвижение гипотезы решения.

5) Доказательство или опровержение полученной гипотезы; обоснование решения; оформление ответа.

Анализ графической информации позволяет нам получить следующие выводы:

1) Ограничения, накладываемые на х и а условием задачи, приводят к существованию множества точек плоскости, координаты которых не могут входить в решение неравенства. Выделение таких областей, как правило, облегчает решение задачи.

2) Координаты каждой точки графика при подстановке в выражение обращают его в нуль. Следовательно, график можно назвать «нулем» функции 3) График уравнения разбивает координатную плоскость на ряд областей. Каждая из них представляет собой множество точек, обладающих следующим свойством: при подстановке координат точек из данной области функция принимает значения одного знака. Геометрическим решением неравенства является объединение областей плоскости, координаты точек которых удовлетворяют исходному неравенству.

Перечисленные общие закономерности дают основание называть данный метод – методом интервалов решения неравенств с параметрами. Здесь интервалы представляют собой те области, на которые координатная плоскость разбивается графиком («нулем» функции )

Метод интервалов приводит к наиболее рациональному решению задач, в структуру которых входит неравенство с параметром и требуется провести исследование с учетом некоторого условия.

Рассмотрим это на следующем примере :

Рассмотрим аналитическое решение данного упражнения.

1) Среди нет ни одного значения а удовлетворяющего условию задачи, ибо при таких а уравнение не имеет решений. При а = 2 и а = – 2 уравнение имеет единственный корень х = 0, который не удовлетворяет неравенству.

Далее из довольно громоздкого алгебраического решения этих систем, мы получим ответ:

А теперь рассмотрим другое решение исходной задачи, в основе которого лежит метод интервалов решения неравенств с параметрами.

Исходя их условия задачи, областью допустимых значений для х и а является множество всех действительных чисел. Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 2.

Согласно условию задачи нас будут интересовать лишь те из них, в которых квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Для определения знака выражения достаточно подставить координаты одной точки из рассматриваемой области плоскости. При этом получаем, что решение неравенства являются области плоскости, заключенные внутри углов AMC и BMD. Дуги АС и BD, исключая их концы представляют собой ничто иное, как множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют исходной системе.

Итак, сопоставляя два варианта решений данной задачи, решение методом интервалов представляется более рациональным и наглядным.

Метод интервалов представляет обобщенный метод решения неравенств с параметрами. Это проявляется:

1) Наглядность графической информации способствует более глубокому пониманию сути условия задачи и ее решения;

2) в возможности сведения неравенства к решению соответствующего уравнения, что соответственно упрощает решение задачи;

3) в возможности сократить до минимума объем преобразований выражений с переменными, что понижает вероятность появления в решении логических и технических ошибок;

4) позволяет найти наиболее рациональный путь решения задач, где требуется исследовать неравенство с параметром с учетом некоторых условий.

Самостоятельная работа 3:

Решение квадратных неравенств с параметрами, содержащих переменную под знаком модуля

Источник

Решение. Данное неравенство является дробным рациональным. Для его решения используем метод интервалов

Главная > Решение

Неравенства с параметром

В заключении темы «Алгебраические неравенства» рассмотрим примеры решения неравенств с параметром.

Решить неравенство, содержащее параметр, это значит определить, при каких значениях параметра неравенство имеет решения и для всех таких значений найти все решения. Если хотя бы одно из значений параметра не исследовано, решение задачи не может считаться полным.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство является дробным рациональным. Для его решения используем метод интервалов.

Приведя неравенство к стандартному виду, получим:

Очевидно, что при а = 0 неравенство решений не имеет.

Если а > 0, то нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на промежутки: Методом интервалов устанавливаем, что неравенство верно на среднем промежутке. То есть, если a > 0, то

Если a 0, то нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на промежутки: Методом интервалов устанавливаем, что неравенство верно на среднем промежутке. То есть если a

Ответ: если a a = 0, то решений нет;

если a > 0, то

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Если a a x ≤ 0 решений нет, так как левая часть неравенства отрицательна, а правая – неотрицательна.

Если а = 0, то решениями неравенства служат все x > 0.

Решая это неравенство, получаем

> 0,

Ответ: если a а = 0, то x > 0;

если a > 0, то

На испытаниях различного уровня кроме задач, в которых требуется решить неравенство при всех значениях параметра, встречаются задачи, где нужно из всех значений параметра выделить те, при которых неравенство будет обладать некоторыми свойствами, например, будет удовлетворяться при любом значении переменной, или будет иметь только одно положительное решение и т.д.

Ответ: при

выполняется при любом x > 6.

Пусть a > 1. Рассмотрим функцию

Ответ:

ЗАДАНИЕ. Прорешайте с записями, подробными выкладками и схемами ( в применении метода интервалов, например) предложенные в объяснительной части занятия примеры, т.е. РАЗБЕРИТЕСЬ в готовых решениях.

Постарайтесь решить задачу. При каких значениях параметра а каждое решение неравенства будет содержаться среди решений неравенства

? (10 баллов).

Желаю Вам успехов в изучении математики – величайшей из наук!

Источник

Учебное пособие «Уравнения и неравенства с параметрами»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

Авторы

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…. 16-18

Задания для самостоятельной работы…………………………. 21-28

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

Если а ¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=.

b = 0 является особым значением параметра b .

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

ах b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Если а = 0, то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.

Ответ: при а ¹ 0, х=

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ¹ 2 х =. По условию х > 1, то есть >1, а > 4.

Ответ: При а <2>U (4;∞).

Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

а =,

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = — графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1— один корень

при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.

Решение : ах + 4 > 2х + а 2 (а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.

а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х > а + 2

а (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х а + 2

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х при а при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

2) формул корней квадратного уравнения: х ₁ =, х ₂ =,

(х _{1,2 =} )

Квадратными называются неравенства вида

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если квадратный трехчлен имеет корни (х _{1 2} ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х ₂ )( х _2; +) и отрицателен на интервале

(х ₁ ; х ₂ ). Если а ₁ ; х ₂ ) и отрицателен при всех х (-; х ₁ )( х _2; +).

Это квадратное уравнение

Решение: Особое значение а = 0.

При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y = х²-2х-8— графиком является парабола;

y =а— семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение = 0

Это дробно- рациональное уравнение

Пример 2 . Решить уравнение— = (1)

Это дробно- рациональное уравнение

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х ₁+1=0, х ₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х₂+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х₂ — посторонний корень уравнения (1).

Если х₂+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

Можно записать ответ.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида = g ( x ) равносильно системе

Неравенство f ( x ) ≥ 0 следует из уравнения f ( x ) = g 2 ( x ).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

≤ g(x) ≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение = х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе .

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

откуда а ≤ или а > 2.

Ответ: При а≤, а > 2 х= , при уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение = а (приложение 4)

Решение. y =

y = а – семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

(а+1)

откуда х (2- 2

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a arcsin a + 2 πn Z,

при a xR ; при a ≥ 1, решений нет.

при а≤-1, решений нет; при а >1, xR

3. cos x > a — arccos a + 2 πn x arccos a + 2 πn , n Z ,

5. tg x > a, arctg a + πnZ

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

Ответ. а -2; 0 4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство + b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а π /2 при а ≥0.

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h ( x ) f ( x ) = h ( x ) g ( x ) при h ( x ) > 0 равносильно совокупности двух систем и

2. В частном случае ( h ( x )= a ) уравнение а f ( x ) = а g ( x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

и

3. Уравнение а f ( x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f ( a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

Пример 1 . При каких а уравнение 8 х = имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8 х >1 >1 >0, откуда a (1,5;4).

Ответ. a (1,5;4).

Решение. Рассмотрим три случая:

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

В частности, если а >0, а ≠1, то

log _a g (x)= log _a h(x)

2. Уравнение log _a g (x)=b g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Неравенство log _{f ( x )} g ( x ) ≤ log _{f ( x )} h ( x ) равносильно совокупности двух систем: и

Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log _a f (x) ≤ b

log _a f (x) > b

_{Пример 1. Решите уравнение}

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

2 log — + a = 0 имеет решения.

При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.

Ответ. а =

Решение. Решим систему неравенств

Корни квадратных трехчленов х _1,2 = 1 ± и х _3,4 = 1 ±.

Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х₁ и Х₂ – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х ₁ Х ₂ = Х – решение исходного неравенства.

Рассмотрим три случая:

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение

р ∙ ctg 2 x + 2 sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

При t , E ( f ) = ,

При t , E ( f ) = , то есть при t , E ( f ) = .

Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E ( f ), то есть p .

Ответ. .

При каких значениях параметра а уравнение log (4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

1) a ₁ = 1. Тогда уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2. Решаем его

2) a ₂ = 3. Уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2 х = 0 – единственный корень.

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство а— а ≥ 0, а≥ а (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≥ а 2 +6,

Источник