Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения случайной величины

Значение для исследований в области физической культуры и спорта (ФКиС)

Нормальное распределение случайной величины (гауссово распределение, распределение Гаусса, распределение Гаусса-Лапласа) – одно из непрерывных распределений, имеющее основополагающую роль в математической статистике. Причинами это являются:

Однако в природе и в области ФКиС встречаются экспериментальные распределения, для описания которых модель нормального распределения малопригодна.

История изучения нормального распределения

Первые исследования по теории вероятностей проводили математик, механик, физик Блез Паскаль и математик Пьер Ферма в середине XVII века. Эти исследования выполнялись по просьбе Шевалье де Мере, азартного игрока в кости, который пытался понять природу выигрыша. В дальнейшем эти исследования заложили основы теории вероятностей (Дж. Гласс, Дж. Стэнли, 1976).

Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в XVIII веке. В 1713 году была опубликована книга швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений». В этой книге был рассмотрен ряд вопросов теории вероятностей. Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей, а также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант «закона больших чисел», разъясняющего, почему частота события в серии испытаний не меняется хаотично, а в некотором смысле стремится к своему предельному теоретическому значению (то есть вероятности).

В последствии (в 1730 г.) шотландский математик Джеймс Стирлинг опубликовал формулу, аппроксимирующую произведение первых n чисел. Это позволило упростить решение ряда задач, которые встречаются в теории вероятностей. Однако все еще эти задачи оставались трудно разрешимыми.

Эту задачу решил английский математик Абрахам де Муавр. В работе «Доктрина случайностей», которая была издана в 1738 году он привел формулу, аппроксимирующую биномиальное распределение события, вероятность которого была равна 0,5 (рис.1). То есть он нашел уравнение кривой, проходящей через точки графика, изображенного на рис. 1. Эта была формула, которую впоследствии стали называть формулой нормального распределения вероятностей. Появление формулы нормального распределения значительно упростило расчеты вероятностей событий.

В начале XIX века (в 1812 г.) французский математик, механик, физик и астроном Пьер-Симон де Лаплас обобщил результаты А. Муавра для произвольного биномиального распределения.

Рис.1. Биномиальное распределение

Одновременно с П. Лапласом в 1809 году немецкий математик, механик, физик и астроном Карл Фридрих Гаусс в сочинении «Теория движения небесных тел» использовал формулу нормального распределения для описания случайных ошибок, возникающих в результате многократных измерений движений небесных тел. К.Ф. Гаусс внес настолько большой вклад в разработку теории нормального распределения, что впоследствии это распределение стали назвать гауссово распределение или распределение Гаусса-Лапласса.

В начале ХХ века бельгийский математик, астроном и социолог Адольф Кетле одним из первых применил нормальный закон распределения случайной величины к анализу биологических и социальных процессов. Изучая распределение солдат американской армии по росту, Адольф Кетле обратил внимание, что распределение роста подчиняется нормальному закону. Он писал: «…Человеческий рост, изменяющийся, по-видимому, самым случайным образом, тем не менее подчиняется самым точным законам, и эта особенность свойственна не только росту, она проявляется также в весе, силе, быстроте передвижений человека, во всех его физических … и нравственных способностях. Этот великий принцип… разнообразящий проявление человеческих способностей…кажется нам одним из самых удивительных законов мира» (А.Кетле, 1911).

В настоящее время нормальное распределение широко используется в биологии, медицине, экономике и других областях науки.

Более подробно о методах статистической обработки данных рассказано в книгах:

Формула нормального распределения

Формула, описывающая нормальный закон распределения случайной величины, имеет следующий вид:

где: μ — генеральное среднее арифметическое; σ — генеральное стандартное отклонение, е — основание натуральных логарифмов, приблизительно равное 2,719, π — число, приблизительно равное 3,142; xi — конкретное значение признака.

Пусть Вас не пугает эта формула. Сейчас мы с ней разберемся. Для начала давайте посмотрим, как выглядит график, построенный на основе этой формулы. Зададим значения μ=0 и σ=1. Хочу заметить, что μ и σ — это просто числа. Их еще называют параметрами распределения. Поэтому критерии, в формулу расчета которых входят параметры распределения называют параметрическими. Например, параметрическим критерием является t-критерий Стьюдента. В формулу расчета критерия Стьюдента входят параметры μ и σ. Кривая нормального распределения вероятностей имеет вид (рис.2).

Рис.2. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=0 и σ=1.

Если мы поменяем параметры, то получим следующее. Изменение параметра μ будет сдвигать график вдоль оси Х. Например при μ=3 график сместится вправо вдоль оси Х (рис.3).

Рис.3. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=3 и σ=1.

Рис.4. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=0 и σ=3.

Свойства нормального распределения

Нормированное отклонение

В области математической статистики важное место занимает нормированное отклонение (t) – показатель, представляющий отклонение той или иной варианты от средней величины, отнесенное к значению стандартного отклонения. Нормированное отклонение рассчитывает по формуле:

Нормированное отклонение позволяет установить, на сколько «сигм» отклоняются варианты от среднего значения. Например, необходимо определить насколько «сигм» отклоняется значение роста человека, равное 180 см от среднего, если среднее арифметическое равно 170 см, а «сигма», то есть стандартное отклонение равно 10 см. Подставив эти значения в формулу, получим: t= (180-170)/10 = 1.

Ответ: значение роста человека, равное 180 см отклоняется от среднего на одну «сигму».

Нормированное нормальное распределение

Рис.5. Нормированное нормальное распределение роста мужчин с параметрами: µ=0; σ = 1.

Формула нормального распределения описывает целое семейство кривых, зависящих от двух параметров μ и σ, которые могут принимать любые значения. Поэтому возможно бесконечно много нормально распределенных совокупностей.

Чтобы избежать неудобств, связанных с расчетами для каждого конкретного случая в до компьютерную эпоху было предложено использовать нормированное (стандартное) нормальное распределение, для которого были составлены подробные таблицы. Нормированное нормальное распределение имеет параметры: µ=0; σ = 1 (рис.1, 5). Это распределение получается, если пронормировать нормально распределенную величину Х по формуле:

Для нормированного нормального распределения характерно, что в интервал µ± σ попадают 68 % всех результатов, в интервал µ± 2σ попадают 95% всех результатов, в интервал µ± 3σ попадают 99 % всех результатов.

Критерии согласия

Чтобы проверить, соответствует ли распределение нормальному закону, существует много методов.

Можно использовать свойства нормального распределения (равенство среднего, моды и медианы).

Однако более точные результаты дают критерии согласия. В зависимости от объема выборки (n) следует использовать различные критерии:

Источник

Почему с нормальным распределением не все нормально

Нормальное распределение (распределение Гаусса) всегда играло центральную роль в теории вероятностей, так как возникает очень часто как результат воздействия множества факторов, вклад любого одного из которых ничтожен. Центральная предельная теорема (ЦПТ), находит применение фактически во всех прикладных науках, делая аппарат статистики универсальным. Однако, весьма часты случаи, когда ее применение невозможно, а исследователи пытаются всячески организовать подгонку результатов под гауссиану. Вот про альтернативный подход в случае влияния на распределение множества факторов я сейчас и расскажу.

Краткая история ЦПТ. Еще при живом Ньютоне Абрахам де Муавр доказал теорему о сходимости центрированного и нормированного числа наблюдений события в серии независимых испытаний к нормальному распределению. Весь 19 и начало 20 веков эта теорема послужила ученым образцом для обобщений. Лаплас доказал случай равномерного распределения, Пуассон – локальную теорему для случая с разными вероятностями. Пуанкаре, Лежандр и Гаусс разработали богатую теорию ошибок наблюдений и метод наименьших квадратов, опираясь на сходимость ошибок к нормальному распределению. Чебышев доказал еще более сильную теорему для суммы случайных величин, походу разработав метод моментов. Ляпунов в 1900 году, опираясь на Чебышева и Маркова, доказал ЦПТ в нынешнем виде, но только при существовании моментов третьего порядка. И только в 1934 году Феллер поставил точку, показав, что существование моментов второго порядка, является и необходимым и достаточным условием.

ЦПТ можно сформулировать так: если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию отличную от нуля, то суммы (центрированные и нормированные) этих величин сходятся к нормальному закону. Именно в таком виде эту теорему и преподают в вузах и ее так часто используют наблюдатели и исследователи, которые не профессиональны в математике. Что в ней не так? В самом деле, теорема отлично применяется в областях, над которыми работали Гаусс, Пуанкаре, Чебышев и прочие гении 19 века, а именно: теория ошибок наблюдений, статистическая физика, МНК, демографические исследования и может что-то еще. Но ученые, которым не достает оригинальности для открытий, занимаются обобщениями и хотят применить эту теорему ко всему, или просто притащить за уши нормальное распределение, где его просто быть не может. Хотите примеры, они есть у меня.

Коэффициент интеллекта IQ. Изначально подразумевает, что интеллект людей распределен нормально. Проводят тест, который заранее составлен таким образом, при котором не учитываются незаурядные способности, а учитываются по-отдельности с одинаковыми долевыми факторами: логическое мышление, мысленное проектирование, вычислительные способности, абстрактное мышление и что-то еще. Способность решать задачи, недоступные большинству, или прохождение теста за сверхбыстрое время никак не учитывается, а прохождение теста ранее, увеличивает результат (но не интеллект) в дальнейшем. А потом филистеры и полагают, что «никто в два раза умнее их быть не может», «давайте у умников отнимем и поделим».

Второй пример: изменения финансовых показателей. Исследования изменения курса акций, котировок валют, товарных опционов требует применения аппарата математической статистики, а особенно тут важно не ошибиться с видом распределения. Показательный пример: в 1997 году нобелевская премия по экономике была выплачена за предложение модели Блэка — Шоулза, основанной на предположении нормальности распределения прироста фондовых показателей (так называемый белый шум). При этом авторы явно заявили, что данная модель нуждается в уточнении, но всё, на что решилось большинство дальнейших исследователей – просто добавить к нормальному распределению распределение Пуассона. Здесь, очевидно, будут неточности при исследовании длинных временных рядов, так как распределение Пуассона слишком хорошо удовлетворяет ЦПТ, и уже при 20 слагаемых неотличимо от нормального распределения. Гляньте на картинку снизу (а она из очень серьезного экономического журнала), на ней видно, что, несмотря на достаточно большое количество наблюдений и очевидные перекосы, делается предположение о нормальности распределения.

Весьма очевидно, что нормальными не будет распределения заработной платы среди населения города, размеров файлов на диске, населения городов и стран.

Общее у распределений из этих примеров – наличие так называемого «тяжелого хвоста», то есть значений, далеко лежащих от среднего, и заметной асимметрии, как правило, правой. Рассмотрим, какими еще, кроме нормального могли бы быть такие распределения. Начнем с упоминаемого ранее Пуассона: у него есть хвост, но мы же хотим, чтобы закон повторялся для совокупности групп, в каждой из которых он наблюдается (считать размер файлов по предприятию, зарплату по нескольким городам) или масштабировался (произвольно увеличивать или уменьшать интервал модели Блэка — Шоулза), как показывают наблюдения, хвосты и асимметрия не исчезают, а вот распределение Пуассона, по ЦПТ, должно стать нормальным. По этим же соображениям не подойдут распределения Эрланга, бета, логонормальное, и все другие, имеющие дисперсию. Осталось только отсечь распределение Парето, а вот оно не подходит в связи с совпадением моды с минимальным значением, что почти не встречается при анализе выборочных данных.

Распределения, обладающее необходимыми свойствами, существуют и носят название устойчивых распределений. Их история также весьма интересна, а основная теорема была доказана через год после работы Феллера, в 1935 году, совместными усилиями французского математика Поля Леви и советского математика А.Я. Хинчина. ЦПТ была обобщена, из нее было убрано условие существования дисперсии. В отличие от нормального, ни плотность ни функция распределения у устойчивых случайных величин не выражаются (за редким исключением, о котором ниже), все что о них известно, это характеристическая функция (обратное преобразование Фурье плотности распределения, но для понимания сути это можно и не знать).
Итак, теорема: если случайные величины независимы, одинаково распределены, то суммы этих величин сходятся к устойчивому закону.

Теперь определение. Случайная величина X будет устойчивой тогда и только тогда, когда логарифм ее характеристической функции представим в виде:

где .

В самом деле, ничего сильно сложного здесь нет, просто надо объяснить смысл четырех параметров. Параметры сигма и мю – обычные масштаб и смещение, как и в нормальном распределении, мю будет равно математическому ожиданию, если оно есть, а оно есть, когда альфа больше одного. Параметр бета – асимметрия, при его равенстве нулю, распределение симметрично. А вот альфа это характеристический параметр, обозначает какого порядка моменты у величины существуют, чем он ближе к двум, тем больше распределение похоже на нормальное, при равенстве двум распределение становиться нормальным, и только в этом случае у него существуют моменты больших порядков, также в случае нормального распределения, асимметрия вырождается. В случае, когда альфа равна единице, а бета нулю, получается распределение Коши, а в случае, когда альфа равна половине, а бета единице – распределение Леви, в других случаях не существует представления в квадратурах для плотности распределения таких величин.
В 20 веке была разработана богатая теория устойчивых величин и процессов (получивших название процессов Леви), показана их связь с дробными интегралами, введены различные способы параметризации и моделирования, несколькими способами были оценены параметры и показана состоятельность и устойчивость оценок. Посмотрите на картинку, на ней смоделированная траектория процесса Леви с увеличенным в 15 раз фрагментом.

Именно занимаясь такими процессами и их приложением в финансах, Бенуа Мандельброт придумал фракталы. Однако не везде было так хорошо. Вторая половина 20 века прошла под повальным трендом прикладных и кибернетических наук, а это означало кризис чистой математики, все хотели производить, но не хотели думать, гуманитарии со своей публицистикой оккупировали математические сферы. Пример: книга «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» американца Мостеллера, задача №11:

Авторское решение этой задачи, это просто поражение здравого смысла:

Такая же ситуация и с 25 задачей, где даются ТРИ противоречащих ответа.

Но вернемся к устойчивым распределениям. В оставшейся части статьи я попытаюсь показать, что не должно возникать дополнительных сложностей при работе с ними. А именно, существуют численные и статистические методы, позволяющие оценивать параметры, вычислять функцию распределения и моделировать оные, то есть работать так же, как и с любым другим распределением.

Моделирование устойчивых случайных величин. Так как все познается в сравнении, то напомню сначала наиболее удобный, с точки зрения вычислений, метод генерирования нормальной величины (метод Бокса – Мюллера): если – базовые случайные величины (равномерно распределены на [0, 1) и независимы), то по соотношению

получится стандартная нормальная величина.

Теперь зададим заранее альфу и бету, пусть V и W, независимые случайные величины: V равномерно распределена на , W экспоненциально распределена с параметром 1, определим и , тогда по соотношению:

получим устойчивую случайную величину, для которой мю равна нулю, а сигма единице. Это так называемая стандартная устойчивая величина, которую для общего случая (при альфа не равном единице), просто достаточно помножить на масштаб и прибавить смещение. Да, соотношение сложнее, но оно все равно достаточно простое, чтобы его использовать даже в электронных таблицах (Ссылка). На рисунках снизу показаны траектории моделирования модели Блэка — Шоулза сперва для нормального, а затем для устойчивого процесса.

Можете поверить, график изменения цен на биржах больше похож на второй.

Оценка параметров устойчивого распределения. Так как вставлять формулы на хабре достаточно сложно, я просто оставлю ссылку на статью, где подробно разбираются всевозможные методы для оценки параметров, или на мою статью на русском языке, где приводятся только два метода. Также можно найти замечательную книгу, в которой собрана вся теория по устойчивым случайным величинам и их приложениям (Zolotarev V., Uchaikin V. Stable Distributions and their Applications. VSP. M.: 1999.), или ее чисто научный русский вариант (Золотарев В.М. Устойчивые одномерные распределения. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 304 с.). В этих книгах также присутствуют методы для вычисления плотности и функции распределения.

В качестве заключения могу лишь порекомендовать, при анализе статистических данных, когда наблюдается асимметрия или значения, сильно превосходящие ожидаемые, спрашивать самих себя: «правильно ли выбран закон распределения?» и «а все ли с нормальным распределением нормально?».

Источник

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами

13.5.4 оПТНБМШОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ

чБЦОПУФШ ОПТНБМШОПЗП ЪБЛПОБ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ПРТЕДЕМСЕФУС ТСДПН РТЙЮЙО:

1. фБЛПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ УМХЦЙФ ИПТПЫЕК НБФЕНБФЙЮЕУЛПК НПДЕМША ДМС ТСДБ ОБВМАДБЕНЩИ УМХЮБКОЩИ СЧМЕОЙК Й ЬФПФ ЖБЛФ НПЦОП УФТПЗП ДПЛБЪБФШ ДМС НОПЗЙИ УЙФХБГЙК.

2. оПТНБМШОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РТЙОБДМЕЦЙФ Л ЮЙУМХ ОЕНОПЗЙИ, РПЪЧПМСАЭЙИ ПРЙУЩЧБФШ УЙФХБГЙЙ У РТПЙЪЧПМШОЩН ЮЙУМПН УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО.

3. мАВЩЕ МЙОЕКОЩЕ ЛПНВЙОБГЙЙ ОПТНБМШОЩИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО, ФБЛЦЕ СЧМСАФУС ОПТНБМШОЩНЙ. дМС ВПМШЫЙОУФЧБ ДТХЗЙИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ЬФП ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ОЕ УРТБЧЕДМЙЧП.

4. оПТНБМШОЩК (ЗБХУУПЧУЛЙК) УМХЮБКОЩК РТПГЕУУ НПЦЕФ ВЩФШ РПМОПУФША ПРЙУБО (Ч УФБФЙУФЙЮЕУЛПН УНЩУМЕ) РТЙ РПНПЭЙ ФПМШЛП РЕТЧПЗП Й ЧФПТПЗП НПНЕОФПЧ. дМС ДТХЗЙИ РТПГЕУУПЧ ЬФП ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ОЕ ЧЕТОП.

5. йУЮЕТРЩЧБАЭЙК УФБФЙУФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч ИПДЕ УЙУФЕНОПЗП БОБМЙЪБ ЛБЛ ДМС МЙОЕКОЩИ, ФБЛ Й ДМС ОЕМЙОЕКОЩИ РТЕПВТБЪПЧБОЙК УМХЮБКОЩИ РТПЮЕУПЧ ЮБУФП ХДБЕФУС ЧЩРПМОЙФШ, ФПМШЛП ЕУМЙ ЬФЙ РТПГЕУУЩ ОПТНБМШОЩЕ (ЗБХУУПЧУЛЙЕ).

жХОЛГЙС РМПФОПУФЙ ОПТНБМШОПЗП ЪБЛПОБ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЙНЕЕФ ЧЙД.

.

.

тЙУ.1	тЙУ.2

зТБЖЙЛЙ РМПФОПУФЙ Й ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЧЕТПСФОПУФЕК ОПТНБМШОПЗП ЪБЛПОБ РТЙЧЕДЕОЩ ОБ ТЙУХОЛБИ 1 Й 2. зТБЖЙЛ РМПФОПУФЙ ОПТНБМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС ОБЪЩЧБАФ ОПТНБМШОПК ЛТЙЧПК. пОБ РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК ЛПМПЛПМППВТБЪОХА ЖЙЗХТХ, УЙННЕФТЙЮОХА ПФОПУЙФЕМШОП РТСНПК И = Б Й БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙ РТЙВМЙЦБАЭХАУС Л ПУЙ БВУГЙУУ РТЙ . лБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙС ОПТНБМШОЩК ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС ПРТЕДЕМСЕФУС ДЧХНС РБТБНЕФТБНЙ Б Й .

оБКДЕН НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙА УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ, РПДЮЙОСАЭЕКУС ОПТНБМШОПНХ ЪБЛПОХ.

.

фБЛ ЛБЛ (РПД ЪОБЛПН ЙОФЕЗТБМБ У УЙННЕФТЙЮОЩНЙ РТЕДЕМБНЙ УФПЙФ ОЕЮЕФОБС ЖХОЛГЙС), .

фБЛЙН ПВТБЪПН ЙНЕЕН

уЧПКУФЧБ ОПТНБМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС.

уЧПКУФЧП 1. жХОЛГЙС РМПФОПУФЙ ОПТНБМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС Ч ФПЮЛЕ И = Б ЙНЕЕФ НБЛУЙНХН, ТБЧОЩК .

уЧПКУФЧП 2. зТБЖЙЛ ЖХОЛГЙЙ РМПФОПУФЙ f(x) УЙННЕФТЙЮЕО ПФОПУЙФЕМШОП РТСНПК, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ Б: И = Б.

йЪ ЬФПЗП УЧПКУФЧБ УМЕДХЕФ ТБЧЕОУФЧП ДМС ОПТНБМШОП ТБУРТЕДЕМЕООПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ НПДЩ, НЕДЙБОЩ Й НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС.

уЧПКУФЧП 3. лТЙЧБС ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЙНЕЕФ ДЧЕ ФПЮЛЙ РЕТЕЗЙВБ У ЛППТДЙОБФБНЙ Й .

рТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ РБТБНЕФТБ Б ЖПТНБ ОПТНБМШОПК ЛТЙЧПК ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС, ЗТБЖЙЛ ЛТЙЧПК УДЧЙЗБЕФУС ЧМЕЧП ЙМЙ ЧРТБЧП. рТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ ЦЕ РБТБНЕФТБ НЕОСЕФУС ЖПТНБ ЛТЙЧПК. у ЧПЪТБУФБОЙЕН НБЛУЙНБМШОБС ПТДЙОБФБ ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС ХНЕОШЫБЕФУС, Б У ХНЕОШЫЕОЙЕН – ЧПЪТБУФБЕФ. фБЛ РМПЭБДШ, ПЗТБОЙЮЕООБС ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС Й ПУША БВУГЙУУ, ТБЧОБ ЕДЙОЙГЕ, ФП У ТПУФПН ЛТЙЧБС ТБУРТЕДЕМЕОЙС УЦЙНБЕФУС Л ПУЙ БВУГЙУУ Й ТБУФСЗЙЧБЕФУС ЧДПМШ ОЕЕ, У ХНЕОШЫЕОЙЕН ОПТНБМШОБС ЛТЙЧБС ТБУФСЗЙЧБЕФУС ЧДПМШ ПУЙ ПТДЙОБФ ( ТЙУ. 3).

тЙУ.3

жХОЛГЙС РМПФОПУФЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС У РБТБНЕФТБНЙ Б = 0, = 1 ОБЪЩЧБЕФУС ОПТНЙТПЧБООПК РМПФОПУФША, Б ЕЕ ЗТБЖЙЛ ОПТНЙТПЧБООПК ОПТНБМШОПК ЛТЙЧПК.

чЕТПСФОПУФШ РПРБДБОЙС Ч ЪБДБООЩК ЙОФЕТЧБМ.

рП ПРТЕДЕМЕОЙА ЙНЕЕН

ЗДЕ – ЖХОЛГЙС мБРМБУБ, ЕЕ ЪОБЮЕОЙС ФБВХМЙТПЧБОЩ. жХОЛГЙС мБРМБУБ ОЕЮЕФОБС ЖХОЛГЙС, ФП ЕУФШ ж(-И) = ж(И).

еУМЙ РТПНЕЦХФПЛ УЙННЕФТЙЮЕО ПФОПУЙФЕМШОП ФПЮЛЙ Б, ФП Й

ч ЮБУФОПУФЙ РТЙ , РПМХЮЙН

, ФП ЕУФШ ЧЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП БВУПМАФОБС ЧЕМЙЮЙОБ ПФЛМПОЕОЙС РТЕЧЩУЙФ ХФТПЕООПЕ УТЕДОЕЕ ЛЧБДТБФЙЮОПЕ ПФЛМПОЕОЙЕ ПЮЕОШ НБМБ. рТБЛФЙЮЕУЛЙ ФБЛЙЕ УПВЩФЙС НПЦОП УЮЙФБФШ ОЕЧПЪНПЦОЩНЙ. ч ЬФПН УПУФПЙФ РТБЧЙМП ФТЕИ УЙЗН.

.

Источник