За что отвечает угловой коэффициент линейной функции
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Уравнение с угловым коэффициентом
Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Решение
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
Решим задачу обратную данной.
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
График линейной функции, его свойства и формулы
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Угловой коэффициент.
Угловой коэффициент— коэффициент k в уравнении прямой на плоскости y = kx + b. Он численно равняется тангенсу угла между выбранной прямой и осью 0х. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси 0х до прямой против хода часовой стрелки и располагается и пределах от 0 до 180 градусов.
Для обозначения углового коэффициента употребляют латинский символ k. И, основываясь на определении получаем:
Когда прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол ее наклона расценивают, как равный нулю.
Когда прямая параллельна оси 0у, то угловой коэффициент отсутствует и принято указывать, что угловой коэффициент обращается в бесконечность.
Положительный угловой коэффициент прямой свидетельствует о росте графика функции, отрицательный угловой коэффициент – об убывании.
Угловой коэффициент прямой так же есть возможность вычислить, когда установлены координаты двух произвольных точек прямой:
Тогда, в образовавшемся прямоугольном треугольнике M1РM2 вычисляем тангенс:
Линейная функция (ЕГЭ 2022)
Зависимость одной величины от другой математики называют функций одной величины от другой.
Количество денег — это функция вашей зарплаты (иногда говорят «от зарплаты»).
Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.
Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.
Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.
Линейная функция — коротко о главном
Линейная функция –это функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (коэффициенты).
Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:
Общие варианты представлены на рисунке:
Линейная функция
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции \( y=\sqrt
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений \( E\left( y \right)\).
Область определения линейной функции
Какими могут быть значения аргумента линейной функции \( y=kx+b\)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:
\( D\left( y \right)=\mathbb
А множество значений?
Область значений линейной функции
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент \( x\), тем больше значение функции \( y\).
Значит, \( y\) так же как и \( x\) может принимать все возможные значения, то есть \( E\left( y \right)=\mathbb
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: \( y=kx+b\). Какие нужно выбрать коэффициенты \( k\) и \( b\), чтобы значение функции y не зависело от аргумента \( x\)?
А вот какие: \( b\) – любое, но \( k=0\). И правда, каким бы ни был аргумент \( x\), при умножении на \( k=0\) получится \( 0\)!
Тогда функция станет равна \( y=0\cdot x+b=b\), то есть она принимает одно и то же значение при всех \( x\):
\( y = kx + b:<\rm< >>\left[ \begin
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
Три задачи на линейную функцию
Решение задачи №1
Пусть начальное значение аргумента равно некому числу \( <
Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Решение задачи №2
Аналогично предыдущей задаче:
Начальное значение аргумента равно \( <
Начальное значение функции: \( <
В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Определение прямой пропорциональной зависимости
Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.
При изменении аргумента линейной функции на \( \Delta x\) функция изменяется на \( k\cdot \Delta x\). То есть изменение функции всегда ровно в \( \mathbf
\) раз больше изменения аргумента.
По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.
Решение задачи №3
Подставим известные значения аргумента и функции в формулу \( y=kx+b\):
Получили два уравнения относительно \( k\) и \( b\). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
График линейной функции
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция \( y=2x+1\). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента \( x\) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары \( \left( x;y \right)\) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент \( x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).
Итак, первая точка имеет координаты \( \left( 0;1 \right)\).
Теперь возьмем любое другое число в качестве \( x\), например, \( x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).
Вторая точка имеет координаты \( \left( 1;3 \right)\).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: \( y=
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений \( x\), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\).
Давай разберемся, на что они влияют.
Коэффициенты линейной функции
Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).
Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?
Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).
Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):
\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)
Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.
Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.
Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.
Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k
Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).
Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).
Получается, что \( BC = k \cdot AC<\rm< >> \Rightarrow <\rm< >>k = \frac<
Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда \( k
Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.
Разбор еще трех задач на линейную функцию
1. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
2. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
3. График какой из функций изображен на рисунке?
Решение задачи №1
Коэффициент \( b\) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью \( \displaystyle Oy\):
Угловой коэффициент \( \displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой.
Для его нахождения выберем две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( \displaystyle AB\):
Линейная функция ее свойства и график. Угловой коэффициент линейной функции
Линейная функция
Линейная функция – это функция вида:
здесь k и b являются действительными числами.
Свойства линейной функции
Линейная функция имеет следующие свойства:
Угловой коэффициент линейной функции
Коэффициент k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент определяет угол между графиком линейной функции и положительным направлением оси абсцисс.
График линейной функции
График линейной функции есть прямая. Вот график линейной функции y = 2x + 1 
здесь угловой коэффициент больше нуля, угол прямой линии y = 2x + 1 с положительным направлением оси x – острый.
Как изменяется график линейной функции в зависимости от числа b в формуле линейной функции y = kx + b? Если b увеличивать, график смещается вверх, если число b уменьшать, то график y = kx + b смещается вниз.
График линейной функции y = kx + b построить вы можете сами прямо сейчас с помощью построителя графиков. Выберете в нём вид функции «Линейная: y = k * x + b» и нажмите кнопку «Построить график». Проведите эксперименты: устанавливайте угловые коэффициенты больше и меньше нуля, меняйте значения числа b и посмотрите, как будет изменяться график линейной функции.