Лабораторно-практическое занятие с элементами исследования по темам «Прямая Эйлера» и «Окружность Эйлера»
Оборудование:
Цели:
Ход урока
1. Вступительное слово учителя.
В какой-то мере каждый человек способен к творчеству. Однако мера творческих способностей для различных людей различна.
Необходимо направлять сознание на поиск лучшего, более совершенного; развивать чувство неудовлетворённости уже достигнутым; воспитывать в себе привычку к систематическому напряжённому самостоятельному труду.
2 ученик. Несколько шагов по мягкому ковру, несколько взмахов руками. Ломило грудь, ныла поясница, несколько раз мучительно резко потянуло в глазу. Откуда такие немощи? Это в двадцать- то восемь лет! На какой- то миг пронзительно захотелось бросить всё и залечь сурком в тёплую мягкую постель. И отоспаться за все долгие-долгие бессонные ночи. Но это невозможно.
3 ученик. Смешно говорить о честолюбии, но именно оно явилось причиной этой изнурительной спешки. Работа была трудной, даже для него, привыкшего считать безделками то, перед чем другие в бессилии опускали руки. Цифры, цифры, цифры… Колонки цифр, страницы цифр, стопки исписанных страниц. Выкладки и ещё выкладки…
4 ученик (Эйлер). Честь, моя честь, честь ученого, поставлена на карту. Надо за трое суток выполнить, важное правительственное задание, выполнить во что бы то ни стало. Почему я так опрометчиво дал это обязательство? Просили же другие несколько месяцев! Работа и вправду оказалась трудной, но чем труднее, тем заманчивее. Это вызов уму, человеческому уму. Вызов должен быть принят, брошенная перчатка должна быть поднята. Иначе ты окажешься трусом, умственным трусом, что едва ли не хуже, чем быть трусом в поединке по поводу оскорблённой чести.
5 ученик. Математик перчатку поднял. Работа была трудной, но она была и чрезвычайно захватывающей, настолько захватывающей, что математик, забывая о сне и еде, весь отдавался во власть чарующей гармонии строгих и последовательных зависимостей. И снова цифры, формулы, цифры… Эйлер потёр глаз ладонью. Боль, кажется, немножко утихла.
4 ученик (Эйлер). Это – моя жизнь. Без наслаждения музыкой математики она не имеет смысла. Как хорошо сказал кто-то из старых геометров – жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. Как бы порой и не хотелось бросить всё и не думать о гвоздём засевших в голове вопросах…
6 ученик. Работа была окончена в срок. Но оставила после себя страшный, чудовищный след – глаз, его правый глаз, так мучительно нывший в последнее время, не выдержал сверхчеловеческого напряжения и вытек. Но математик не перестал вычислять. А когда вычислять стало уже нельзя, прекратилась и жизнь. После его смерти сказали так: Эйлер перестал вычислять и жить. Именно так – вычислять, а поэтому и жить.
7 ученик. Это был один из величайших математиков всех времен. Родился он в самом начале XVIII ст. в Швейцарии, но почти половину своей долгой жизни прожил в России. Здесь он умер, здесь и покоится его прах. Мы по праву называем Эйлера отечественным математиком.
2. Актуализация знаний.
Каждому ученику предлагается лист с задачами по готовым чертежам для устной работы. Актуализируются следующие знания: а) признаки подобия треугольников; б) медианой является множество точек, которое состоит из середин отрезков, параллельных стороне, к которой она проведена; в) в подобных треугольниках сходственным сторонам пропорциональны:
3. Практическая работа №1. (Прямая Эйлера).
1. На доске построен прямоугольный треугольник. ABC с прямым углом С.
Учитель на данном чертеже строит:
В результате построения наблюдаем, что точки Н(С), М, О лежат на одной прямой.
Как расположены эти точки в остроугольном и тупоугольном треугольниках?
2. Ученикам предлагается провести практическую работу на альбомных листах.
I варианту предлагается остроугольный треугольник;
II варианту – тупоугольный треугольник.
Необходимо построить (алгоритм построения):
Вопросы учителя:
Учителю в начале дискуссии желательно «посеять» сомнения. Для этого нужно найти ту работу, в которой точки не лежат на одной прямой.В результате анализа результатов практической работы ребята приходят к выводу, что в большинстве работ эти три точки лежат на одной прямой(прямой Эйлера), но для того чтобы убедиться в истинности данного утверждения, нужно его доказать.
Впервые эта задача была решена Эйлером в 1765 г. и послужила началом так называемой «геометрии треугольника».
Перед тем, как приступить к доказательству, используя практическую работу, предлагается ответить на вопрос. Какие стороны пересекает прямая Эйлера: а) в остроугольном треугольнике (наибольшую и наименьшую), б) в тупоугольном треугольнике (наибольшую и среднюю)?
4. Доказательство того факта, к которому пришли в результате выполнения практической работы №1.
Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (прямой Эйлера).
Дано: М – точка пересечения медиан; Н – точка пересечения высот; О – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Геометрия, 10—11 классы (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.) 2009
Страница № 201.
Учебник: Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 255 с.: ил.
OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):
с центром С радиуса г — в окружность с центром Сх радиуса \k\ г, где ОСх = ЮС. Докажите эти утверждения самостоятельно.
Перейдем теперь к задаче Эйлера.
Доказать, что в произвольном треугольнике:
1) точки, симметричные точке Н пересечения высот (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности;
2) середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку Н с вершинами, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего точку Н с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (эта окружность называется окружностью Эйлера);
3) точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку Н с центром описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 1:2, считая от центра описанной окружности (прямая, на которой лежат четыре точки — точка Н, точка пересечения медиан, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера, называется прямой Эйлера);
4) точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.
Пусть ABC — данный треугольник (рис. 217). Условимся о следующих обозначениях: G — точка пересечения медиан, О — центр описанной окружности, R — ее радиус, А19 Вг и Сх — середины сторон ВС, СА и АВ, А2, В2 и С2 — основания высот, проведенных к этим сторонам, А3, В3 и С3 — середины отрезков АН, ВН и СН, А4, В4 и С4 — точки, симметричные точке Н относительно сторон треугольника, А5, В5 и С5 — точки, симметричные точке Н относительно середин этих сторон, Ае, Б6 и С6 — точки, симметричные точке О относительно прямых ВгС19 СхАг и АХВХ (на рисунке они не отмечены). Приступим теперь к решению задачи.
1) Если один из углов треугольника ABC, например угол А, — прямой, то точки Н, В4 и С4 совпадают с точкой А, точка В5 — с точкой С, а точка С5 — с точкой В. Поскольку ZBA4C = ZBAbC =
Учебник: Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 255 с.: ил.
Задача эйлера доказать что в произвольном треугольнике
«Единственный путь, ведущий к знанию – деятельность»
Однако многие школьники считают геометрию одним из сложных и неинтересных предметов. Пожалуй, трудно найти родителя школьника или будущего школьника, кто не слышал бы страшилку про геометрию: «Геометрия это ужас, её никто не понимает». Проведенный нами опрос среди учащихся 10 классов (32 человека) Кубанского казачьего кадетского корпуса им. атамана М.П. Бабыча показал, что 75% респондентов считают геометрию сложным и неинтересным разделом математики, 70% убеждены в том, что не знают планиметрию 7-9 класса.
Актуальность применения компьютера и возможностей компьютерных технологий в процессе изучения геометрического материала обусловлена рядом преимуществ по сравнению с традиционным обучением, среди которых расширенный по сравнению с геометрией “на бумаге” набор элементарных операций, упрощающих построение чертежа за счет снижения технических трудностей и рутинной работы, связанной с выполнением однотипных операций.
Экспериментальный метод в обучении математике появился еще в середине XVIII века благодаря М.В. Ломоносову. Он предлагал начинать объяснение нового материала с постановки специальных демонстрационных экспериментов, делающих истинность научных положений наглядной, что способствовало бы выработке интереса и потребности к знаниям [4].
Из истории математики нам известно, что многие математические результаты были получены в результате исследования, посредством экспериментов и индуктивных рассуждений, и только позднее они были доказаны дедуктивным методом. Среди них можно выделить математические открытия Л.Эйлера, которые являются уникальным результатом творческой исследовательской деятельности.
Темапроекта « Экспериментальный метод изучения задачи Эйлера».
Цельпроекта: экспериментальный метод изучения некоторых сложных задач планиметрии из школьного курса геометрии 10 класса с использованием системы динамической геометрии GeoGebra.
Объектисследования: система динамической геометрии GeoGebra.
Предмет исследования: модели решения сложных задач планиметрии в системе динамической геометрии GeoGebra.
1. Некоторые сведения из планиметрии
Четыре замечательные точки треугольника
Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Одной из самых интересных фигур является треугольник, который привлекал внимание как ученых древности (Герон, Менелай, Птолемей), так и ученых более близких к нашему времени (Эйлер, Понселе и др.). Поэтому в качестве одной из сложных задач планиметрии была взята задача Эйлера из главы VIII «Некоторые сведения из планиметрии» учебника 10-11 класса, необязательная для базового уровня подготовки, но необходимая для профильной подготовки учащихся [2].
С четырьмя замечательными точками треугольника, о которых идет речь в задаче Эйлера, мы знаком ились в курсе геометрии 79 класса, доказывая следующие теоремы и следствия из них[ 3 ]:
биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности;
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (медиатрисы) пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности;
высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника;
медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника или центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
В задаче Эйлера речь идет об окружности девяти точек – окружности, на которой лежат основания высот, основания медиан, точки, расположенные на серединах отрезков от ортоцентра до вершин треугольника; о точках, лежащих на одной прямой – прямой Эйлера (ортоцентр, центроид и центр описанной окружности); о свойствах центроида, центра окружности девяти точек и о других свойствах
Рис унок 1. Окружность девяти точек
D, Е,F основания высот треугольника ABC ;
H ортоцентр треугольника ABC (точка пересечения высот);
X,Y,Z середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром.
Прямая Эйлера: ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит отрезок, соединяющий ортоцентр и центр описанной окружности, в отношении 2 1, считая от ортоцентра.
Прямая, на которой лежат эти три точки, называется прямой Эйлера (рисунок 2).
Рисунок 2. Прямая Эйлера
Свойства прямой Эйлера и окружности девяти точек :
Рисунок 3. Демонстрация первого свойства
Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (рисунок 3).
Точки, симметричные точке пересечения высот H (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.
2.Экспериментальный метод изучения задачи Эйлера
2.1.Графические возможности GeoGebra
GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android. С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.
Рассмотрим графические возможности программы GeoGebra [5]:
с тандартный набор инструментов, позволяющий создавать основные геометрические объекты (точка, линия, окружность, вектор, многоугольник, угол);
и нструменты, реализующие дополнительные операции над геометрическими объектами (деление отрезка пополам, деление угла на n равных частей и другие);
инструменты, позволяющие выполнять экспериментальную и исследовательскую работу (измерение длины отрезка, измерение величины угла и др.);
ввод данных, команд и функций в строке ввода;
возможность движущейся точки оставлять след;
возможность создания анимации – автоматического перемещения точек вдоль заданных траекторий.
Ниже представлены инструменты для экспериментальной работы:
Постановка задачи: п остроить точку пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Показать, что она является центром описанной окружности.
Построим треугольник АВС.
Соединим отрезками точку О с вершинами треугольника (построим отрезки ОА, ОВ, ОС).
Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.
Проведем окружность с центром О и радиусом ОА.
С помощью инструмента « Текст » выведем на полотно длины отрезков ОА, ОВ, ОС.
С помощью инструмент а «Отношение объектов» определим соотношение длин отрезков O А, O В, O С.
Рис унок 6. Вторая замечательн ая точк а треугольника
Построим треугольник АВС.
Через его вершины проведём прямые, перпендикулярные противоположным сторонам и найдём точки их пересечения D, E, Fс этими сторонами.
Отметим углы при основаниях высот. Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.
Форму треугольника можно изменять, но высоты или их продолжения будут пересекаться в одной точке.
Построим треугольник АВС.
Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.
Используя формулу, покажем, что эти отношения равны между собой.
2.3.Построениеокружности девяти точек
Возможности GeoGebra позволяют не только достаточно быстро построить окружность девяти точек, используя готовые инструменты динамической системы, но и продемонстрировать в динамике ее свойства.
Решение: а лгоритм построения окружности девяти точек в среде GeoGebra включает в себя следующие шаги построения.
Построить произвольный треугольник ABC
Отметить середины сторон треугольника: A 1, B 1, C 1
Отметить точку пересечения высот H как пересечение двух объектов
Построить окружность по трем точкам
Далее продемонстрируем свойство окружности девяти точек: радиусокружности девяти точекв два раза меньше радиуса описанной окружности (рисунок 3) .
Постановка задачи: построить окружность девяти точек. Показать, что ее радиус меньше радиуса описанной окружности в два раза.
Построим радиус GC 1 окружности Эйлера.
Построим радиус АО описанной окружности.
Выполнив динамический чертеж (перемещая одну из вершин треугольника). Понаблюдаем за значением отношения двух радиусов.
2.4.Построениепрямой Эйлера
Решение: а лгоритм построения, наглядно подтверждающий данный факт, включает в себя следующие шаги (рисунок 2).
Построить произвольный треугольник ABC
Отметить точку пересечения медиан М (центроид) как пересечение двух объектов
Отметить точку пересечения высот H (ортоцентр) как пересечение двух объектов
Построить серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Отметить точку пересечения серединных перпендикуляров О как пересечение двух объектов
Провести прямую линию через две точки, например, О и H
Экспериментальным методом также наглядно подтверждаются следующие два свойства задачи Эйлера:
Точки, симметричные точке пересечения высотH(или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности (рисунок 8).
Точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности девяти точек.
Алгоритм построения динамического чертежа первого свойства :
Шаги построения динамического чертежа
Постройте остроугольный треугольник ABC
Постройте высоты треугольника: AA 1, BB 1, CC 1 (точки А1, В1, С1 определяются как точки пересечения двух объектов).
Отметьте точку пересечения высот H как точку пересечения двух объектов
Постройте окружность по трем точкам А, В и С
«Окружность по трем точкам»
Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой ВС. Обозначьте А2
«Отражение относительно прямой»
Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой АС. Обозначьте В2
«Отражение относительно прямой»
Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой АВ. Обозначьте С2
«Отражение относительно прямой»
Вывод: точки, симметричные точке пересечения высот H относительно сторон треугольника, лежат на описанной вокруг треугольника АВС окружности
Достигнутые результаты носят практико-ориентированный характер: созданные модели могут быть использованы на при проведении уроков геометрии, на занятиях внеурочной деятельности, в домашних условиях, для создания образовательных веб-ресурсов.
Список использованной литературы
1.Андрафанова Н.В. Компьютерные технологии в организации внеурочной деятельности в предметной области «Математика»//Мир педагогики и психологии: международный научно–практический журнал. Нижний Новгород: НИЦ «Открытое знание», 2020. №12 (53). С.25-33.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2009.
3. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. Просвещение, 2016. – 300-328 с.
5. О.Л. Безумова, Р.П. Овчинникова, О.Н. Троицкая и др. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие. КИРА, 2011. – 140 с.
Урок геометрии по теме «Теорема Эйлера». 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Цель урока: Изучить теорему Эйлера, выражающую топологические свойства многогранников.
Задачи:
Тип урока: деловая игра, длительность урока 90 минут.
Урок построен в форме деловой игры. После формулировки темы урока, методом мозгового штурма составляется план изучения темы, формируются разноуровневые группы, выбираются направления деятельности. Первая часть урока посвящена поиску и отбору информации, исследовательской деятельности. Вторая часть – это представление результатов групп.
Оборудование урока и ресурсное обеспечение:
Структура урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Постановка учебной задачи урока.
Учитель предлагает учащимся задачу семи мостов Кёнигсберга — одна из первых задач топологии, рассмотренная Эйлером.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).
Решение задачи. На упрощённой схеме части города, мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа) Размышляя над задачей, Эйлер сделал следующие выводы:
У графа кенигсбергских мостов четыре нечетных вершины, то есть все. Таким образом, пройти по всем мостам, ни по одному не проходя дважды, не представляется возможным.
Нетрадиционное решение задачи. На карте старого Кёнигсберга был ещё один мост, появившийся чуть позже и соединявший остров Ломзе с южной стороной. Своим появлением этот мост обязан самой задаче Эйлера-Канта. Произошло это при следующих обстоятельствах. Император Вильгельм был известен своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали Кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению, Кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли. Кайзер положил листок на стол, взял перо и написал следующее: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который назвали «мостом Кайзера». А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.
И это не единственная задача, которую гениально решил Леонард Эейлер.
Тема сегодняшнего нашего урока связана с именем этого замечательного ученого. Мы сегодня познакомимся с теоремой Эйлера для многогранников (без доказательства).
Как вы думаете, какие вопросы необходимо рассмотреть, чтобы изучить данную теорему? Ребята предлагают направления деятельности, которые записываются на доске, корректируются, и каждая группа выбирает себе определенную тему.
Цель работы групп – изучить вопросы своего направления, информацию найти в сети Интернет, отобрать самое существенное и главное. Подготовить и оформить информационный продукт с помощью программных средств Microsoft Power Point, Microsoft Word. Группам определяется регламент работы 20 минут. По истечении времени «спикеры» представляют работу своей команды.
Работа в группах. Во время поиска, отбора и систематизации информации учитель консультирует, оказывает помощь.
III. Защита проектов «спикерами».
Группа №1. Биографы. Биография Леонарда Эйлера (краткая биография представлена в Приложении 1 к уроку)
Группа №2 Аналитики. Вклад в науку Леонарда Эйлера(перечень достижений представлен в Приложении 2 к уроку)
Группа №3. Историки. Топология. (Приложение 3)
Группа №4. Исследователи.
Теорема Эйлера. Если многогранник ограничен односвязной поверхностью, то сумма чисел его вершин и граней на 2 больше числа его рёбер, т.е. В+Г-Р=2. Проверим теорему Эйлера для известных многогранников, используя набор геометрических тел, и справедливость этой формулы для n-угольных призмы и пирамиды.
