Значение функции это что
Что такое Функция?
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Функция, аргумент, значение функции
В стилистике учебников и пособий по математике определения понятий: «функция, аргумент функции, значение функции» звучат примерно так:
В общем виде функция записывается так:
у = f(x) (538.1)
Начнем с элементарного:
Неизвестная величина
Как правило жизнь ставит перед нами не очень сложные задачи и решаем мы их с легкостью. Например: если один пирожок стоит 3 рубля, а мы хотим купить 2 пирожка, то сколько для этого нам потребуется денег?
Ответ на первый взгляд очевиден и вроде бы никакого особого решения не требует: 6 рублей. Но давайте подойдем к этой ситуации с точки зрения математики и запишем соответствующие уравнения сначала с необходимыми пояснениями в скобках:
х (требуемое количество денег) = 2 (пирожка) · 3 (рубля/пирожок) (538.2.1)
х (требуемое количество денег) = 6 (рублей) (538.2.2)
При умножении пирожки сокращаются и остаются только рубли. Если использовать чистую математическую запись, т.е. без пояснения в скобках, то это будет выглядеть так:
х = 2 · 3 (538.3.1)
х = 6 (538.3.2)
Как правило в начальных классах школы на этом даже акцент не делается, детям просто предлагаются к решению задачи по определению неизвестной величины в виде:
5 + 2, определите сумму (538.4.1)
9 : 3, определите частное (538.4.2)
Но на мой взгляд это не правильно. Детей, начиная с начальных классов, следует готовить к определению неизвестной величины и в подобных случаях формулировка задания должна выглядеть примерно так:
Постоянная неизвестная величина
В приведенных выше уравнениях (538.3 и 4) неизвестная величина х может иметь только одно значение. Поэтому такая величина называется постоянной (хотя варианты обсчета продавцом не исключены, но к теме данной статьи это никак не относится).
При этом уравнений, при решении которых требуется определить эту самую постоянную неизвестную величину, может быть бесконечное количество. Вот только на решение этих самых уравнений это никак не влияет.
Если в уравнении, каким бы сложным оно ни было, есть только одна неизвестная величина, то такая величина является постоянной.
Вообще-то постоянные неизвестные величины более правильно обозначать литерами а, b, c и др. Впрочем в уравнениях с одной неизвестной, а потому постоянной величиной это большого значения не имеет и неизвестная величина часто обозначается литерой х.
Переменные неизвестные величины
Иногда жизнь ставит перед нами более сложные задачи. Например, мы по-прежнему хотим купить 2 пирожка, но еще не определились с выбором, так как пирожков с различной начинкой на рынке много и цена у них разная, от 3 до 30 рублей, а денег в кармане мало.
у = 2 · х (538.5)
Т.е если один пирожок стоит 3 рубля, то нам для приобретения 2 пирожков потребуется как и прежде 6 рублей, а если мы хотим купить 2 пирожка, стоящих по 30 рублей каждый, то нам потребуется уже 60 рублей. Это конечно еще не высшая математика, но очень близко к тому.
Область определения функции
Как правило простые уравнения с одной неизвестной постоянной величиной вида (538.4.1.2) имеют только одно решение. В уравнениях с двумя неизвестными вида (538.5) решений может быть столько, сколько существует возможных значений переменной х. Т.е. если на рынке есть пирожки с 10 различными ценами, то нам, чтобы определить все возможные значения у, нужно решить уравнение (538.5) 10 раз, а если пирожки со 100 различными ценами, то 100 раз.
А все это ценовое разнообразие от 3 до 30 рублей и будет областью определения функции
Примечание: Вообще в данном случае возможно еще большее ценовое разнообразие, если цена пирожков будет изменяться с шагом в 1 копейку.
Функция
Даже такие относительно простые уравнения как (538.5), решать 100 раз очень долго. А ведь уравнения бывают гораздо более сложными, а область определения практически бесконечной.
При этом математическая запись следующего вида:
у = f(x) = x · 2 (538.5.2)
График функции
А еще это означает, что решать уравнение для всех возможных значений х нет необходимости. Для функции можно построить график, т.е. отобразить зависимость у от х визуально. Для этого используется плоская система координат с осями х и у. Соответственно по оси х откладывается значение переменной х, а по оси у значение переменной у, определенной для этого значения х.
В простых случаях, т.е. когда между переменными существует линейная зависимость, для построения графика достаточно знать координаты 2 точек. Например для функции f(x) = 2х в пределах от 0 до 4 график будет выглядеть так:
Рисунок 538.1. График функции f(x) = 2x.
Таким образом, для всех промежуточных значений х, а это могут быть не только натуральные (т.е. целые) числа, мы можем определять значения у по графику. Для этого достаточно провести вертикальную линию из точки, обозначающей значение х, до графика (показан на рисунке 538.1 синей линией), а затем провести горизонтальную линию из точки пересечения вертикальной линии и графика. Пересечение горизонтальной линии с осью у покажет значение переменной у для соответствующего значения х. На рисунке 538.1 подобные действия не показаны, чтобы не усложнять график.
А теперь несколько слов о том, зачем все это может понадобиться например при изучении теоретической механики или теории сопротивления материалов.
При расчете строительных конструкций, например балок, необходимо определить значение поперечных сил и моментов, действующих в различных сечениях балки, а также углы поворота и перемещения нейтральной оси балки. Для этого строятся эпюры поперечных сил, моментов, углов поворота и прогиба. Так вот эти эпюры и есть графики соответствующих функций.
При этом длина балки l измеряется по оси х, соответственно нижний предел функции х = 0, а верхний предел функции х = l.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).