Звенья ломаной что это такое

Ломаная линия

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами. Ломаной (ломаной линией). называется фигура, которая состоит из отрезков. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной.

Содержание:

Понятие ломаной

На рисунке 2.39 изображены несколько точек которые последовательно соединены отрезками В результате получилась геометрическая фигура , которая называется ломаной.

Определение. Ломаной называется фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков Точки называются вершинами ломаной, а отрезки — звеньями ломаной.

При построении ломаной соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. Точки называются соответственно началом и концом ломаной, а составляющие ее отрезки называются звеньями ломаной (рис. 2.39).

Определение. Если концы ломаной совпадают, то ее называют замкнутой.

На рисунках 2.41, 2.42, 2.44 изображены замкнутые ломаные.

Ломаная иногда может пересекать сама себя, т. е. не соседние по порядку звенья ломаной имеют общие точки. В этом случае ломаная называется самопересекающейся или непростой (рис. 2.43, 2.44). Если таких самопересечений нет, то ломаная называется простой. На рис. 2.40, 2.41 изображены простые ломаные.

Длина ломаной

Длина ломаной равна сумме длин ее звеньев.

Можно доказать теорему о длине ломаной.

Теорема 3.

Длина ломаной больше расстояния между ее концами.

Пример:

Звенья ломаной EFMO таковы: EF = 1 см, FM = 4 см, МО = 2 см. Может ли отрезок ЕО равняться: а) 0,5 см; б) 8 см?

Решение:

Из условия задачи имеем:

2. EF = 1 см, FM = 4 см, МО = 2 см. (рис. 2.45)

3. Может ли отрезок ЕО равняться: а) 0,5 см; б) 8 см.

На рис. 2.45 нет отрезка ЕО.

4. Построим отрезок ЕО (построение) (рис. 2.46).

Связь между данной ломаной EFMO и отрезком ЕО определяет теорема о длине ломаной.

5. Длина ломаной EFMO должна быть не меньше длины отрезка ЕО (1, 2, 4, теорема 3).

6. Длина ломаной EFMO равна 7 см (1, 2).

7. Длина отрезка ЕО должна быть не больше 7 см (4, 5).

8. Длина отрезка ЕО может быть равна 0,5 см, но не может быть равна 8 см (1, 2, 7).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета “Математика”:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету “Математика”:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Математика. 2 класс

Конспект урока

Математика, 2 класс. Урок №13.

Длина ломаной. Закрепление

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Как найти длину ломаной?

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.32-35

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На рисунке мы видим ломаную линию, состоящую из трёх звеньев.

Как найти длину ломаной линии? Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Сначала узнаем длину каждого звена с помощью линейки

Длина первого звена 4 см.

Длина второго звена 6 см.

Длина третьего звена 5 см.

Найдем сумму этих длин.

Найдем длину ломаной вторым способом.

Отложим на прямой один за другим отрезки, равные по длине звеньям ломаной. Это можно сделать с помощью циркуля. Накладываем циркуль на первый отрезок, переносим его на прямую.

Накладываем циркуль на второй отрезок, переносим его на прямую.

Накладываем циркуль на третий отрезок, переносим его на прямую.

Теперь узнаем длину ломаной. Длина ломаной 15 см. В этом случае узнавать длину каждого звена ломаной не надо.

Выводы: длину ломаной можно находить двумя способами.

Первый способ: узнаем длину каждого звена с помощью линейки и найдем сумму этих длин.

Второй способ: с помощью циркуля откладываем на прямой один за другим отрезки, равные по длине звеньям ломаной. Затем измеряем длину всего отрезка. Это и будет длина всей ломаной.

1. Подчеркните длину ломаной, составленной из трёх звеньев такой длины: 2 см, 3 см и 5 см

2. Расположите ломаные линии по порядку: от самой короткой до самой длинной

Правильный вариант: Найдем длину каждой ломаной

Источник

Ломаная линия — что это такое простыми словами

Ломаная линия — определение

Одним из наиболее простых и понятных геометрических терминов считают прямую линию. Есть в математике похожая фигура, но с некоторыми характерными чертами. Давайте попробуем разобраться, что такое ломаная линия и каковы её особенности.

Ломаная линия — математическая фигура, включающая в себя несколько отрезков, которые меняют направление.

Если выражаться более чётко, то это черта, которая не является прямой по всей длине, но может не иметь изгибов на отдельном отрезке.

Таким образом, фигура в обязательном порядке отвечает нескольким признакам:

Обозначение ломаной линии

Чтобы отметить ломаную линию на чертеже вам необходимо указать наименования точек стыка, в которых она меняет направление, латинскими буквами.

Из чего состоит ломаная линия

Как вы уже успели заметить, на рисунках присутствуют звенья — отрезки, составляющие ломаную линию. А вот начальные и конечные точки этих составных частей — вершины. На картинке вершины ломаной ABCD — позиции A, B, C, D.

Признак замкнутости ломаной линии

Классификация ломаных линий прежде всего осуществляется по свойству замыкания.

Замкнутая ломаная линия — фигура, у которой конечная позиция совпадает с начальной. Иначе говоря, когда она заканчивается в том же месте, где начиналась.

Яркие представители — треугольник и квадрат, а также остальные виды многоугольников:

Незамкнутая ломаная линия — фигура, которая приходит в позицию, отличающуюся от начальной.

Время от времени, у учащихся возникает вопрос: «Как определить, замкнутая фигура или нет?». Ответ будет весьма прост:»Когда число отрезков равно количеству вершин — она замкнутая, а при наблюдающемся неравенстве — незамкнутая».

В качестве дополнительного вида рассматривают понятие самопересекающаяся ломаная линия — та, которая скрещивается на пути своего следования. Для данного термина не имеет значения сколько раз произошло пересечение.

На рисунке отмечены точки пересечения — S, P, а также вершины — A,B,C,D,E,F.

Иногда люди спрашивают — «Могут ли вершины являться точками пересечения?». Чтобы найти ответ, обратите внимание на рисунок с пересекающейся и одновременно замыкающейся — ломаной линией:

Изображение отличается от предыдущего: отрезок EB перемещён, поэтому вершина A приобрела статус точки пересечения.

Как измерить длину ломаной линии

Ломаная линия, имеющая начало и конец, имеет распространённую стандартную характеристику — длину. Имея цель сделать замер её длины, необходимо суммировать длины всех её составных частей — отрезков.

Чем ломаная линия отличается от прямой

При взгляде на рисунок очевидно: уникальный признак ломаной линии — отсутствие углов, равных 180 градусам. В остальном, фигуры одинаковые и обладают схожими свойствами, например, длиной.

Примеры ломаных линий в быту

В целях наилучшего усвоения теории, разумно на практике ознакомиться с примерами ломаных линий из жизни.

Ломаная линия— график фондового рынка. Так как отрезки графика очень маленькие, поэтому может показаться, что это кривая, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это не так.

Фасад дома при переводе на «язык геометрии» выглядит как замкнутая ломаная линия.

Пирамиды древнего Египта обладали формой треугольника — одной из самых популярных ломаных линий.

Источник

Урок математики в 1-м классе. Тема: “Ломаная линия”

Продолжительность урока: 35 минут

Тип урока: Изучение и первичное закрепление нового материала.

Цель: Познакомить с ломаной линией и ее компонентами.

Задачи урока:

Ведущий вид деятельности: продуктивный, творческий, проблемный

Методы работы: объяснительно-иллюстративные, частично-поисковые, словесные, наглядные, практические.

Функция учителя: организатор сотрудничества; консультант, управляющий поисковой работой.

Педагогические технологии:

– педагогика сотрудничества (учебный диалог);

Список использованной литературы.

2. Истомина Н.Б. Рабочая тетрадь к учебнику “Математика” для 1 класса

3. Методические рекомендации к учебнику “Математика” 1 класс, под ред. Н.Б.Истоминой.- Смоленск: “Ассоциация ХХI век”. 2006 год.

Ход урока

1. Оргмомент

Слайд 1. Звучит голос И.Левитана с сообщением о первом полёте человека в космос.

Учитель: Дети, 2011 год объявлен в нашей стране годом Российской космонавтики. А кто из вас интересуется космосом? Кто хочет полететь в космос? Сегодня представляется такая возможность для всего класса. Мы совершим учебный полёт. Чтобы не совершать ошибок во время полёта, нужно подготовиться, восстановить некоторые знания. Как вы думаете, что нам необходимо вспомнить?

Дети: Повторить числа, сложение и вычитание.

Учитель: Я соглашусь с вами, дети. Добавлю: нужно знать пройденные геометрические фигуры.

2. Актуализация прежних знаний

Учитель: На ваших столах лежат “Учебные маршрутные листы”. Все результаты работы на уроке будем заносить на эти листы.

Итак, первое задание: “математический диктант”. Прослушайте условие, высчитайте в уме, запишите только ответ.

Из 9 планет солнечной системы только две имеют женские имена. А сколько мужских имён в названиях планет солнечной системы? (7)

У созвездии “Большая медведица” 7 ярких звёзд. А в созвездии “Кассиопея” 5 ярких звёзд. На сколько больше ярких звёзд в созвездии Большая медведица? (2)

На мой вопрос в начале урока: “Кто мечтает полететь в космос?” ответили “да” 3 девочки и 7 мальчиков. Сколько всего ребят нашего класса хотят слетать в космос? (10)

Почему вторая фигура называется треугольником? (имеет три вершины и три стороны)

Учитель: В “Учебном маршрутном листе” найдите красную точку и постройте луч. Какой инструмент необходим? (Линейка)

Соедините две синие точки. Какая фигура у вас получилась? (Отрезок)

Через жёлтую точку проведите прямую линию. Можете провести ещё одну? А ещё? (Да!)

Верно, через одну единственную точку можно провести бесчисленное количество прямых линий.

3. Физкультминутка (Ребята выполняют упражнения, стоя у парт)

Раз, два!
Скорость света!
Три, четыре!
Мы летим!
На далёкие планеты
Поскорей попасть хотим!
Чтоб водить корабли,
Чтобы в небо взлететь,
Надо многое знать.
Надо много уметь!
И при этом, и при этом
Вы заметьте-ка,
Очень важная наука
Ма-те-ма-ти-ка!

4. Введение нового материала

Сегодня мы продолжаем путешествие в страну Геометрию.

Посмотрите, что у меня в руках? (Вермишель спагетти)

Какую геометрическую фигуру она вам напоминает? (Прямую линию)

Возьмите в руки спагетти, которые раздал вам дежурный. Переломите в середине, а затем каждую часть ещё раз переломите пополам.

Какие геометрические фигуры вам напоминают? (Отрезки, их получилось 4)

Соедините их кусочками пластилина между собой. Можно ли теперь назвать полученную фигуру прямой линией? (Нет)

Как бы вы назвали такую геометрическую фигуру? (Поломанная линия)

Я должна немного поправить вас, она называется “ломаная” линия.

Посмотрите, из чего состоит ломаная линия? (Из отрезков)

Звенья ломаной не лежат на одной прямой. Конец одного звена является началом другого. Место, где соединяются два звена, называется вершиной.

Сколько вершин у данной ломаной линии? (Три)

Кроме того, у ломаной линии есть 2 конца.

6. Первичное закрепление

Учитель: Дети, давайте вспомним ещё раз, какими бывают кривые линии? (Замкнутыми и незамкнутыми)

А как вы думаете, ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми?

Учитель открывает на доске таблицу № 1:

– Какие фигуры изображены в таблице? (ломаные линии)

– У какой ломаной больше всего звеньев? (№ 4)

– У какой ломаной меньше всего звеньев? (№ 1)

– Какая ломаная имеет три вершины? (№ 2)

– Какая ломаная имеет пять вершин? (№ 4)

Учитель открывает на доске таблицу №2:

Учитель: Это тоже ломаные линии. Чем они отличаются от ломаных линий на первой таблице? (Все звенья соединены между собой)

– Назовите замкнутую ломаную линию, которая имеет меньше всего звеньев. (№1)

Верно, а может ли быть замкнутая линия из двух звеньев, подумайте. Давайте построим такую ломаную линию. (Нет, чтобы “замкнуть” линию нужно третье звено)

Учитель: Найдите и назовите на карте звёздного неба созвездия: незамкнутые ломаные линии и замкнутые.

Учитель: Если вашу “ломаную линию из спагетти” лежащую на парте, перевернуть, то будет напоминать созвездие “Кассиопею”. Она была названа в честь царицы, которую заколдовала коварная колдунья.

7. Физкультминутка.

Для глаз. Дети следят за движением Колобка на Слайде№4

Задание на внимание

На несколько секунд я покажу вам одну фигуру. Вы должны запомнить её и выложить из счётных палочек точно такую.

Теперь поработайте в парах. Проверьте внимание своего одноклассника.

Какая фигура у вас получилась?

Что вы ещё скажете о ней? Можно ли её назвать ломаной линией?

Можно ли назвать её замкнутой? (незамкнутой?) Почему?

8. Подведение итога урока

С какой геометрической фигурой познакомились? (Ломаной линией)

Из каких элементов состоит ломаная линия? (Из звеньев и вершин)

Какие бывают ломаные линии? (Замкнутые и незамкнутые)

Переверните “Учебный маршрутный лист”. Обведите цветным карандашом только ломаные линии, замкнутые и незамкнутые:

Какую линию описал корабль Ю.Гагарина за 108 минут вокруг Земли? (незамкнутую кривую линию)

В правом нижнем уголке “Учебного маршрутного листа” вам “улыбается” звёздочка. Какую геометрическую фигуру она напоминает? (Замкнутую ломаную линию) Определите количество вершин? Звеньев? Есть ли концы?

Самооценка работы учащихся на уроке:

Источник

Замкнутые самопересекающиеся ломаные

Александр Блинков, Александр Грибалко
«Квантик» №11, 2019

В этой статье пойдёт речь о ломаных линиях на плоскости. Для того чтобы изобразить ломаную, достаточно выбрать несколько точек (не меньше трёх), занумеровать их в каком-нибудь порядке, после чего последовательно соединить отрезками точки с соседними номерами. Выбранные точки называются вершинами ломаной, а отрезки — её звеньями (на рисунке 1 — трёхзвенная ломаная с четырьмя вершинами).

Если хотя бы два звена ломаной пересекаются (в своих внутренних точках), её называют самопересекающейся (на рисунке 2 — четырёхзвенная самопересекающаяся ломаная).

И наконец, если первая и последняя вершины ломаной совпадают, её называют замкнутой. В такой ломаной количество вершин совпадает с количеством звеньев (на рисунке 3 изображена пятизвенная замкнутая ломаная).

Нас будут интересовать замкнутые самопересекающиеся ломаные.

Начнём с задачи, предложенной А. Пешниным (её частные случаи были использованы на XXV турнире математических боёв имени А. П. Савина).

Задача 1

Сколько вершин может быть у замкнутой ломаной, которая каждое своё звено пересекает ровно два раза?

Очевидно, что трёхзвенная замкнутая ломаная не может быть самопересекающейся. Замкнутая ломаная с четырьмя вершинами также не удовлетворяет условию задачи, так как соседние звенья пересечься не могут, а для каждого звена есть только одно не соседнее. Пример пятизвенной ломаной хорошо известен — это пятиконечная звезда (см. рис. 4, а, где вершины ломаной делят окружность на пять равных частей). Идея использовать окружность тут не обязательна, но удобна и пригодится в дальнейшем.

Этот пример подсказывает, что аналогичным образом можно построить любую ломаную, удовлетворяющую условию, с нечётным количеством звеньев, большим трёх. Достаточно поставить на окружности требуемое количество вершин и последовательно соединить их через одну. Например, на рисунке 4, б — искомая ломаная с девятью звеньями.

Осталось разобраться с ломаными, у которых чётное количество звеньев, начиная с шести.

Искомой шестизвенной ломаной не существует, но доказывать это мы умеем только перебором всех случаев, который не очень интересен.

Для восьми звеньев существует красивый пример (рис. 5, а). Аналогично можно построить ломаную, удовлетворяющую условию, с любым чётным количеством звеньев, большим восьми. Как это делается, понятно из примеров для десяти и двенадцати звеньев, показанных на рисунках 5, б и 5, в. Сначала мы отмечаем на окружности точки, которых на две меньше, чем нужно, и соединяем их через одну. Так как точек чётное количество, получатся две замкнутые ломаные, все звенья которых пересекаются с другой ломаной в двух точках. После этого удаляем по одному звену в каждой ломаной и соединяем ломаные в одну, используя ещё две вершины, расположенные внутри окружности.

Есть и более простой способ. Воспользуемся тем, что любое чётное число, большее восьми, можно представить в виде суммы двух нечётных слагаемых, каждое из которых не меньше пяти.

Покажем, например, как построить двенадцатизвенную ломаную, удовлетворяющую условию. Изобразим две окружности, которые касаются друг друга внешним образом в некоторой точке. В одной из окружностей построим уже указанным способом пятизвенную ломаную, а в другой — семизвенную, причём точка касания должна быть их общей вершиной. А теперь эту точку «раздвоим» (рис. 6, результат раздвоения — вершины с номерами 1 и 6).

Аналогично строятся все искомые ломаные, у которых количество звеньев чётное и больше восьми.

Возникает вопрос: почему мы начали с двух точек пересечения звеньев, а не с одной, что, казалось бы, более естественно?

Дело в том, что такой порядок более логичен, так как решение следующей задачи будет во многом опираться на решение рассмотренной.

Задача 2

Сколько вершин может быть у замкнутой ломаной, которая каждое своё звено пересекает ровно один раз?

Сразу заметим, что в этом случае звенья ломаной должны разбиваться на непересекающиеся пары, поэтому у искомых ломаных — чётное количество звеньев. Легко проверить, что замкнутая ломаная из четырёх звеньев условию не удовлетворяет.

Пример искомой ломаной из шести звеньев можно построить, исходя из следующих соображений: помимо того, что не могут пересекаться соседние звенья, не могут пересекаться и звенья, стоящие через одно. Действительно, в этом случае образуется треугольник (рис. 7, а), в который можно будет только «войти», если пересечь среднее звено, но нельзя будет «выйти». Поэтому надо пересекать первое звено с четвёртым, второе — с пятым, а третье — с шестым (рис. 7, б).

Пример искомой ломаной из восьми звеньев читателю предлагается построить самостоятельно (см. задачи в конце статьи). А вот пример десятизвенной ломаной можно получить, обратившись к задаче 1. Действительно, рассмотрим пример замкнутой пятизвенной ломаной, которая каждое своё звено пересекает два раза (рис. 4). «Сломаем» каждое звено между двумя точками пересечения и получим искомый пример (рис. 8). Аналогично, рассмотрев семизвенную ломаную из задачи 1, можно получить решение для ломаной с четырнадцатью звеньями; пример восьмизвенной ломаной из задачи 1 помогает получить решение для ломаной из шестнадцати звеньев, и т. д.

Этот приём не годится только для построения двенадцатизвенной ломаной, так как нет шестизвенной ломаной, которая каждое своё звено пересекает два раза. Но в этом случае можно использовать другую идею решения задачи 1: «раздвоение». Построим две ломаные из рис. 7, б с общей вершиной и «раздвоим» её (рис. 9, результат раздвоения — вершины с номерами 6 и 12). Понятно, что идея «раздвоения» вершин более универсальна. В том числе и потому, что позволяет комбинировать ломаные с разным количеством звеньев.

Надеемся, что идеи и приёмы, описанные выше, помогут при решении других задач.

Упражнения и задачи для самостоятельного решения

1. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой девятизвенной ломаной, пересечь каждое её звено?

2. (В. Произволов) Замкнутая ломаная такова, что каждые два её не соседних звена пересекаются. Докажите, что у этой ломаной нечётное количество звеньев.

3. Существует ли пятнадцатизвенная ломаная, пересекающая каждое своё звено ровно три раза?

4. Постройте восьмизвенную замкнутую ломаную, которая каждое своё звено пересекает один раз.

5. (Д. Калинин, вариация фольклора) Маша нарисовала замкнутую семизвенную ломаную. Для каждого звена она записала, со сколькими звеньями оно пересекается во внутренних точках. Могла ли она записать в каком-то порядке числа 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1?

6. Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая семизвенная ломаная?

7. (Н. Васильев) Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.

Источник