Изобразите плоскости a b y и прямые abc если известно что

Самостоятельные работы (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

§ 2. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1. Основные понятия и аксиомы стереометрии

1. Изобразите прямую a и точки A, B и C, не принадлежащие данной прямой. Сделайте необходимые записи.

2. Изобразите плоскость b, точки E, F, принадлежащие ей, и точку G, ей не принадлежащую. Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую a, лежащую в плоскости a. Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите две пересекающиеся плоскости a и b. Сделайте необходимую запись.

1. Изобразите две пересекающиеся в точке O прямые a и b и точки A, B, C, причем точка A принадлежит прямой a, B принадлежит прямой b, точка C не принадлежит данным прямым.

2. Изобразите плоскость g, не принадлежащие ей точки K, L и принадлежащую ей точку M. Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую b, пересекающую плоскость b в точке O. Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите три пересекающиеся по прямой a плоскости a, b и g. Сделайте необходимую запись.

1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Через две точки пространства проходит единственная прямая.

3) Вертикальные углы равны.

4) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Определите взаимное расположение плоскостей a и b, если в них лежит треугольник ABC. Ответ обоснуйте.

3. Сколько плоскостей может проходить через три точки?

4. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из четырех точек.

1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы:

1) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

2) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

3) Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей b и g, если им принадлежат точки B и C. Ответ обоснуйте.

3. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из 5 точек.

4. Найдите наибольшее число плоскостей, проходящих через различные тройки из четырех точек.

2. Следствия из аксиом стереометрии

1. В плоскости двух пересекающихся прямых a и b задана точка C, не принадлежащая этим прямым. Прямая c, лежащая в данной плоскости, проходит через точку C. Как может быть расположена прямая c относительно данных прямых?

2. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Докажите, что все прямые, пересекающие два из трех отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана прямой c и не принадлежащей ей точкой C. Постройте в этой плоскости прямую a, отличную от данной прямой и не проходящую через данную точку.

4. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми a и b. Нарисуйте прямую c, которая пересекает данные прямые и не лежит в данной плоскости.

1. Прямая d, лежащая в плоскости треугольника ABC, пересекает его сторону AB. Каким может быть взаимное расположение прямых d и BC?

2. В плоскости a проведены две параллельные прямые a и b. Докажите, что все прямые, пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми m и n. Постройте в этой плоскости прямую k, отличную от данных прямых и не проходящую через точку O.

4. Плоскость задана тремя точками D, E, F, не принадлежащими одной прямой. Нарисуйте прямую a, которая пересекает стороны DE и DF треугольника DEF и не лежит в данной плоскости.

3. Пространственные фигуры

1. Нарисуйте пятиугольную призму и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) куба; б) 7-угольной призмы; в) n-угольной пирамиды.

3. Определите вид призмы, если она имеет: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани 4-угольной призмы, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета? Какое наименьшее число цветов потребуется?

1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) прямоугольного параллелепипеда; б) 6-угольнойной пирамиды; в) n-угольной призмы.

3. Определите вид пирамиды, если она имеет: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани октаэдра, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета. Какое наименьшее число цветов потребуется?

4. Моделирование многогранников

1. Нарисуйте несколько разверток куба.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из четырех равных равносторонних треугольников, не являющуюся разверткой правильного тетраэдра.

3. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку прямоугольного параллелепипеда и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

1. Нарисуйте несколько разверток правильного тетраэдра.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из шести квадратов, не являющуюся разверткой куба.

3. Нарисуйте развертку куба и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку правильной 6-угольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

5. Параллельность прямых в пространстве

1. Запишите в правильной 4-угольнойой пирамиде SABCD все пары параллельных ребер.

2. В плоскости двух параллельных прямых a и b дана точка C, не принадлежащая этим прямым. Через точку C проведена прямая c. Как может быть расположена прямая c относительно прямых a и b.

3. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

4. Найдите геометрическое место прямых, пересекающих две данные параллельные прямые.

1. Запишите четыре пары параллельных ребер куба A…D1.

2. Даны три прямые a, b и с. Как могут располагаться эти прямые, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все данные прямые.

3. Даны две параллельные прямые a и b. Докажите, что любая плоскость, пересекающая одну из них, пересечет и другую.

4. Найдите геометрическое место прямых, параллельных данной прямой и пересекающих другую прямую, пересекающуюся с первой.

6. Скрещивающиеся прямые

1. В кубе A…D1 запишите ребра, скрещивающиеся с ребром AB.

2. Запишите пары скрещивающихся ребер 4-угольной пирамиды SABCD.

3. Как расположены относительно друг друга прямые a и b на рисунке 1? Ответ обоснуйте.

4. Даны две скрещивающиеся прямые a и b и не принадлежащая им точка C. Постройте прямую c, проходящую через точку C и пересекающую прямые a и b.

1. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром SA правильной 4-угольной пирамиды SABCD.

2. Запишите ребра, скрещивающиеся с диагональю B1D куба A…D1.

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c (рис. 1). Прямая a лежит в плоскости a и пересекает прямую c. Можно ли в плоскости b провести прямую, параллельную прямой a? Ответ обоснуйте.

4. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые? Ответ обоснуйте.

7. Параллельность прямой и плоскости

1. Запишите ребра, параллельные плоскости грани CC1D1D правильной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1.

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямая b пересекает плоскость a в точке B; прямая c, пересекающая прямые a и b соответственно в точках E и F, пересекает плоскость a в точке C. Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c. Точка A принадлежит плоскости a, точка B – плоскости b. Постройте: а) прямую a, лежащую в плоскости a, проходящую через точку A и параллельную плоскости b; б) прямую b, лежащую в плоскости b, проходящую через точку B и параллельную плоскости a. Как будут располагаться относительно друг друга прямые a и b?

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням пирамиды. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

1. Запишите плоскости граней, параллельных ребру CC1 параллелепипеда A…D1.

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямые b и c, пересекающие прямую a соответственно в точках B и C, пересекают плоскость a соответственно в точках D и E. Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости a. Докажите, что если: а) a пересекает плоскость b в точке A, то A принадлежит прямой c; б) a параллельна плоскости b, то она параллельна прямой c.

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

8. Параллельность двух плоскостей

1. Запишите параллельные плоскости параллелепипеда A…D1.

2. Верны ли утверждения:

1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD? Могут ли они быть параллельными?

1. В треугольной пирамиде SABC проведите плоскость, параллельную ее основанию ABC.

2. Верны ли утверждения:

1) Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

4) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

3. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 3). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AD и BC? Могут ли они пересекаться?

9. Векторы в пространстве

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин правильной четырехугольной пирамиды?

3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) .

4. Дан параллелепипед A…D1. Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) .

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин треугольной призмы?

3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) .

4. Дан параллелепипед A…D1. Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) .

10. Коллинеарные и компланарные векторы

1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , одинаково направленный с и ||=1.

2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем || > ||. Найдите направление и длину вектора + .

3. Дан тетраэдр ABCD. Запишите три пары его вершин, задающие компланарные векторы.

4. Дан куб A…D1. Запишите тройки некомпланарных векторов с началами и концами в его вершинах.

1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , противоположно направленный с и ||=2.

Источник

Помогите с геометрией, пожалуйста.
10 класс
1. Выбери верный ответ.
1. Плоскость, притом только одна, проходит через а) прямую; б) прямую и не лежащую на ней точку; в) прямую и лежащую на ней точку.

2. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то прямая
а) пересекает плоскость; б) лежит в плоскости; в) параллельна плоскости.
3. В кубе АВСDA1B1C1D1 (рис 1) плоскости АСС1 и В1С1С пересекаются по прямой: а) АС; б) ВС; в) СС1.
В1 С1

А D
4. Параллелограмм АВСD и треугольник DКС не лежат в одной плоскости
(рис.2). Плоскости АDК и DКС пересекаются по прямой: а) АD; б) DК;
в) КС; г) АК.

А В
Рис. 2
5. На рисунке 3 прямая МК и плоскость АВС а) не пересекаются;
б) пересекаются в точке А;
К в) пересекаются в точке М;
г) пересекаются в точке С.
М
Р
А В

6. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, следовательно
а) какие-то три из них лежат на одной прямой;
б) никакие из трех данных точек не лежат на одной прямой;
в) прямые АВ и СD пересекаются.

7. Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?
а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают;

8. Какое из следующих утверждений верно?
а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; г) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.
9. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
а) Никогда; б) могут, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос;

10. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?
а) 1; б) 2; в) 3; г) бесконечно много.

11. Выберите верное утверждение.
а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; г) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.
12. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM.

A D
P
Рис.4
14. Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с?
а) Никакого вывода сделать нельзя; б) точка М лежит на прямой с; в) прямая с не проходит через точку М; г) другой ответ.

15. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c?
а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) все прямые лежат в одной плоскости; в) ничего сказать нельзя; г) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.

16. Прямые а и b пересекаются в точке О. A a, B b, Y AB. Выберите верное утверждение.
а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; в) точки O и Y совпадают; г) точки Y и A совпадают.

17. На рисунке 3 плоскости АКВ принадлежат точки (выберите все верные ответы): а) М; б) Р; в) В; г) С.

Решите задачи:
18. Прямая p имеет с пересекающимися прямыми a и b две общие точки. Докажите, что три эти прямые лежат в одной плоскости.

19. Точка М принадлежит медиане АD треугольника АВС. Можно ли провести через точку М прямую, которая не пересекает сторон данного треугольника?

Источник

Изобразите плоскости a b y и прямые abc если известно что

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость пересекает грань BMC по отрезку KL (точка L лежит на ребре BC), параллельному ребру MC. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK. Следовательно, плоскость параллельна плоскости грани CMD. Поэтому прямая MD параллельна плоскости

б) Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:

Искомый угол равен углу HCO. В прямоугольном треугольнике OHC имеем:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость параллельная ребру MD.

а) Докажите, что плоскость параллельна ребру MC.

б) Найдите угол между плоскостью и прямой BD.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость пересекает грань AMD по отрезку QP (точка P лежит на ребре AD), параллельному ребру MD. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK. Следовательно, плоскость параллельна плоскости грани CMD. Поэтому прямая MC параллельна плоскости

б) Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:

Искомый угол равен углу HDO. В прямоугольном треугольнике OHD имеем:

Аналоги к заданию № 523995: 524022 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости если известно, что

а) Треугольники SNK и SBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, поэтому отрезок NK параллелен ВС. Поскольку прямая ВС параллельна лежащей в плоскости сечения прямой NK, она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть H — середина BC. Проведём SH и AH и пусть плоскость SHA пересекает по прямой QR (см. рис.). Тогда QR и SА параллельны, а расстояние от точки B до плоскости равно расстоянию от точки Н до плоскости

В треугольнике SHA имеем: Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем:

Тогда

По построению, отрезок НT перпендикулярен ребру SA. В силу параллельности SA и QR, отрезки НT и QR также перпендикулярны. Кроме того, ребро ВС перпендикулярно плоскости SHA по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и ВС перпендикулярно НT. Но ВС параллельно NK, поэтому НT и NK перпендикулярны. Тем самым, прямая НT перпендикулярна двум пересекающимся прямым NK и QR, лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения.

Треугольники SNK и SBC подобны с коэффициентом поэтому а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или

Ответ: б)

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

а) Построим прямую MN параллельно CB и прямую KP параллельно CB, Плоскость NMP параллельна BC и содержит NK, таким образом NMP искомая плоскость α. По теореме о пропорциональных отрезках имеем: Таким образом, PM параллельна SA, значит, SA параллельна α.

Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания На ребре BC отмечена точка M так, что BC : MC = 3 : 1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Точка K середина ребра AB.

а) Доказать что OK параллельна плоскости MNC₁, где О — центр вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

б) Найти угол между прямой OK и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC₁ равна

а) Обозначим за T середину отрезка MN. Заметим, что BM : MC = 2 : 1 = CN : NA, поэтому прямая MN параллельна прямой AB, точки C, T, K лежат на одной прямой (высоте треугольника ACB) и CT : TK = 1 : 2. Поэтому (центр правильного треугольника равного ABC, делит его высоту в отношении 2 : 1). Кроме того, точки C, T, K, O лежат в одной плоскости (высоты оснований параллельны друг другу) и прямая перпендикулярна прямой прямая TK перпендикулярна прямой AB, откуда прямая параллельна прямой TK. Поэтому — параллелограмм. Значит, прямая KO параллельна прямой и лежит в плоскости поэтому KO параллельна плоскости

Ответ:

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Точка M — середина высоты пирамиды. Плоскость ACM составляет угол 45° с плоскостью основания.

а) Докажите, что прямая SB параллельна плоскости ACM.

б) Найдите расстояние от точки В до плоскости ACM.

а) Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Тогда MO — средняя линия треугольника SDB и, значит, параллельна SB. Тогда прямая SB параллельна плоскости ACM, поскольку параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости ACM.

б)Поскольку M — середина SD, имеем:

По теореме о площади фигуры и площади проекции:

Треугольник SDB — прямоугольный с углом при вершине B, поскольку (прямая DO перпендикулярна прямой AC как диагонали квадрата, а проекция MO на плоскость основания — это MD, поэтому прямая MO перпендикулярна прямой AC по теореме о трех перпендикулярах).

Значит, тогда и ответ

В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах AM и AB — точка F и G соответственно так, что MF = BE = BG = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру MB.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость CEF пересекает грань AMD пирамиды.

а) По теореме Пифагора

поэтому Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке G. Тогда треугольники BGE и D CE подобны, поэтому а значит, и Поскольку и отрезок FG параллелен отрезку MB. Следовательно, ребро MB параллельно плоскости CEF.

б) Пусть плоскость CEF пересекает отрезок MD в точке K. Так как прямая FG параллельна MB, по признаку параллельности прямой и плоскости FG параллельна плоскости MBD. Плоскость MBD и секущая плоскость пересекаются по прямой KE, и по свойству параллельных прямой и плоскости прямая KE параллельна FG и, следовательно, параллельна MB. Треугольники DKE и DMB подобны, поэтому Тогда и Плоскость CEF пересекает грань AMD по отрезку FK. По теореме косинусов для треугольника FMK получаем

Косинус угла FMK равен

Следовательно,

Ответ: б)

а) Докажите, что прямая AB₁ параллельна плоскости CKA₁.

б) Найдите расстояние от прямой AB₁ до плоскости CKA₁, если известно, что CB = 6, CA = 5, CC₁ = 12.

а) В плоскости ABC проведем через A прямую, параллельную BC, а через C — прямую, перпендикулярную BC. Обозначим пересечение этих прямых за T. Очевидно, поэтому точка T лежит в плоскости

Но также поэтому — параллелограмм, следовательно, поэтому

(поскольку по теореме о трех перпендикулярах).

Ответ:

а) Докажите, что прямая ВD₁ параллельна плоскости MPC.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD, Тогда нетрудно найти координаты точек

а) Составим уравнение плоскости Пусть это тогда, подставляя все три точки, находим: Возьмем Тогда и уравнение плоскости Ее вектор нормали а координаты вектора это Поэтому их скалярное произведение равно они перпендикулярны, и прямая параллельна плоскости.

б) Пусть — точка пересечения плоскости с ребром Подставляя в уравнение плоскости, получаем: Сечение — четырехугольник Его проекция на плоскость ABCD — четырехугольник PADC, площадь которого равна Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:

Значит, по теореме о площади проекции фигуры.

Ответ: б)

Комментарий. Очевидно, KMCP — трапеция (прямая MC параллельна прямой KP как прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями), все стороны которой можно вычислить, а зная стороны трапеции можно найти ее площадь. Но поскольку вся подготовительная работа уже проделана в пункте а) — глупо было бы им не пользоваться. Найти точку K стоило — без нее мы не были уверены в форме сечения.

Источник