Известно что abcd попарно различные положительные двузначные числа
Известно что abcd попарно различные положительные двузначные числа
Источник задания: Решение 4354. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий.
Задание 19. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d)=7/19?
б) Может ли дробь (a+c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма a/b + c/d?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь (a+c)/(b+d), если 
и 
?
а) Так как числа a, b, c, d двухзначные, то для выполнения соотношения 7/19 умножим числитель и знаменатель на некоторое целое число 
, получим:
.
Это равенство можно обеспечить, например, при k=3, тогда
и можно взять числа a=10, c=11, b=20, d=37.
б) Проверим, можно ли найти такие двухзначные a, b, c, d, чтобы выполнялось равенство
,
,
Отсюда видно, что не существует двухзначных чисел b и d таких, чтобы их сумма и произведение было равно. Следовательно, обеспечить равенство невозможно.
в) Чтобы дробь 
принимало минимальное значение необходимо, чтобы величина 
была как можно меньше, а величина 
как можно больше. Учитывая, что и , можно записать
Из первого условия получаем, что
, то есть 
.
Теперь перепишем дробь, подставляя вместо 
и 
, так как это минимальные возможные значения:
Получаем минимальное значение дроби, которая достигается при a=97, b=32, c=61, d=10.
Ответ: 
.