какие виды функций вы знаете

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3 x = 3 5 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3 x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Источник

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Постоянная функция

Свойства постоянных функций:

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

Степенная функция

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

Степенная функция при четном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.

Свойства степенной функции при 0 a 1 :

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a > 1 :

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

Показательная функция

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

Логарифмическая функция

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

График данной функции называется тангенсоида.

Свойства функции тангенс:

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Свойства функции арксинус:

Свойства функции арккосинус:

Свойства функции арктангенс:

Свойства функции арккотангенс:

Источник

Функции и графики

Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления. в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке “Преобразования графиков функций”. и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.

С 17.04.21 до экзаменв просмотр по кнопке ОТКРЫТ.

На сервере youtube.com открыт канал Mathematichka, на котором размещаются видео, связанные с изучением графиков функций и экзаменационными задачами на эту тему. Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.

Пример такого видео.